初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第4章 三角形4.5 等腰三角形评课课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第4章 三角形4.5 等腰三角形评课课件ppt，共27页。PPT课件主要包含了学习目标，等腰三角形，等边三角形，一般三角形，等边对等角，三线合一，等角对等边，两边相等，两腰相等，轴对称图形等内容，欢迎下载使用。
1．探索等边三角形的性质和判定；（重点）2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.（难点）
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫等边三角形.
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
AB = AC = BC
等边三角形的性质定理：等边三角形的各角等于 60°.
如图，△ABC 是等边三角形，则 AB = AC = BC.由于 AB＝AC，则根据等腰三角形的性质定理得，∠B＝∠C.同理，由于AC＝BC，因此∠A＝∠B，从而∠A＝∠B＝∠C.根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，因此∠A＝∠B＝∠C＝60°.
问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边上的高、底边的中线三线合一
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
例1 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵ BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°.∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解.
如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，延长 BC 到 E，使得 CE = CD．求证：BD = DE.
证明：∵△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，∴∠ABC =∠ACB = 60°，∠DBC = 30°．又∵ CE = CD，∴∠CDE =∠CED．又∵∠BCD =∠CDE +∠CED = 60°，∴∠CDE =∠CED = 30°．∴∠DBC =∠DEC．∴ BD = DE (等角对等边)．
由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？
逆命题成立. 如图，在△ABC 中，由于∠A =∠B，则 AC = BC.同理可由∠B =∠C 得 AB = AC.于是AB = AC = BC.因此△ABC 是等边三角形.
等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
如图，在△ABC 中，AB＝AC.
情形1 设∠A＝60°.根据三角形内角和定理得∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°.由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60°于是△ABC 是等边三角形.
情形2 设∠B＝60°.由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°，从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60°因此△ABC 是等边三角形.
情形3 设∠C＝60°.与情形2 类似，同理可证△ABC 是等边三角形.
等边三角形的判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
例2 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.求证：△ADE 是等边三角形.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠ABC =∠ACB = 60°．∵ DE∥BC，∴∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED.∴∠A =∠ADE =∠AED.∴△ADE 是等边三角形.
变式1　若点 D、E 分别在边 AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
变式2 若点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上，且 DE∥BC，结论依然成立吗？
证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠B =∠C = 60°．∵ DE∥BC，∴∠B =∠D，∠C =∠E．∴∠EAD =∠BAC =∠D =∠E．∴△ADE 是等边三角形．
变式3 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 BD = CE，△ADE 还是等边三角形吗? 试说明理由.
∴∠A = 60°，AB = AC.
∴ AB－BD = AC－CE，即 AD = AE.
又∵∠A = 60°，
例3 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ 为等边三角形．证明如下：∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS).∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ 是等边三角形.
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于 60°.
证明：∵ △ABC 为等边三角形，且 AD = BE = CF，∴ AF = BD = CE，∠A =∠B =∠C = 60°.∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.∴ DF = ED = FE.∴△DEF 是等边三角形.
针对训练：如图，等边△ABC 中，D、E、F 分别是各边上的点，且 AD = BE = CF．求证：△DEF 是等边三角形．
2. 如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O，过点 O 作 DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有 ( )
A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个
1. 等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是 ( ) A．105° B．120° C．135° D．150°
3. 如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC，BD = BF，则∠CDF 的度数是（　　）A．10° B．15° C．20° D．25°
4. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC 的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 cm.
证明：∵△ABD 是等边三角形，∴∠DAB＝60°.∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CBE＝180°－90°－30°＝60°．∴∠FAE＝∠CBE．∵ E 为 AB 的中点，∴ AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC (ASA)．
5. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠CAB = 30°，以 AB 为边在△ABC 外作等边△ABD，E 是 AB 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于 F．求证：△AEF≌△BEC．
6. 如图，A、O、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两 个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小.
∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形.
∴ AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°.
∵ A、O、D 三点共线，
∴∠DOB =∠COA = 120°.
∴△COA≌△DOB (边角边).
∴∠DBO =∠CAO.
设 OB 与 EA 相交于点 F.
∵∠EFB =∠AFO，
∴∠AEB =∠AOB = 60°.