2025届河北省秦皇岛市山海关第一中学高三下全国统一考试押题卷(一)数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若复数满足，则（ ）
2. 已知定义域为的函数不是奇函数，则（ ）
3. 甲、乙、丙三人排成一排，则甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是（ ）
4. 若，，则（ ）
5. 已知圆台的上､下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（ ）
6. 设函数，若在区间上有且仅有一个零点，则（ ）
7. 在等差数列中，若，则的前8项和为（ ）
8. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 设随机变量，令，则下列说法正确的是（ ）
10. 下列选项正确的是（ ）
11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 在中，，则面积的最大值是__________．
13. 已知点、为椭圆 的左、右焦点，点为该椭圆上一点， 且满足 ，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为_____.
14. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
16. 某大棚疏菜种植基地为增强光照强度，引进了4台大型照明设备，已知在一个月时间里，每台设备至多出现一次故障，且每台设备是否出现故障互不影响，出现故障时需要一名技术员维修，每台设备出现故障的概率均为．
(1)设一个月内这4台设备有台出现故障，请写出的分布列和数学期望．
(2)如果该种植基地要保证在任何时刻每台设备同时出现故障时都能及时得到维修的概率不小于0.85，那么应该至少雇佣多少名技术员？
(3)已知1名技术员每月只能维修1台设备，每月需支付给每位技术员1万元工资．每台设备不出现故障或者出现故障能及时维修，就能带来5万元利润，否则就不产生利润，为使每月利润更高，请判断该基地应该雇佣2名技术员还是3名技术员？
17. 如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， .
(1)证明:
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若点是平面内的动点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
19. 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作．
设集合．
(1)求；
(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造，
②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构．
请从①②中选择一个，若选择_____．
证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）．
注：若①②都作答，按第一个计分．
2025届河北省秦皇岛市山海关第一中学全国统一考试押题卷(一)数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、函数与导数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、数列、等式与不等式、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．26
B．50
C．
D．
A．1
B．
C．
D．不存在
A．是减函数
B．
C．是偶函数
D．的图象关于点对称
A．若正实数满足，则的最小值为10
B．函数的值域是
C．若正实数满足，则的最大值为
D．若正实数满足，则的最小值为
A．当时，曲线关于直线对称
B．当时，是两条直线
C．当时，若点是曲线上的任意一点，则
D．当时，曲线上的点到原点距离的最小值为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
5
适中
10
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
求复数的模；复数的除法运算
2
0.85
用全称量词改写命题；用存在量词改写命题；函数奇偶性的定义与判断
3
0.85
元素（位置）有限制的排列问题；计算古典概型问题的概率
4
0.65
二倍角的正弦公式；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；三角函数的化简、求值——诱导公式
5
0.85
求线面角
6
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；由余弦（型）函数的奇偶性求参数
7
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
8
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题
二、多选题
9
0.85
概率分布曲线的认识；正态曲线的性质
10
0.65
基本不等式求和的最小值；基本不等式“1”的妙用求最值；基本不等式求积的最大值；条件等式求最值
11
0.4
由方程研究曲线的性质；基本不等式“1”的妙用求最值
三、填空题
12
0.65
余弦定理解三角形；基本不等式求积的最大值；三角形面积公式及其应用
13
0.4
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
14
0.65
多面体与球体内切外接问题；线面垂直证明线线垂直
四、解答题
15
0.65
根据离心率求双曲线的标准方程；双曲线中的定值问题；已知方程求双曲线的渐近线
16
0.65
求离散型随机变量的均值；二项分布的均值；写出简单离散型随机变量分布列；建立二项分布模型解决实际问题
17
0.65
面面垂直证线面垂直；线面角的向量求法；证明线面垂直；面面角的向量求法
18
0.4
由函数在区间上的单调性求参数；利用导数证明不等式；零点存在性定理的应用；由导数求函数的最值（含参）
19
0.4
二项式定理与数列求和；集合新定义；利用定义求等差数列通项公式；写出等比数列的通项公式
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2,19
3
函数与导数
2,6,8,18
4
计数原理与概率统计
3,9,16,19
5
三角函数与解三角形
4,6,12
6
空间向量与立体几何
5,14,17
7
数列
7,19
8
等式与不等式
10,11,12
9
平面解析几何
11,13,15