第二章第九讲 追及相遇问题（专项训练）2025-2026学年高一物理人教版2019必修第一册

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第9讲 追及相遇问题本讲要点一、 考点精讲练考点1：速度小者追速度大者（必备知识+1例+3变式）考点2：速度大者追速度小者（必备知识+1例+3变式）二、 跟踪训练-考点拓展（精选7道题）　考点1：速度小者追速度大者两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者是距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，一个条件：速度相等。这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。两个关系：时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。【例题】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？[答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s【解析】　(1)解法一(物理分析法)：如图甲所示，汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车和自行车间的距离为Δx，则有v自＝at1所以t1＝ eq \f(v自,a)＝2 sΔx＝v自t1－ eq \f(1,2)at eq \o\al(2,1)＝6 m。解法二(相对运动法)：以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s末速度vt＝v汽末－v自＝0加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为t1＝ eq \f(vt－v0,a′)＝2 s最大相对位移Δx＝ eq \f(v eq \o\al(2,t)－v eq \o\al(2,0),2a′)＝－6 m负号表示汽车在后。注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。解法三(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距Δx，则Δx＝v自t1－ eq \f(1,2)at eq \o\al(2,1)代入已知数据得Δx＝6t1－ eq \f(3,2)t eq \o\al(2,1)由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。所以经过t1＝2 s后，汽车和自行车相距最远，最远距离为Δx＝6 m。解法四(图像法)：自行车和汽车的v­t图像如图乙所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻汽车和自行车速度相等，相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t1＝ eq \f(v自,a)＝ eq \f(6,3) s＝2 sΔx＝ eq \f(v自t1,2)＝ eq \f(6×2,2) m＝6 m。(2)解法一(物理分析法)：当汽车和自行车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝ eq \f(1,2)at eq \o\al(2,2)解得t2＝ eq \f(2v自,a)＝ eq \f(2×6,3) s＝4 s此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。解法二(图像法)：由前面画出的v ­t图像可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。【变式1-1】A、B两辆5G自动驾驶测试车，在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小v1＝8 m/s，B车的速度大小v2＝20 m/s，如图所示。当A、B两车相距x0＝20 m时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：(1)A车追上B车之前，两者相距的最远距离Δx；(2)A车追上B车所用的时间t。【解析】(1)当两车速度相等时，两车的距离最大，设经过时间t1两车速度相等，则有v1＝v2－at1，得t1＝6 s，在t1时间内A车位移为x1＝v1t1＝48 m，B车位移为x2＝v2t1－ eq \f(1,2)at eq \o\al(2,1)＝84 m，则两车间最远的距离为Δx＝x2＋x0－x1＝56 m。(2)设经过时间t2，B车停下来，则有0＝v2－at2，得t2＝10 s，此过程中A车和B车的位移分别为x′1＝v1t2＝80 m，x′2＝v2t2－ eq \f(1,2)at eq \o\al(2,2)＝100 m，此时x′2＋x0>x′1，说明A车还没追上B车，设再经过时间t3才追上，则有x′2＋x0－x′1＝v1t3，得t3＝5 s，所以A车追上B车所用的时间为t＝t2＋t3＝15 s。答案：(1)56 m　(2)15 s【变式1-2】(多选甲乙两质点在同一直线上运动，从t＝0时刻起同时出发，甲做匀加速直线运动，x－t图像如图甲所示，已知甲图像过(0，－2)、(1,0)、(2,6)三个点。乙做匀减速直线运动，整个运动过程的x－v2图像如图乙所示，下列说法正确的是( )A．t＝0时刻，甲的速度2 m/s B．甲的加速度大小4 m/s2C．经过eq \f(\r(29),2) s，甲追上乙 D．经过2.5 s，甲追上乙【解析】对甲图有x＝v0t＋eq \f(1,2)a1t2＋x0，将(0，－2)、(1,0)、(2,6)三个点代入上式解得v0＝0，a1＝4 m/s2，x0＝－2 m，A错误，B正确；对乙图有v2－veq \o\al( 2,乙0)＝2a2x，变形为x＝eq \f(1,2a2)v2－eq \f(v\o\al( 2,乙0),2a2)，结合图像可知v乙0＝10 m/s，a2＝－4 m/s2，经分析，乙经过2.5 s停止运动，运动的位移为x乙＝12.5 m，此时甲没有追上乙，设甲追上乙的时间为t，根据位移关系x甲＝x乙＋|x0|，即eq \f(1,2)a1t2＝12.5 m＋|x0|，解得t＝eq \f(\r(29),2) s，C正确，D错误。选BC。【变式1-3】（多选）两车在不同的行车道上同向行驶，t=0时刻，乙车在甲车前方25m。两车速度—时间（v-t）图像分别为图中直线甲和直线乙，交点坐标图中已标出，则（     ）  A．乙车的加速度是 B．第5s末两车相距40mC．相遇前，甲、乙两车的最大距离是55m D．25s末时甲车追上乙车【解析】A．v-t图像中图线的斜率即为物体运动的加速度，所以乙车的加速度为故A错误；B．由图像可得第5s末时，两车的速度分别为v-t图像中图线与坐标轴所围成图形的面积即为物体运动的位移，所以由可得内两车运动的位移分别为所以第5s末两车相距故B正确；C．当两车速度相等时，两车相距最远，由图像可知，第10s末时，两车之间的距离最大。内两车运动的位移分别为所以第10s末两车相距故C错误；D．由图像可得甲车的加速度为设经过时间t甲车追上乙车，则联立解得所以25s末时甲车追上乙车，D正确。故选BD。考点2：速度大者追速度小者在解决追及、相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。2. 分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。【例题】一辆汽车以v0＝20 m/s的速度在平直公路上行驶，制动后要经过x＝100 m才能停下来。现在该汽车正以20 m/s的速度在平直公路上行驶，突然发现正前方x0＝60 m处停有一辆摩托车，汽车司机经Δt＝0.5 s的反应时间后，立即采取制动措施，汽车开始制动的同时摩托车以a2＝3 m/s2的加速度加速启动。求：(1)该汽车制动时的加速度大小a1；(2)汽车是否会与摩托车相撞？若会相撞，将在汽车制动后何时相撞？若不会相撞，则两车的最近距离是多少？答案：(1)2 m/s2　(2)不会相撞　10 m【解析】(1)根据运动学公式－2a1x＝0－veq \o\al(2,0)解得该汽车制动时的加速度大小为a1＝eq \f(v\o\al(2,0),2x)＝eq \f(202,2×100) m/s2＝2 m/s2。(2)设汽车开始制动后经过t时间与摩托车达到共速v，则有v＝v0－a1t，v＝a2t解得t＝4 s，v＝12 m/s此过程汽车通过的位移为x汽＝eq \f(v0＋v,2)t＝64 m摩托车通过的位移为x摩＝eq \f(v,2)t＝24 m由于x汽＋v0Δt＝74 m320 m所以泥石流可以追上汽车，汽车不能安全脱离。【变式2-2】一辆汽车以v0＝20 m/s的速度在平直公路上行驶，制动后要经过x＝100 m才能停下来。现在该汽车正以20 m/s的速度在平直公路上行驶，突然发现正前方x0＝60 m处停有一辆摩托车，汽车司机经Δt＝0.5 s的反应时间后，立即采取制动措施，汽车开始制动的同时摩托车以a2＝3 m/s2的加速度加速启动。求：(1)该汽车制动时的加速度大小a1；(2)汽车是否会与摩托车相撞？若会相撞，将在汽车制动后何时相撞？若不会相撞，则两车的最近距离是多少？答案：(1)2 m/s2　(2)不会相撞　10 m【解析】(1)根据运动学公式－2a1x＝0－veq \o\al(2,0)解得该汽车制动时的加速度大小为a1＝eq \f(v\o\al(2,0),2x)＝eq \f(202,2×100) m/s2＝2 m/s2。(2)设汽车开始制动后经过t时间与摩托车达到共速v，则有v＝v0－a1t，v＝a2t解得t＝4 s，v＝12 m/s此过程汽车通过的位移为x汽＝eq \f(v0＋v,2)t＝64 m摩托车通过的位移为x摩＝eq \f(v,2)t＝24 m由于x汽＋v0Δt＝74 m2.5 s(舍去)，则此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为x＝ eq \f(1,2)at2＝8 m。(2)根据题意可知，乙加速时间应为最长加速时间2.5 s，设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令，则在甲追及乙过程中有s＋ eq \f(1,2)at eq \o\al(2,m)＝vtm，代入数据得s＝12.5 m。(3)根据题意，在(2)情形下，乙加速运动的距离为x1＝ eq \f(1,2)at eq \o\al(2,m)＝12.5 m，则乙匀速运动的时间为t1＝ eq \f(L－x1,v)＝0.75 s，则乙经过接力区的时间是t2＝t1＋tm＝3.25 s。答案：(1)8 m　(2)12.5 m　(3)3.25 s