2026甘肃职教高考数学总复习 10.1两个计数原理课件

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第10章　概率与统计初步
10．1　两个计数原理
考试内容分类计数原理和分步计数原理；随机事件和概率；概率的简单性质；古典概型；总体与样本；抽样方法；频率分布表；频率分布直方图；样本均值、方差和标准差．
考试要求1．掌握分类计数原理与分步计数原理，会用分类计数原理与分步计数原理分析和解决一些简单的实际问题．2．理解概率的概念和简单性质，理解古典概型的概念和基本特征，掌握古典概率的计算公式与互斥事件的概率加法公式，会计算一些简单事件的概率．
3．理解总体、个体、样本和样本容量等概念，了解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法．4．掌握频率分布表与频率分布直方图的绘制方法，会利用分布表与直方图解决相关的简单问题．5．了解样本均值、样本方差与样本标准差的计算公式，会计算简单数据的均值、方差和标准差．
1．分类计数原理一般地，完成一件事，有n类方式：第1类方式有k1种方法，第2类方式有k2种方法，…，第n类方式有kn种方法，那么完成这件事的方法共有N＝________________________(种).其特点是：各类办法间相互_________，各类办法中的每种办法都能_________完成这件事(一步到位).
2．分步计数原理一般地，如果完成一件事，需要分成n个步骤：完成第1个步骤有k1种方法，完成第2个步骤有k2种方法，…，完成第n个步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有N＝______________(种).
其特点是：各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，才能完成这件事(一步不到位).
3．分类计数原理和分步计数原理的适用情景确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断是否能够独立完成一件事．在解决一个问题时，每一类方法都能独立完成这件事，则用分类计数原理；在解决一个问题时，需要把每一步都完成才能完成这件事，则用分步计数原理．口诀：分类则加，类类独立；分步则乘，步步相关．
【例1】　(2022年甘肃省分类考试)数字0，8，9能组成的两位数有(　　) A．2个 B．4个 C．6个 D．9个
【点拨】　组成两位数，可以分两步去完成．第一步，确定十位数，可以从8，9两个数中任取一个，有2种取法；第二步，确定个位数，可以从0，8，9三个数中任取一个，有3种取法．根据分步计数原理得N＝2×3＝6(个).
【变式训练1】　手机密码通常由六位数字组成(每位数字都可以从0～9这十个数字中任意选取)，则可以设置________个不同的密码．
【提示】 设置六位数字组成的密码，可以分六步去完成．第一步，确定第一位的数字，可以从0～9这十个数字中任意选取一个，有10种取法；第二步，确定第二位的数字，可以从0～9这十个数字中任意选取一个，有10种取法；以此类推，确定第六位的数字，可以从0～9这十个数字中任意选取一个，有10种取法．根据分步计数原理得N＝10×10×10×10×10×10＝106(个).
【例2】　有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　) A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【点拨】　根据题意，先从6名男医生中选2人，有15种选法，再从5名女医生中选出1人，有5种选法．根据分步计数原理，则不同的选法共有15×5＝75种．故选C.
【变式训练2】　在100件产品中，有97件合格品，3件次品，从中抽取2件来检查，至少有1件次品的抽法有________种．
【提示】 抽取的两件产品中至少有1件次品包括两类情况：第一类是1件次品1件正品，有97×3＝291种抽法；第二类是2件次品，有3种抽法．根据分类计数原理得N＝291＋3＝294(种).本题考查分类计数原理和分步计数原理的综合应用．此类问题，通常的做法是先要把对象分类，然后每一类再分步进行研究．
【例3】　如图10－1，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径有(　　) A．24条 B．18条 C．12条 D．9条 图10－1
【点拨】　可以分成两个步骤：第一步，从E处到F处有6条路径；第二步，从F处到G处有3条路径．由分步计数原理可知，共有N＝6×3＝18(条)不同的路径可走．
【变式训练3】　如图10－2所示，从A地到B地有2条路可通，从B地到C地有3条路可通，从A地到D地有4条路，从D地到C地有2条路可通，那么从A地到C地不同的走法共有________种． 图10－2
【提示】 从A地到C地有两类走法：第一类是从A地经过B地到达C地，第二类是从A地经过D地到达C地．第一类可以分成两个步骤：第一步，从A地到B地有2种不同的走法；第二步，从B地到C地有3种不同的走法．由分步计数原理，共有2×3＝6(种)不同走法．同理，第二类有4×2＝8(种)不同走法．根据分类计数原理，从A地到C地不同的走法共有6＋8＝14(种).
【例4】　用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279
【点拨】　求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．用0，1，2，…，9十个数字组成三位数，可以分三个步骤完成：第一步，确定百位数字，由于百位不能为零，只能从1，2，…，9中任取一个，有9种取法；第二步，确定十位数字，有10种取法；第三步，确定个位数字，有10种取法．所有三位数有N＝9×10×10＝900个．
其中，没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一个，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648个．所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252个．
【变式训练4】　数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的整数．
【提示】 数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的整数总共有五类．第一类是组成一位整数，第二类是组成两位整数，第三类是组成三位整数，第四类是组成四位整数，第五类是组成五位整数．第一类组成一位整数只需确定个位上的数字，总共有5种不同的选法，所以一位整数的个数为5个．
第二类组成两位整数需分两步完成：第一步确定个位上的数字，从1，2，3，4，5中任选一个，有5种取法；第二步，确定十位数字，有4种取法．所以两位整数的个数为5×4＝20(个).以此类推，三位整数的个数为5×4×3＝60(个)，四位整数的个数为5×4×3×2＝120(个)，五位整数的个数为5×4×3×2×1＝120(个).根据分类计数原理得N＝5＋20＋60＋120＋120＝325(个).
一、单项选择题1．某班级有男运动员8人，女运动员7人，现从中选一人去领奖，不同的选法有(　　) A．8种 B．7种 C．15种 D．56种
2．商店里有适合小王的5件不同的上衣，4条不同的裤子，小王要买上衣、裤子各一件，不同的选法共有(　　) A．5种 B．4种 C．9种 D．20种
3．若a∈{1，3，5，6}，b∈{2，3，4，5，6}，则以(a，b)为坐标的点共有(　　) A．4个 B．5个 C．9个 D．20个
4．教学楼共有六层，每层都有南北两个楼梯，从一楼到六楼共有走法(　　) A．10种 B．12种 C．32种 D．64种
5．如果从1，2，3，4，5五个数中每次取出两个数，使其和为偶数，那么不同的选法有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．8种
6．某校市场营销一班有男生25人，女生20人，若要选男、女生各一人代表班级参加校团委组织的“中国梦，我的梦”演讲比赛，则不同的选法有(　　) A．500种 B．45种 C．25种 D．20种
7．连续抛掷1枚质地均匀的硬币3次，可能出现的结果有(　　) A．3种 B．4种 C．8种 D．6种
8．以“1390931”开头的手机号码(手机号码由11位数字组成)有(　　) A．10 000个 B．5 040个 C．6 561个 D．4 536个
二、填空题9．在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20本不同的小说供学生选择．某学生若要从这三类书中任选一本，有________种不同的选法；若要从这三类书中各选一本，有________种不同的选法．
10．将4封不同的信投入3个不同的邮筒，则不同的投法有________种．
11．设袋中共有7个球，其中4个红球，3个白球．从袋中随机取出3个球，要使取出的白球比红球多，有________种取法．
12．如果x∈{1，5}，y∈{2，4，8}，则x＋y不同的值有________个．
13．由2，4，5，8组成不重复的三位数有________个．
14．在甲、乙、丙、丁四位候选人中，选出正副班长各一名，共有________种选法．
三、解答题15．某班同学参加义务献血，在体检合格的同学中，O型血的同学有13人，A型血的同学有9人，B型血的同学有7人，AB型血的同学有1人．(1)从中选一人去献血，有多少种不同的选法？(2)每种血型各选一人去献血，有多少种不同的选法？
解：(1)N＝13＋9＋7＋1＝30(种).(2)N＝13×9×7×1＝819(种).
16．从2位女生和4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，有多少种不同的选法？
解：先分类再分步．第一类：1女2男，分两步，选1位女生有2种方法，再选2位男生有6种方法，N1＝2×6＝12(种)；第二类：2女1男，分两步，选2位女生1种方法，再选1位男生有4种方法，N2＝1×4＝4(种).根据分类计数原理可得，共有12＋4＝16(种).
17．现有0，1，2，3，4这5个数字，试回答以下问题：(1)可以组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？(3)可以组成多少个没有重复数字的三位奇数？(4)可以组成多少个没有重复数字的大于300的三位数？
解：(1)第一步，选择百位数，有4种选法；第二步，选择十位数，有4种选法；第三步，选择个位数，有3种选法．故组成的没有重复数字的三位数共有4×4×3＝48(种).(2)先分类再分步．第一类：个位数是0的三位数，先选百位，再选十位，有4×3＝12(种)；
第二类：个位数是2的三位数，先选百位，再选十位，有3×3＝9(种)；第三类：个位数是4的三位数，先选百位，再选十位，有3×3＝9(种).根据分类计数原理可得，共有12＋9＋9＝30(种).
(3)(方法一)先分类再分步．第一类：个位数是1的三位数，先选百位，再选十位，有3×3＝9(个)；第二类：个位数是3的三位数，先选百位，再选十位，有3×3＝9(个).根据分类计数原理可得，共有9＋9＝18(个).
(方法二)组成的没有重复数字的三位数包含偶数和奇数，其中偶数有30个，则奇数有48－30＝18(个).(4)大于300的三位数百位必须是3或4，则第一步确定百位，有2种选法；第二步确定十位，有4种选法；第三步确定个位，有3种选法．根据分步计数原理可得，共有2×4×3＝24(个).