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2020高考物理一轮复习学案：第四章第4讲万有引力与航天
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第4讲 万有引力与航天
主干梳理 对点激活
知识点 开普勒行星运动定律 Ⅰ
1．定律内容
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k。
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
知识点 万有引力定律及应用 Ⅱ
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F＝G，其中G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的距离。
3．适用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
知识点 环绕速度 Ⅱ
1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
4．第一宇宙速度的计算方法
(1)由G＝m，解得：v＝ ；
(2)由mg＝m，解得：v＝。
知识点 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ
1．第二宇宙速度(脱离速度)
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
2．第三宇宙速度(逃逸速度)
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
知识点 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝；
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
一 思维辨析
1．只有天体之间才存在万有引力。( )
2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝来计算物体间的万有引力。( )
3．牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量。( )
4．不同的同步卫星的质量可以不同，但离地面的高度是相同的。( )
5．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。( )
6．探月卫星的发射速度必须大于第三宇宙速度。( )
答案 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 6.×
二 对点激活
1．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
答案 C
解析 万有引力公式F＝G适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看做质点，故F＝G已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪许测得的，D错误。
2．(人教版必修2·P48·T3改编)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为( )
A.v B.v C.v D.v
答案 A
解析 第一宇宙速度由＝求得，v＝ ，故＝ ＝ ，所以v火＝v，故A正确。
3．(人教版必修2·P36·T4)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍(如图所示)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次飞近地球大约将在哪一年？
答案 2062年
解析 设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，根据开普勒第三定律＝k，有＝，则哈雷彗星的公转周期T＝T0≈76.4年，所以它下次飞近地球大约将在1986＋76.4≈2062年。
4．(人教版必修2·P41·T3)一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成。一个夸克的质量是7.1×10－30 kg，求两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力。
答案 3.36×10－37 N
解析 两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力F＝G＝3.36×10－37 N。
考点细研 悟法培优
考点1 开普勒三定律的理解与应用
1．微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内可看做匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
例1 (2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解题探究 (1)从P到M与从M到Q的平均速率相等吗？
提示：不相等。
(2)从Q到N除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？
提示：没有。
尝试解答 选CD。
由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。
总结升华
绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。
[变式1－1] (2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并没有找出其中的原因，A、C错误，B正确；万有引力定律是牛顿发现的，D错误。
[变式1－2] (2018·武汉五月训练) 我国预计在2018年12月发射“嫦娥四号”月球探测器。探测器要经过多次变轨，最终降落到月球表面上。如图所示，轨道Ⅰ为圆形轨道，其半径为R；轨道Ⅱ为椭圆轨道，半长轴为a，半短轴为b。如果把探测器与月球的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上扫过的面积速率之比是(已知椭圆的面积S＝πab)( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设探测器在轨道Ⅰ上运动的周期为T1，在轨道Ⅱ上运动的周期为T2，则在轨道Ⅰ上扫过的面积速率为：，在轨道Ⅱ上扫过的面积速率为：，由开普勒第三定律可知：＝，由以上三式联立解得，＝·＝·＝，故C正确。
考点2 天体质量和密度的估算
1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例2 (2018·四川蓉城联考)中共十九大召开之际，据中央台报道，我国已经发射了一百七十多个航天器。其中发射的货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体，如图所示。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T1。如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动，轨道半径为R1，周期为T2。已知地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体。则( )
A．月球的质量可表示为
B．组合体与月球运转的线速度比值为
C．地球的密度可表示为
D．组合体的向心加速度可表示为2g
解题探究 (1)已知月球绕地球的周期和轨道半径，能求月球的质量吗？
提示：不能。只能求中心天体地球的质量。
(2)距地面高度为h的圆形轨道半径为多少？
提示：R＋h。
尝试解答 选C。
由于月球是环绕天体，根据题意可以求出地球的质量，不能求月球的质量，A错误；对于组合体和月球绕地球运动的过程，万有引力提供向心力，设地球质量为M，则由牛顿第二定律可知G＝m，解得v＝，则组合体和月球的线速度比值为 ，B错误；对于组合体，由G＝m·(R＋h)，解得M＝，又因为地球的体积为V＝πR3，整理解得ρ＝＝，C正确；由G＝ma，G＝mg，知组合体的向心加速度大小为a＝2g，D错误。
总结升华
估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)在考虑自转问题时，只有两极才有＝mg。
[变式2－1] (2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案 D
解析 根据G＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据G＝m及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G＝mr可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。
[变式2－2] (2019·宁夏育才中学月考)如图所示，两颗人造卫星绕地球运动，其中一颗卫星绕地球做圆周运动，轨道半径为r，另一颗卫星绕地球沿椭圆形轨道运动，半长轴为a。已知椭圆形轨道卫星绕地球n圈所用时间为t，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的平均密度为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 椭圆形轨道卫星的运行周期为T0＝，根据开普勒第三定律得＝，则圆形轨道卫星的周期为T＝T0，对于圆形轨道卫星，万有引力等于向心力，G＝mr，地球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝，A正确。
考点3 人造卫星的运动规律
1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝ ＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例3 (2018·南宁、柳州联考)如图所示，两颗质量相同的人造卫星A、B仅受地球的引力作用在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知在运动过程中，A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ，则A、B( )
A．动能之比为sinθ∶1 B．动能之比为tanθ∶1
C．周期之比为sin2θ∶1 D．周期之比为sinθ∶1
解题探究 (1)如何找到OA连线与A、B连线的最大夹角？
提示：假设A不动，连接OA，观察B运动过程中，何时OA与AB夹角最大。
(2)卫星的v、T与轨道半径有什么关系？
提示：由＝得v＝，由＝mr得T＝。
尝试解答 选A。
运动过程中OAB构成一个三角形，假设A不动，只让B转动，很容易发现OB垂直AB时，OA与AB夹角最大，如图所示。由于OA、OB分别为卫星A、B的轨道半径rA、rB，则有sinθ＝。由万有引力提供向心力可得G＝m，G＝m2r，可求出A与B的动能之比＝＝＝，周期之比＝＝，A正确。
总结升华
人造卫星问题的解题技巧
(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。
G＝man＝m＝mω2r＝m2r＝m(2πf)2r。
(2)第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r近似等于地球半径
v＝＝7.9 km/s
万有引力近似等于卫星的重力，即
mg＝m，v＝＝7.9 km/s。
(3)同步卫星：①具有特定的线速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和轨道半径；③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。
比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。
(4)天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1，2，3…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0，1，2…
[变式3－1] (2018·武昌调研)2017年6月15日上午11时，我国在酒泉卫星发射中心采用长征四号乙运载火箭，成功发射了首颗X射线空间天文卫星——“慧眼”，该卫星工程将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国空间X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越。卫星发射入轨后，将开展多个方面的空间探测活动。已知“慧眼”在距地面高度为h的圆形轨道上运行，地球半径为R、地球自转周期为T0、地球表面的重力加速度为g、引力常量为G。则下列关于“慧眼”在轨运行的结论错误的是( )
A．线速度大小为v＝R
B．角速度大小为ω＝
C．周期为T＝
D．向心加速度大小为a＝(R＋h)
答案 D
解析 “慧眼”围绕地球做圆周运动的过程中，万有引力提供其做圆周运动的向心力，设“慧眼”的质量为m，则G＝m，又由于G＝m0g，m0为地球表面物体的质量，由以上两式整理可得“慧眼”的线速度大小为v＝，A正确；又由于G＝mω2·(R＋h)，整理解得ω＝ ，B正确；由于T＝，解得T＝ ，C正确；“慧眼”的向心加速度大小应为a＝(R＋h)，则D错误。
[变式3－2] (2018·湖南师大附中月考六)(多选)已知地球自转周期为T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是( )
A. B. C. D.
答案 CD
解析 设地球的质量为M，卫星的质量为m，运动周期为T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有：＝，解得：T＝2π 。同步卫星的周期与地球自转的周期相同，即为T0。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是：＝ ＝，解得：T＝。设卫星每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt得：t＝2nπ＋t，解得t＝(n＝1,2,3，…)，当n＝1时t＝，当n＝3时t＝，故A、B错误，C、D正确。
考点4 航天器的变轨问题
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行，前者是轨道的突变，后者是轨道的渐变。
1．卫星轨道的渐变
(1)当卫星的速度增加时，G
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v。
(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
3．卫星变轨时一些物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ
A．“鸿雁一号”在轨道1的B点处的速度比在轨道1的A点处的速度大
B．“鸿雁一号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大
C．“鸿雁一号”在轨道1的A点处的加速度与在轨道2的A点处的加速度相等
D．“鸿雁一号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大
解题探究 (1)卫星在近地点A由轨道1变轨为轨道2应加速还是减速？
提示：加速。
(2)卫星在轨道1由A点运动到B点，万有引力做什么功？
提示：负功。
尝试解答 选C。
在轨道1上从A到B过程中引力做负功，速度减小，故“鸿雁一号”在轨道1的B点处的速度比在轨道1的A点处的速度小，A错误；从轨道1变轨到轨道2，需要在A点点火加速，故“鸿雁一号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度小，B错误；“鸿雁一号”在轨道1的A点处到地心的距离等于在轨道2的A点处到地心的距离，根据a＝可知“鸿雁一号”在轨道1的A点处的加速度与在轨道2的A点处的加速度相等，C正确；因为卫星在轨道1的A点处点火加速进入轨道2，所以在轨道2的机械能大于在轨道1的机械能，故D错误。
总结升华
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝ 判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度，如例4中的A选项。
总结升华
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
从远地点到近地点，万有引力对卫星做正功，动能Ek增大，引力势能减小。
(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。
[变式4] 目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定增大
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减少量
答案 D
解析 由＝m得v＝，由于受到稀薄气体的阻力，轨道半径r减小，则v增大，卫星的动能增大，A错误；由于卫星的高度逐渐降低，所以地球引力对卫星做正功，引力势能减小，B错误；由于气体阻力做负功，所以卫星和地球组成的系统机械能减少，故C错误；根据动能定理，可知引力与空气阻力对卫星做的总功为正值，而引力做的功等于引力势能的减少量，所以卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减少量，D正确。
建模提能2 双星、多星模型
前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看做近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。
1．双星模型
(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，
＝m2ωr2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
＝。
⑤双星的运动周期
T＝2π。
⑥双星的总质量
m1＋m2＝。
2．三星模型
(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。
(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
【典题例证】
(2018·河南第二次模拟)(多选)在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星。已知组成某双星系统的两颗恒星质量分别为m1和m2，相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知万有引力常量为G。m1的动能为Ek，则m2的动能为( )
A．G－Ek B．G－Ek
C.Ek D.Ek
[解析] 对双星，都是万有引力提供向心力，故：G＝m1ω2R1＝m2ω2R2；其中：L＝R1＋R2，联立解得：R1＝，R2＝，根据v＝rω，则＝＝，则＝＝＝，即Ek2＝Ek，C正确，D错误；G＝m2＝，即Ek2＝·，同理Ek1＝·，则Ek1＋Ek2＝·＝，则Ek2＝G－Ek，B正确，A错误。
[答案] BC
名师点睛 解决双星、多星问题，要抓住四点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
【针对训练】
(2018·哈尔滨调研)(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统运动的线速度大小为v＝
B．直线三星系统的运动周期为T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为v′＝
答案 BC
解析 对直线三星系统中的其中一颗环绕星，有G＋G＝M，解得v＝ ，A错误；根据T＝，可知B正确；对三角形三星系统中的任意一颗星体，有2Gcos30°＝M2，三角形三星系统的周期等于直线三星系统的周期T＝4πR·，联立解得L＝R，C正确；根据T＝，若按照r＝R计算，就会得到v′＝，但r＝≠R，故D错误。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
2．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 设脉冲星质量为M，密度为ρ，半径为R，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知：≥m2R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正确。
3．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒第三定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，C正确。
4．(2018·北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
答案 B
解析 设月球质量为M月，地球质量为M，地球半径为r，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝，苹果受到的万有引力为F＝，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律＝M月·a月，＝ma，整理可以得到a月＝a，故B正确；在月球表面处G＝m′g月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到引力为F′＝G，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面引力之间的关系，故D错误。
5．(2018·天津高考)(多选) 2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G＝mr，等式两边卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、 B错误；由G＝mr，G＝mg，解得r＝ ，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
配套课时作业
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共12小题，每小题6分，共72分。其中1～7为单选，8～12为多选)
1．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
答案 C
解析 天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，C正确。
2．(2018·江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
答案 A
解析 设地球质量为M，人造卫星质量为m，人造卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π ，a＝，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以A正确，B、C、D错误。
3．我国计划2018年12月进行“嫦娥四号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据。假设该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ，万有引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球密度的表达式是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 经过时间t卫星行程为s，划过弧对应角度为θ，所以卫星的线速度v＝，角速度ω＝，卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r＝＝，万有引力提供向心力，G＝m，得M＝，月球密度ρ＝＝·＝，故B项正确。
4．(2016·四川高考) 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1
C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3
答案 D
解析 对于东方红一号与东方红二号，由G＝ma得：a＝，由此式可知a1>a2。对于地球同步卫星东方红二号和地球赤道上的物体，角速度相同，由a＝ω2r可知，半径大的加速度大即a2>a3。综上可知，a1>a2>a3，故D正确。
5．(2018·银川一中第一次模拟)我国预计于2019年发射“嫦娥五号”探月卫星，计划执行月面取样返回任务。“嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步，如图所示，第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道Ⅰ，第二步在环月轨道的A处进行变轨进入月地转移轨道Ⅱ，第三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从B点进入绕地圆轨道Ⅲ，第四步再次变轨道后降落至地面，下列说法正确的是( )
A．将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ时所需的发射速度为7.9 km/s
B．“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ需要加速
C．“嫦娥五号”从A沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中其动能一直增加
D．“嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速
答案 B
解析 因v＝，知月球上g月
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
答案 C
解析 对于绕地球做圆周运动的人造天体，由＝m，有v＝ ∝，可见v与r是一一对应的。在同一轨道上运行速度相同，不能对接；而从同一轨道上加速或减速时由于发生变轨，二者不再处于同一轨道上，亦不能对接，A、B错误。飞船处于半径较小的轨道上，要实现对接，需增大飞船的轨道半径，当飞船加速时，飞船所需的向心力大于提供的向心力，飞船做离心运动，则轨道半径变大，同理，当飞船减速时，轨道半径变小，故C正确，D错误。
7．(2018·福建4月质检) 位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜。通过FAST测得水星与太阳的视角为θ(水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角)，如图所示。若最大视角的正弦值为k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为( )
A.年 B. 年
C.年 D. 年
答案 C
解析 本题应先理解最大视角的定义，如图所示，连接太阳、水星和观察者，构成虚线三角形，由正弦定理得＝，sinα＝1，即α＝90°时θ最大，即此时观察者与水星的连线应与水星轨道相切，由三角函数可得，此时sinθ＝＝k，由万有引力提供向心力G＝mr，解得：T＝2π ，故＝＝(也可以直接由开普勒第三定律得到)，得T水＝T地·，而T地＝1年，故T水＝年，故选C。
8．(2017·江苏高考)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其( )
A．角速度小于地球自转角速度
B．线速度小于第一宇宙速度
C．周期小于地球自转周期
D．向心加速度小于地面的重力加速度
答案 BCD
解析 由＝m(R＋h)知，周期T与轨道半径的关系为＝k(恒量)，同步卫星的周期与地球的自转周期相同，但同步卫星的轨道半径大于“天舟一号”的轨道半径，则“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也就小于地球的自转周期，C正确；由ω＝知，“天舟一号”的角速度大于地球自转的角速度，A错误；由＝m知，线速度v＝ ，而第一宇宙速度v′＝ ，则v
A．TA>TB B．EkA>EkB
C．SA＝SB D.＝
答案 AD
解析 卫星做匀速圆周运动时有＝m＝mRω2＝mR，则T＝2π ∝，故TA>TB，＝，A、D正确；Ek＝mv2＝∝，故EkA
A．随着时间的推移，月球在离开地球“视线”之前的重力势能会缓慢增大
B．月球“刚开始”环绕地球运动的线速度大小约为目前的15倍
C．月球“刚开始”环绕地球运动的周期约为8 h
D．月球目前的向心加速度约为“刚开始”的倍
答案 AC
解析 月球在离开地球“视线”之前要克服万有引力做功，所以重力势能会缓慢增大，A正确；根据万有引力充当向心力得v＝ ，所以刚开始时v′＝v＝4.36v，B错误；根据万有引力充当向心力得T＝，所以刚开始时T′＝T＝ h ≈8 h，故C正确；根据万有引力充当向心力得＝ma，所以目前的向心加速度为a＝a′＝a′，D错误。
11．(2019·广州第一次测试)某人在春分那天(太阳光直射赤道)站在地球赤道上用天文望远镜观察他正上方的一颗同步卫星，他发现在日落后连续有一段时间t观察不到此卫星。已知地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，圆周率为π，仅根据g、t、T、π可推算出( )
A．地球的质量
B．地球的半径
C．卫星距地面的高度
D．卫星与地心的连线在t时间内转过的角度
答案 BCD
解析 赤道上物体所受万有引力可近似等于重力，设物体质量为m，地球半径为R，则mg＝m2R，R＝，B正确；如图所示，由于太阳和地球相距很远，太阳光可看成平行光射向地球，同步卫星相对地球赤道上观察者静止，当在∠AOB范围内绕地心做圆周运动时，由于太阳光不能照射到卫星上，观察者观察不到卫星，则有＝，又＝sin，两式联立可得h＝－R，C正确；由＝，可得θ＝，D正确。由于万有引力常数G未知，根据已知条件无法求出地球的质量，A错误。
12. 如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座T星”系统的照片，该系统是由一颗白矮星和它的类日伴星组成的双星系统。图片下面的亮点为白矮星，上面的部分为类日伴星(中央的最亮的为类似太阳的天体)。由于白矮星不停地吸收由类日伴星抛出的物质致使其质量不断增加，科学家预计这颗白矮星在不到1000万年的时间内会完全“爆炸”，从而变成一颗超新星。现假设类日伴星所释放的物质被白矮星全部吸收，并且两星之间的距离在一段时间内不变，两星的总质量不变，不考虑其他星体对该“罗盘座T星”系统的作用，则下列说法正确的是( )
A．两星之间的万有引力不变
B．两星的运动周期不变
C．类日伴星的轨道半径减小
D．白矮星的线速度变小
答案 BD
解析 两星间距离在一段时间内不变，由万有引力定律可知，两星的质量总和不变而两星质量的乘积必定变化，则万有引力必定变化，故A错误；组成的双星系统的周期T相同，设白矮星与类日伴星的质量分别为M1和M2，圆周运动的半径分别为R1和R2，由万有引力定律提供向心力：G＝M1R1＝M2R2，可得：GM1＝，GM2＝，两式相加：G(M1＋M2)T2＝4π2L3，白矮星与类日伴星的总质量不变，则周期T不变，故B正确；由G＝M1R1＝M2R2得：M1R1＝M2R2，知双星运行半径与质量成反比，类日伴星的质量逐渐减小，故其轨道半径增大，白矮星的质量增大，轨道变小，故C错误；白矮星的周期不变，轨道半径减小，根据v＝，线速度减小，故D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共28分)
13．(12分)宇航员到达某星球后，试图通过相关测量估测该星球的半径。他在该星球上取得一矿石，测得其质量为m0，体积为V0，重力为W，若所取矿石密度等于该星球的平均密度，引力常量为G，该星球视为球形，请用以上物理量推导该星球半径的表达式。
答案 R＝
解析 设矿石的密度为ρ0，由题意知ρ0＝
该星球表面的重力加速度为g＝
在该星球表面，万有引力等于重力G＝m0g
该星球的平均密度为ρ＝
据题意：ρ＝ρ0，V＝πR3
联立以上各式解得：R＝。
14．(16分) 如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
(1)求卫星B的运行周期；
(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
答案 (1)2π (2)
解析 (1)由万有引力定律和向心力公式得
G＝m(R＋h)①
又G＝mg②
联立①②式得TB＝2π③
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π④
由③得ωB＝
代入④得t＝。
主干梳理 对点激活
知识点 开普勒行星运动定律 Ⅰ
1．定律内容
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k。
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
知识点 万有引力定律及应用 Ⅱ
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F＝G，其中G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的距离。
3．适用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
知识点 环绕速度 Ⅱ
1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
4．第一宇宙速度的计算方法
(1)由G＝m，解得：v＝ ；
(2)由mg＝m，解得：v＝。
知识点 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ
1．第二宇宙速度(脱离速度)
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
2．第三宇宙速度(逃逸速度)
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
知识点 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝；
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
一 思维辨析
1．只有天体之间才存在万有引力。( )
2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝来计算物体间的万有引力。( )
3．牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量。( )
4．不同的同步卫星的质量可以不同，但离地面的高度是相同的。( )
5．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。( )
6．探月卫星的发射速度必须大于第三宇宙速度。( )
答案 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 6.×
二 对点激活
1．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
答案 C
解析 万有引力公式F＝G适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看做质点，故F＝G已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪许测得的，D错误。
2．(人教版必修2·P48·T3改编)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为( )
A.v B.v C.v D.v
答案 A
解析 第一宇宙速度由＝求得，v＝ ，故＝ ＝ ，所以v火＝v，故A正确。
3．(人教版必修2·P36·T4)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍(如图所示)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次飞近地球大约将在哪一年？
答案 2062年
解析 设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，根据开普勒第三定律＝k，有＝，则哈雷彗星的公转周期T＝T0≈76.4年，所以它下次飞近地球大约将在1986＋76.4≈2062年。
4．(人教版必修2·P41·T3)一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成。一个夸克的质量是7.1×10－30 kg，求两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力。
答案 3.36×10－37 N
解析 两个夸克相距1.0×10－16 m时的万有引力F＝G＝3.36×10－37 N。
考点细研 悟法培优
考点1 开普勒三定律的理解与应用
1．微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内可看做匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
例1 (2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解题探究 (1)从P到M与从M到Q的平均速率相等吗？
提示：不相等。
(2)从Q到N除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？
提示：没有。
尝试解答 选CD。
由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。
总结升华
绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。
[变式1－1] (2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并没有找出其中的原因，A、C错误，B正确；万有引力定律是牛顿发现的，D错误。
[变式1－2] (2018·武汉五月训练) 我国预计在2018年12月发射“嫦娥四号”月球探测器。探测器要经过多次变轨，最终降落到月球表面上。如图所示，轨道Ⅰ为圆形轨道，其半径为R；轨道Ⅱ为椭圆轨道，半长轴为a，半短轴为b。如果把探测器与月球的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上扫过的面积速率之比是(已知椭圆的面积S＝πab)( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设探测器在轨道Ⅰ上运动的周期为T1，在轨道Ⅱ上运动的周期为T2，则在轨道Ⅰ上扫过的面积速率为：，在轨道Ⅱ上扫过的面积速率为：，由开普勒第三定律可知：＝，由以上三式联立解得，＝·＝·＝，故C正确。
考点2 天体质量和密度的估算
1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例2 (2018·四川蓉城联考)中共十九大召开之际，据中央台报道，我国已经发射了一百七十多个航天器。其中发射的货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体，如图所示。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T1。如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动，轨道半径为R1，周期为T2。已知地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体。则( )
A．月球的质量可表示为
B．组合体与月球运转的线速度比值为
C．地球的密度可表示为
D．组合体的向心加速度可表示为2g
解题探究 (1)已知月球绕地球的周期和轨道半径，能求月球的质量吗？
提示：不能。只能求中心天体地球的质量。
(2)距地面高度为h的圆形轨道半径为多少？
提示：R＋h。
尝试解答 选C。
由于月球是环绕天体，根据题意可以求出地球的质量，不能求月球的质量，A错误；对于组合体和月球绕地球运动的过程，万有引力提供向心力，设地球质量为M，则由牛顿第二定律可知G＝m，解得v＝，则组合体和月球的线速度比值为 ，B错误；对于组合体，由G＝m·(R＋h)，解得M＝，又因为地球的体积为V＝πR3，整理解得ρ＝＝，C正确；由G＝ma，G＝mg，知组合体的向心加速度大小为a＝2g，D错误。
总结升华
估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)在考虑自转问题时，只有两极才有＝mg。
[变式2－1] (2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案 D
解析 根据G＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据G＝m及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G＝mr可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。
[变式2－2] (2019·宁夏育才中学月考)如图所示，两颗人造卫星绕地球运动，其中一颗卫星绕地球做圆周运动，轨道半径为r，另一颗卫星绕地球沿椭圆形轨道运动，半长轴为a。已知椭圆形轨道卫星绕地球n圈所用时间为t，地球的半径为R，引力常量为G，则地球的平均密度为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 椭圆形轨道卫星的运行周期为T0＝，根据开普勒第三定律得＝，则圆形轨道卫星的周期为T＝T0，对于圆形轨道卫星，万有引力等于向心力，G＝mr，地球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝，A正确。
考点3 人造卫星的运动规律
1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝ ＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例3 (2018·南宁、柳州联考)如图所示，两颗质量相同的人造卫星A、B仅受地球的引力作用在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知在运动过程中，A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ，则A、B( )
A．动能之比为sinθ∶1 B．动能之比为tanθ∶1
C．周期之比为sin2θ∶1 D．周期之比为sinθ∶1
解题探究 (1)如何找到OA连线与A、B连线的最大夹角？
提示：假设A不动，连接OA，观察B运动过程中，何时OA与AB夹角最大。
(2)卫星的v、T与轨道半径有什么关系？
提示：由＝得v＝，由＝mr得T＝。
尝试解答 选A。
运动过程中OAB构成一个三角形，假设A不动，只让B转动，很容易发现OB垂直AB时，OA与AB夹角最大，如图所示。由于OA、OB分别为卫星A、B的轨道半径rA、rB，则有sinθ＝。由万有引力提供向心力可得G＝m，G＝m2r，可求出A与B的动能之比＝＝＝，周期之比＝＝，A正确。
总结升华
人造卫星问题的解题技巧
(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。
G＝man＝m＝mω2r＝m2r＝m(2πf)2r。
(2)第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r近似等于地球半径
v＝＝7.9 km/s
万有引力近似等于卫星的重力，即
mg＝m，v＝＝7.9 km/s。
(3)同步卫星：①具有特定的线速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和轨道半径；③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。
比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。
(4)天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1，2，3…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0，1，2…
[变式3－1] (2018·武昌调研)2017年6月15日上午11时，我国在酒泉卫星发射中心采用长征四号乙运载火箭，成功发射了首颗X射线空间天文卫星——“慧眼”，该卫星工程将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国空间X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越。卫星发射入轨后，将开展多个方面的空间探测活动。已知“慧眼”在距地面高度为h的圆形轨道上运行，地球半径为R、地球自转周期为T0、地球表面的重力加速度为g、引力常量为G。则下列关于“慧眼”在轨运行的结论错误的是( )
A．线速度大小为v＝R
B．角速度大小为ω＝
C．周期为T＝
D．向心加速度大小为a＝(R＋h)
答案 D
解析 “慧眼”围绕地球做圆周运动的过程中，万有引力提供其做圆周运动的向心力，设“慧眼”的质量为m，则G＝m，又由于G＝m0g，m0为地球表面物体的质量，由以上两式整理可得“慧眼”的线速度大小为v＝，A正确；又由于G＝mω2·(R＋h)，整理解得ω＝ ，B正确；由于T＝，解得T＝ ，C正确；“慧眼”的向心加速度大小应为a＝(R＋h)，则D错误。
[变式3－2] (2018·湖南师大附中月考六)(多选)已知地球自转周期为T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是( )
A. B. C. D.
答案 CD
解析 设地球的质量为M，卫星的质量为m，运动周期为T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有：＝，解得：T＝2π 。同步卫星的周期与地球自转的周期相同，即为T0。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是：＝ ＝，解得：T＝。设卫星每隔t时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt得：t＝2nπ＋t，解得t＝(n＝1,2,3，…)，当n＝1时t＝，当n＝3时t＝，故A、B错误，C、D正确。
考点4 航天器的变轨问题
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行，前者是轨道的突变，后者是轨道的渐变。
1．卫星轨道的渐变
(1)当卫星的速度增加时，G
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v。
(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
3．卫星变轨时一些物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ
A．“鸿雁一号”在轨道1的B点处的速度比在轨道1的A点处的速度大
B．“鸿雁一号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大
C．“鸿雁一号”在轨道1的A点处的加速度与在轨道2的A点处的加速度相等
D．“鸿雁一号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大
解题探究 (1)卫星在近地点A由轨道1变轨为轨道2应加速还是减速？
提示：加速。
(2)卫星在轨道1由A点运动到B点，万有引力做什么功？
提示：负功。
尝试解答 选C。
在轨道1上从A到B过程中引力做负功，速度减小，故“鸿雁一号”在轨道1的B点处的速度比在轨道1的A点处的速度小，A错误；从轨道1变轨到轨道2，需要在A点点火加速，故“鸿雁一号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度小，B错误；“鸿雁一号”在轨道1的A点处到地心的距离等于在轨道2的A点处到地心的距离，根据a＝可知“鸿雁一号”在轨道1的A点处的加速度与在轨道2的A点处的加速度相等，C正确；因为卫星在轨道1的A点处点火加速进入轨道2，所以在轨道2的机械能大于在轨道1的机械能，故D错误。
总结升华
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝ 判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度，如例4中的A选项。
总结升华
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。
从远地点到近地点，万有引力对卫星做正功，动能Ek增大，引力势能减小。
(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。
[变式4] 目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定增大
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减少量
答案 D
解析 由＝m得v＝，由于受到稀薄气体的阻力，轨道半径r减小，则v增大，卫星的动能增大，A错误；由于卫星的高度逐渐降低，所以地球引力对卫星做正功，引力势能减小，B错误；由于气体阻力做负功，所以卫星和地球组成的系统机械能减少，故C错误；根据动能定理，可知引力与空气阻力对卫星做的总功为正值，而引力做的功等于引力势能的减少量，所以卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减少量，D正确。
建模提能2 双星、多星模型
前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看做近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。
1．双星模型
(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，
＝m2ωr2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
＝。
⑤双星的运动周期
T＝2π。
⑥双星的总质量
m1＋m2＝。
2．三星模型
(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。
(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。
(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
【典题例证】
(2018·河南第二次模拟)(多选)在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星。已知组成某双星系统的两颗恒星质量分别为m1和m2，相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知万有引力常量为G。m1的动能为Ek，则m2的动能为( )
A．G－Ek B．G－Ek
C.Ek D.Ek
[解析] 对双星，都是万有引力提供向心力，故：G＝m1ω2R1＝m2ω2R2；其中：L＝R1＋R2，联立解得：R1＝，R2＝，根据v＝rω，则＝＝，则＝＝＝，即Ek2＝Ek，C正确，D错误；G＝m2＝，即Ek2＝·，同理Ek1＝·，则Ek1＋Ek2＝·＝，则Ek2＝G－Ek，B正确，A错误。
[答案] BC
名师点睛 解决双星、多星问题，要抓住四点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
【针对训练】
(2018·哈尔滨调研)(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统运动的线速度大小为v＝
B．直线三星系统的运动周期为T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为v′＝
答案 BC
解析 对直线三星系统中的其中一颗环绕星，有G＋G＝M，解得v＝ ，A错误；根据T＝，可知B正确；对三角形三星系统中的任意一颗星体，有2Gcos30°＝M2，三角形三星系统的周期等于直线三星系统的周期T＝4πR·，联立解得L＝R，C正确；根据T＝，若按照r＝R计算，就会得到v′＝，但r＝≠R，故D错误。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
2．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 设脉冲星质量为M，密度为ρ，半径为R，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知：≥m2R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正确。
3．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒第三定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，C正确。
4．(2018·北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
答案 B
解析 设月球质量为M月，地球质量为M，地球半径为r，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝，苹果受到的万有引力为F＝，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律＝M月·a月，＝ma，整理可以得到a月＝a，故B正确；在月球表面处G＝m′g月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到引力为F′＝G，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面引力之间的关系，故D错误。
5．(2018·天津高考)(多选) 2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G＝mr，等式两边卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、 B错误；由G＝mr，G＝mg，解得r＝ ，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
配套课时作业
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共12小题，每小题6分，共72分。其中1～7为单选，8～12为多选)
1．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
答案 C
解析 天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，C正确。
2．(2018·江苏高考)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
答案 A
解析 设地球质量为M，人造卫星质量为m，人造卫星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，得v＝，ω＝，T＝2π ，a＝，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，所以A正确，B、C、D错误。
3．我国计划2018年12月进行“嫦娥四号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据。假设该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ，万有引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球密度的表达式是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 经过时间t卫星行程为s，划过弧对应角度为θ，所以卫星的线速度v＝，角速度ω＝，卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r＝＝，万有引力提供向心力，G＝m，得M＝，月球密度ρ＝＝·＝，故B项正确。
4．(2016·四川高考) 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1
C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3
答案 D
解析 对于东方红一号与东方红二号，由G＝ma得：a＝，由此式可知a1>a2。对于地球同步卫星东方红二号和地球赤道上的物体，角速度相同，由a＝ω2r可知，半径大的加速度大即a2>a3。综上可知，a1>a2>a3，故D正确。
5．(2018·银川一中第一次模拟)我国预计于2019年发射“嫦娥五号”探月卫星，计划执行月面取样返回任务。“嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步，如图所示，第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道Ⅰ，第二步在环月轨道的A处进行变轨进入月地转移轨道Ⅱ，第三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从B点进入绕地圆轨道Ⅲ，第四步再次变轨道后降落至地面，下列说法正确的是( )
A．将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ时所需的发射速度为7.9 km/s
B．“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ需要加速
C．“嫦娥五号”从A沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中其动能一直增加
D．“嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速
答案 B
解析 因v＝，知月球上g月
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
答案 C
解析 对于绕地球做圆周运动的人造天体，由＝m，有v＝ ∝，可见v与r是一一对应的。在同一轨道上运行速度相同，不能对接；而从同一轨道上加速或减速时由于发生变轨，二者不再处于同一轨道上，亦不能对接，A、B错误。飞船处于半径较小的轨道上，要实现对接，需增大飞船的轨道半径，当飞船加速时，飞船所需的向心力大于提供的向心力，飞船做离心运动，则轨道半径变大，同理，当飞船减速时，轨道半径变小，故C正确，D错误。
7．(2018·福建4月质检) 位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜。通过FAST测得水星与太阳的视角为θ(水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角)，如图所示。若最大视角的正弦值为k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为( )
A.年 B. 年
C.年 D. 年
答案 C
解析 本题应先理解最大视角的定义，如图所示，连接太阳、水星和观察者，构成虚线三角形，由正弦定理得＝，sinα＝1，即α＝90°时θ最大，即此时观察者与水星的连线应与水星轨道相切，由三角函数可得，此时sinθ＝＝k，由万有引力提供向心力G＝mr，解得：T＝2π ，故＝＝(也可以直接由开普勒第三定律得到)，得T水＝T地·，而T地＝1年，故T水＝年，故选C。
8．(2017·江苏高考)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其( )
A．角速度小于地球自转角速度
B．线速度小于第一宇宙速度
C．周期小于地球自转周期
D．向心加速度小于地面的重力加速度
答案 BCD
解析 由＝m(R＋h)知，周期T与轨道半径的关系为＝k(恒量)，同步卫星的周期与地球的自转周期相同，但同步卫星的轨道半径大于“天舟一号”的轨道半径，则“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也就小于地球的自转周期，C正确；由ω＝知，“天舟一号”的角速度大于地球自转的角速度，A错误；由＝m知，线速度v＝ ，而第一宇宙速度v′＝ ，则v
A．TA>TB B．EkA>EkB
C．SA＝SB D.＝
答案 AD
解析 卫星做匀速圆周运动时有＝m＝mRω2＝mR，则T＝2π ∝，故TA>TB，＝，A、D正确；Ek＝mv2＝∝，故EkA
A．随着时间的推移，月球在离开地球“视线”之前的重力势能会缓慢增大
B．月球“刚开始”环绕地球运动的线速度大小约为目前的15倍
C．月球“刚开始”环绕地球运动的周期约为8 h
D．月球目前的向心加速度约为“刚开始”的倍
答案 AC
解析 月球在离开地球“视线”之前要克服万有引力做功，所以重力势能会缓慢增大，A正确；根据万有引力充当向心力得v＝ ，所以刚开始时v′＝v＝4.36v，B错误；根据万有引力充当向心力得T＝，所以刚开始时T′＝T＝ h ≈8 h，故C正确；根据万有引力充当向心力得＝ma，所以目前的向心加速度为a＝a′＝a′，D错误。
11．(2019·广州第一次测试)某人在春分那天(太阳光直射赤道)站在地球赤道上用天文望远镜观察他正上方的一颗同步卫星，他发现在日落后连续有一段时间t观察不到此卫星。已知地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，圆周率为π，仅根据g、t、T、π可推算出( )
A．地球的质量
B．地球的半径
C．卫星距地面的高度
D．卫星与地心的连线在t时间内转过的角度
答案 BCD
解析 赤道上物体所受万有引力可近似等于重力，设物体质量为m，地球半径为R，则mg＝m2R，R＝，B正确；如图所示，由于太阳和地球相距很远，太阳光可看成平行光射向地球，同步卫星相对地球赤道上观察者静止，当在∠AOB范围内绕地心做圆周运动时，由于太阳光不能照射到卫星上，观察者观察不到卫星，则有＝，又＝sin，两式联立可得h＝－R，C正确；由＝，可得θ＝，D正确。由于万有引力常数G未知，根据已知条件无法求出地球的质量，A错误。
12. 如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座T星”系统的照片，该系统是由一颗白矮星和它的类日伴星组成的双星系统。图片下面的亮点为白矮星，上面的部分为类日伴星(中央的最亮的为类似太阳的天体)。由于白矮星不停地吸收由类日伴星抛出的物质致使其质量不断增加，科学家预计这颗白矮星在不到1000万年的时间内会完全“爆炸”，从而变成一颗超新星。现假设类日伴星所释放的物质被白矮星全部吸收，并且两星之间的距离在一段时间内不变，两星的总质量不变，不考虑其他星体对该“罗盘座T星”系统的作用，则下列说法正确的是( )
A．两星之间的万有引力不变
B．两星的运动周期不变
C．类日伴星的轨道半径减小
D．白矮星的线速度变小
答案 BD
解析 两星间距离在一段时间内不变，由万有引力定律可知，两星的质量总和不变而两星质量的乘积必定变化，则万有引力必定变化，故A错误；组成的双星系统的周期T相同，设白矮星与类日伴星的质量分别为M1和M2，圆周运动的半径分别为R1和R2，由万有引力定律提供向心力：G＝M1R1＝M2R2，可得：GM1＝，GM2＝，两式相加：G(M1＋M2)T2＝4π2L3，白矮星与类日伴星的总质量不变，则周期T不变，故B正确；由G＝M1R1＝M2R2得：M1R1＝M2R2，知双星运行半径与质量成反比，类日伴星的质量逐渐减小，故其轨道半径增大，白矮星的质量增大，轨道变小，故C错误；白矮星的周期不变，轨道半径减小，根据v＝，线速度减小，故D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共28分)
13．(12分)宇航员到达某星球后，试图通过相关测量估测该星球的半径。他在该星球上取得一矿石，测得其质量为m0，体积为V0，重力为W，若所取矿石密度等于该星球的平均密度，引力常量为G，该星球视为球形，请用以上物理量推导该星球半径的表达式。
答案 R＝
解析 设矿石的密度为ρ0，由题意知ρ0＝
该星球表面的重力加速度为g＝
在该星球表面，万有引力等于重力G＝m0g
该星球的平均密度为ρ＝
据题意：ρ＝ρ0，V＝πR3
联立以上各式解得：R＝。
14．(16分) 如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
(1)求卫星B的运行周期；
(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
答案 (1)2π (2)
解析 (1)由万有引力定律和向心力公式得
G＝m(R＋h)①
又G＝mg②
联立①②式得TB＝2π③
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π④
由③得ωB＝
代入④得t＝。
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