2024-2025学年上海市宝山区罗店中学高一（下）期中数学试卷（含答案） (1)

这是一份2024-2025学年上海市宝山区罗店中学高一（下）期中数学试卷（含答案） (1)，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a、b是单位向量，以下命题正确的是( )
A. a⋅b=1B. a⋅b=|a|⋅|b|
C. 若 a//b，则a=bD. a⋅b=b⋅a
2.在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知点P(tanα,csα)在第二象限，则π−α是第( )象限的角．
A. 一B. 二C. 三D. 四
4.已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=sin(tanx)B. f(x)=tan(sinx)
C. f(x)=cs(tanx)D. f(x)=tan(csx)
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若lg2x=3，则实数x的值为______．
6.函数y=2cs2x的最小正周期是______．
7.指数函数y=(m−1)x在R上是严格增函数，则实数m的取值范围是______．
8.向量a=(2,λ),b=(1,3)，若a//b，则实数λ的值为______．
9.若点P(−2,1)是角α终边上的一点，则sinα=______．
10.在△ABC中，点D是边BC上一点，|DC|=2|BD|，设AB=a,AC=b，用a，b表示AD=______．
11.若3sinα−csαsinα+csα=13，则tan(π+α)= ______．
12.已知圆心角为π3的扇形面积等于3π，则该扇形的弧长为______．
13.已知α，β∈(0,π2)，csα=13，cs(α+β)=−35，则sinβ= ______．
14.函数y=sinx+csx在区间[0,π]上的值域是______．
15.已知向量a=(csθ,sinθ)，b=(1, 3)，则|a−b|的最大值为______．
16.若存在实数a和正整数n，使得函数f(x)=cs2x−asinx在区间(0,nπ)内恰有1000个零点，则所有满足条件的正整数n的取值集合为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
已知全集U=R，集合A={x||x−2|≤1},B={x|x−3x+11，
则实数m的取值范围是(2,+∞)．
故答案为：(2,+∞)．
根据指数函数性质可解．
本题考查指数函数性质，属于基础题．
8.【答案】6
【解析】解：由a//b，a=(2,λ),b=(1,3)，
可得2×3=1×λ，解得λ=6．
故答案为：6．
根据向量平行的坐标运算求解．
本题考查平面向量共线的坐标关系，属基础题．
9.【答案】 55
【解析】解：点P(−2,1)是角α终边上的一点，
则sinα=1 (−2)2+12= 55．
故答案为： 55．
根据任意角的三角函数的定义求值即可．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
10.【答案】23a+13b
【解析】根据向量加法的三角形法则可知，AD=AB+BD．
因为|DC|=2|BD|，所以BD=13BC．
根据向量减法的三角形法则可知，BC=AC−AB，又因为AB=a，AC=b，所以BC=b−a．
由BD=13BC，BC=b−a，可得BD=13(b−a)．
由于AD=AB+BD，所以AD=a+13(b−a)=a+13b−13a=23a+13b．
故答案为：23a+13b．
可根据向量的加减法法则以及已知的线段比例关系，将AD用AB与AC表示出来．
本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】12
【解析】解：由3sinα−csαsinα+csα=13可得9sinα−3csα=sinα+csα，
可得8sinα=4csα，所以tanα=12，
则tan(π+α)=tanα=12．
故答案为：12
根据同角三角函数之间的关系以及诱导公式代入计算可得结果．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
12.【答案】 2π．
【解析】解：设扇形的半径为r，
因为圆心角α=π3，圆心角为π3的扇形面积等于3π，
所以扇形面积S=12αr2=12×π3r2=3π，解得r=3 2(负值已舍去)，
所以该扇形的弧长l=αr=3 2×π3= 2π．
故答案为： 2π．
设扇形的半径为r，由扇形的面积公式求出r，再由弧长公式计算可得．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
13.【答案】4+6 215
【解析】解；α，β∈(0,π2)，csα=13，cs(α+β)=−35，
所以sinα=2 23，sin(α+β)=45，
则sinβ=sin(α+β−α)=sin(α+β)csα−sinαcs(α+β)=45×13−2 23×(−35)=4+6 215．
故答案为：4+6 215．
由已知结合同角基本关系及两角差的正弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式在三角求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】[−1, 2]
【解析】解：y=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
∵x∈[0,π]，
∴x+π4∈[π4,5π4]，可得sin(x+π4)∈[− 22,1]，
∴函数y=sinx+csx= 2sin(x+π4)在区间[0,π]上的值域是[−1, 2].
故答案为：[−1, 2].
由辅助角公式知y= 2sin(x+π4)，再结合正弦函数的图象与性质即可求解．
本题考查三角函数，熟练掌握辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】3
【解析】解：∵a=(csθ,sinθ)，b=(1, 3)，
∴a−b=(csθ−1,sinθ− 3)，
|a−b|= (csθ−1)2+(sinθ− 3)2= cs2θ−2csθ+1+sin2θ−2 3sinθ+3
= −2( 3sinθ+csθ)+5= −4sin(θ+π6)+5，
当θ+π6=−π2+2kπ，即θ=−2π3+2kπ时，sin(θ+π6)有最小值为−1，|
此时|a−b|有最大值为3．
故答案为：3．
先求|a−b|，再结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．
本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
16.【答案】{1001,1000,999,500,667}
【解析】解：因为f(x)=cs2x−asinx=−2sin2x−asinx+1，
由f(x)=0，得2sin2x+asinx−1=0，设sinx=t，
记g(t)=2t2+at−1，
由于g(0)=−10，即1−a>01+a>0，
解得−1