高考物理三轮冲刺：万有引力与航天 教案

这是一份高考物理三轮冲刺：万有引力与航天 教案，共12页。
3.会用万有引力定律解决动力学问题
万有引力与重力
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，
即eq \f(GMm,R2)＝mg.
2．重力与高度的关系
近似关系：如果忽略地球自转，则万有引力和重力的关系：mg＝
(1)地球表面的重力加速度:g=
(2)距离地面的高度为h处：.则[mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)]．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
(3)距离地面的深度为h，g′′为离地面h深度处的重力加速度，.
3.万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解:
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.
②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.
(2)两个推论:
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
【例题1.1】假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的密度为（ ）
A. B. C. D.
【例题1.2】在引力场中可以用类似于电场强度的一个物理量来描述引力场的强弱.若地球质量为M,半径为R,地球表面处重力加速度为g,引力常量为G.下列能描述地球表面高2R处引力强弱的表达式是( )
A． B． C． D．
【例题1.3】火星质量是地球质量的110 ，半径是地球半径的12 ，火星被认为是出去地球之外最有可能有水（有生命）的星球，经过了4.8亿千米星际旅行的美国火星探测器“勇气号”成功在火星表面着陆，据介绍，“勇气号”在进入火星大气层之前的速度大约是声速的1.6倍，为了保证“勇气号”安全着陆，科学家给它配置了隔热舱、降落伞、减速火箭和气囊等。进入火星大气层后，先后在不同的时刻，探测器上的降落伞打开，气囊开始充气、减速火箭点火，当探测器在着陆前3s时，探测器的速度减为零，此时降落伞的绳子被切断，探测器自由落下，求探测器自由下落的高度。（假设地球和火星均为球体，由于火星大气层的气压只有地球的大气压强的1％，则探测器所受阻力可忽略不计，地球表面的重力加速度为g取10m/s2）
【演练1.1】“玉兔号”登月车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想，若机器人“玉兔号”在月球表面做了竖直上抛实验测得物体以初速度v0抛出抛出后，空中的运动时间为t，已知月球半径为R，求：
月球表面重力加速度g
探测器绕月做周期为T的匀速圆周运动时离月球表面的高度H
【演练1.2】一个物体在地面受到重力为160N,将它放置在航天飞机中，当航天飞机以a= 的加速度随火箭向上加速升空的过程中，某一时刻测得物体与航天飞机中的支持物的相互作用力为90N，求此时航天飞机距地面的高度（地球半径取6.4*106m，重力加速度g取10m/s2）
计算天体质量及密度
【例题2.1】通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径
【例题2.2】(多选)如图所示,飞行器P绕某星球做匀速圆周运动.星球相对飞行器的张角为θ.下列说法正确的是( )
A.轨道半径越大,周期越长 B.轨道半径越大,速度越大
C.若测得周期和张角,可得到星球的平均密度 D.若测得周期和轨道半径,可得到星球的平均密度
【演练2.1】宇航员到达某星球后，试图通过相关测量估测该星球的半径。他在该星球上取得一矿石，测得其质量为m0，体积为V0，重力为W，若所取矿石密度等于该星球的平均密度，引力常量为G，该星球视为球形，请用以上物理量推导该星球半径的表达式。（球体体积公式为，式中R为球体半径）
【演练2.2】“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，则( )
A．地球表面与月球表面的重力加速度之比为eq \f(G1R22,G2R12)
B．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为eq \r(\f(G1R1,G2R2))
C．地球与月球的质量之比为eq \f(G1R22,G2R12)
D．地球与月球的平均密度之比为eq \f(G1R2,G2R1)
天体运行参量的比较
1.分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。
eq \f(GMm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝ \r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))eq \a\vs4\al(越高,越慢)
【例题3.1】北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星．中轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中轨道卫星离地面高度低，则中轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的( )
A．向心加速度大 B．周期大 C．线速度小 D．角速度小
【例题3.2】火星探测项目是我国继载人航天工程、嫦娥工程之后又一个重大太空探索项目，2018年左右我国将进行第一次火星探测。已知地球公转周期为T，到太阳的距离为R1，运行速率为v1，火星到太阳的距离为R2，运行速率为v2， 太阳质量为M，引力常量为G。一个质量为m的探测器被发射到一围绕太阳的椭圆轨道上，以地球轨道上的A点为近日点，以火星轨道上的B点为远日点，如图所示。不计火星、地球对探测器的影响，则（ ）
A． 探测器在A点的加速度大于 B． 探测器在B点的加速度大小为
C． 探测器在B点的动能为 D． 探测器沿椭圆轨道从A到B的飞行时间为
【演练3】(多选)太阳系中的第二大行星——土星的卫星众多,目前已发现数十颗.下表是有关土卫五和土卫六两颗卫星的一些参数,则两卫星相比较,下列判断正确的是（ ）
A.土卫五的公转周期较小 B.土卫六的角速度较大
C.土卫六的向心加速度较小 D.土卫五的公转速度较大
【导学4】卫星变轨问题
1.三大宇宙速度
(1)第一宇宙速度的推导:由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)得 v1＝ eq \r(\f(GM,R))＝ eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s＝7.9×103 m/s。
(2)宇宙速度与运动轨迹的关系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①使卫星能环绕地球运行所需的最小发射速度叫做第一宇宙速度，
即：v1＝7.9 km/s.（7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 ）
注：所有天体都有自己的第一宇宙速度，g为该天体的重力加速度，R为该天体的半径.。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行，从地球表面发射所需的最小速度叫做第二宇宙速度，即：v2＝11.2 km/s.（11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星挣脱地球引力的束缚，绕太阳运动。）
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系，从地球表面发射所需的最小速度叫做第三宇宙速度，
即：v3＝16.7 km/s.（v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。）
2..人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
3．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1＜T2＜T3。
4.近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题
如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
【例题4.1】在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有（ ）
A．探测器的质量越大，脱离星球所需的发射速度越大
B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D．探测器脱离星球的过程中势能逐渐变大
【演练4.1】（多选）一颗人造地球卫星以初速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度增为2v，则该卫星可能( )
A．绕地球做匀速圆周运动 B．绕地球运动，轨道变为椭圆
C．不绕地球运动，成为太阳的人造行星 D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙去了
【例题4.2】如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
【例题4.3】中国自行研制，具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A，远地点为B的椭圆轨道上，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示。若已知A点距地面的高度为h1，B点距地面的高度为h2，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，卫星在预定圆轨道和椭圆轨道运行时满足开普勒第三定律。求：
（1）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；
（2）椭圆轨道的运动周期
【演练4.2】随着科学技术水平的不断进步，相信在不远的将来人类能够实现太空移民。为此，科学家设计了一个巨型环状管道式空间站。空间站绕地球做匀速圆周运动，人们生活在空间站的环形管道中，管道内部截面为圆形，直径可达几千米，如图（a）所示。已知地球质量为M，地球半径为R，空间站总质量为m，G为引力常量。
（1）空间站围绕地球做圆周运动的轨道半径为2R，求空间站在轨道上运行的线速度大小；
（2）为解决长期太空生活的失重问题，科学家设想让空间站围绕通过环心并垂直于圆环平面的中心轴旋转，使在空间站中生活的人们获得“人工重力”。该空间站的环状管道内侧和外侧到转动中心的距离分别为r1、r2，环形管道壁厚度忽略不计，如图（b）所示。若要使人们感受到的“人工重力”与在地球表面上受到的重力一样（不考虑重力因地理位置不同而产生的差异且可认为太空站中心轴静止），则该空间站的自转周期应为多大；
（3）为进行某项科学实验，空间站需将运行轨道进行调整，先从半径为2R的圆轨道上的A点（近地点）进行第一次调速后进人椭圆轨道。当空间站经过椭圆轨道B点（远地点）时，再进行第二次调速后最终进人半径为3R的圆轨道上。若上述过程忽略空间站质量变化及自转产生的影响，且每次调速持续的时间很短。
①请说明空间站在这两次调速过程中，速度大小是如何变化的；
②若以无穷远为引力势能零点，空间站与地球间的引力势能为，式中r表示空间站到地心的距离，求空间站为完成这一变轨过程至少需要消耗多少能量。
【例题4.4】如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径等于地球半径），c为地球的同步卫星，以下关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A． a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab>ac>aa
B． a、b、c做匀速圆周运动的角速度大小关系为ωa=ωc>ωb
C． a、b、c做匀速圆周运动的线速度大小关系为va=vb>vc
D． a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta>Tc>Tb
【演练4.4】新华社电2017年5月14日16时许，中国卫星海上测控部所属远望21号火箭运输船将长征七号运载火箭安全运抵海南文昌清澜港。长征七号的成功研究更加有利于开展空间科学技术试验研究，包括研究日地空间、行星际空间、恒星空间环境的物理、化学特性及其演化过程；研究天体的结构特性及其形成和演化过程。现假设探测到两个未命名行星A、B，已知行星A、B的密度相等，下列说法正确的是( )
A． 行星A的近地卫星的周期与行星B的近地卫星的周期相等
B． 行星A的同步卫星的线速度与行星B的同步卫星的线速度相等
C． 行星A、B表面的重力加速度与行星半径的比值相等
D． 行星A的第一宇宙速度与行星B的第一宇宙速度相等
练习
1.在牛顿提出万有引力定律的时候，已经能够比较精确地测定地球表面处的重力加速度g等物理量。此外，牛顿还进行了著名的“月-地检验”，证明了地球对月球的引力与地球对苹果的引力是相同性质的。牛顿在进行“月-地检验”时，没有用到的物理量是
A． 地球的半径 B． 地球的自转周期
C． 月球绕地球公转的半径 D． 月球绕地球公转的周期
2.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
3.嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成，探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2KG月球样品，某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比：
A. B. C.4 D.6
4.若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度竖直向上抛出一个小球，测出小球落回月球表面的时间为t0。已知月球半径为R，引力常量为G ，则下列说法正确的是
5.两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA：TB=1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）
A．RA：RB=4：1，vA：vB=1：2 B．RA：RB=4：1，vA：vB=2：1
C．RA：RB=1：4，vA：vB=1：2 D．RA：RB=1：4，vA：vB=2：1
5.若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，由此可知，该行星的半径为（ ）
A． B． C．2R D．
6.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为（ ）
A. 2:1 B. 4:1 C. 8:1 D. 16:1
7.“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空，与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距离地面约380 km的圆轨道上飞行，则其（ ）
A角速度小于地球自转角速度 B线速度小于第一宇宙速度
C周期小于地球自转周期 D向心加速度小于地面的重力加速度
8.专家称嫦娥四号探月卫星为“四号星”，计划在2017年发射升空，它的主要任务是更深层次、更全面的科学探测月球地貌等方面的信息，完善月球档案资料。已知月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为。月球可视为球体，“四号星”离月球表面的高度为h，绕月做匀速圆周运动的周期为T。仅根据以上信息能求出的物理量是（ ）
A． 万有引力常量 B． “四号星”在该轨道上运行的动能
C． “四号星”与月球间的万有引力 D． 月球的第一宇宙速度
9.如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球做匀速圆周运动轨道半径为r的卫星，C为绕地球沿椭圆轨道运动的卫星，长轴大小为a，P为B、C两卫星轨道的交点，已知A、B、C绕地心运动的周期相同，下列说法正确的是
物体A的线速度小于卫星B的线速度
B． 卫星B离地面的高度可以为任意值
C． a与r长度关系满足a=2r
D． 若已知物体A的周期和万有引力常量，可求出地球的平均密度
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
卫星
距土星的距离/km
半径/km
质量/kg
发现者
发现年代
土卫五
527 000
765
2.49×1021
卡西尼
1672
土卫六
1 222 000
2 575
1.35×1023
惠更新
1655
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2＞r3＝r1
角速度
由eq \f(GMm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，故ω1＞ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
线速度
由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，故v1＞v2
由v＝rω得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加
速度
由eq \f(GMm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，故a1＞a2
由a＝ω2r得a2＞a3
a1＞a2＞a3