河北省秦皇岛市山海关区2025届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（含答案及解析）

这是一份河北省秦皇岛市山海关区2025届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（含答案及解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 已知复数满足，则（ ）
3. 已知向量，若，则（ ）
4. 已知，则（ ）
5. 已知高为的圆锥的底面半径是圆柱底面半径的两倍，圆柱的高为圆锥高的两倍，且圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥的体积为（ ）
6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
7. 已知曲线与相邻的三个交点分别为，若是边长为6的等边三角形，则（ ）
8. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的是（ ）
二、多选题(本大题共 1 小题，每小题 6 分，共 6 分)
9. 为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（ ）
三、单选题(本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分)
10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ）
11. 已知动点在曲线上，原点在直线上的射影为点的轨迹称为“圆方曲线”，则（ ）
四、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 过原点的直线与双曲线交于两点，为的右顶点，直线与直线的斜率之积为3，则的渐近线方程为_____．
13. 设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_____．
14. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．为领悟航天精神，感受中国梦想，某市组织了一次航天知识竞赛．已知该市，四所学校各派两名学生参加本次竞赛，这8名学生要坐在如下表所示的座位上开赛前大会，则同一学校的两名学生在同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3个不同学校的学生的概率为_____．
五、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
16. 已知为椭圆上一点，的离心率为．
(1)求的方程；
(2)已知，若过点的直线交于另一点，且．
（ⅰ）若在第一象限，求直线的斜率；
（ⅱ）求的方程．
17. 如图①，在梯形中，为线段的中点，将沿折起至，如图②．
(1)若，证明：；
(2)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的正弦值．
18. 已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：；
(3)若，求的取值范围．
19. 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.
河北省秦皇岛市山海关区2025届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、函数与导数、计数原理与概率统计、平面解析几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．2
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．的图像关于点中心对称
B．若不等式的解集为且，则是的极小值点
C．若不等式的解集为且，则当时，
D．若不等式的解集为且，则的极大值为32
A．曲线所围成区域的面积为4
B．直线与圆相切
C．“圆方曲线”与曲线无交点
D．“圆方曲线”的周长为
1
2
3
4
5
6
7
8
题型
数量
单选题
10
多选题
1
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
5
适中
8
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.85
复数的乘方；复数的相等；求复数的模
3
0.85
向量垂直的坐标表示；平面向量线性运算的坐标表示
4
0.65
正、余弦齐次式的计算；二倍角的正弦公式；用和、差角的正切公式化简、求值
5
0.94
圆柱表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；圆锥的结构特征辨析
6
0.65
由函数在区间上的单调性求参数；根据分段函数的单调性求参数；根据函数的单调性求参数值
7
0.65
三角函数图象的综合应用；诱导公式五、六
8
0.4
函数基本性质的综合应用；比较函数值的大小关系
10
0.65
函数对称性的应用；求已知函数的极值；利用导数求函数的单调区间（不含参）；根据函数的单调性解不等式
11
0.4
判断直线与圆的位置关系；求平面轨迹方程；求点到直线的距离；由方程研究曲线的性质
二、多选题
9
0.85
3δ原则；正态曲线的性质；指定区间的概率
三、填空题
12
0.85
根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
13
0.94
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；已知切线（斜率）求参数；两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
14
0.4
不相邻排列问题；计算古典概型问题的概率；分组分配问题
四、解答题
15
0.65
由递推关系证明等比数列；分组（并项）法求和；写出等比数列的通项公式；求等比数列前n项和
16
0.65
根据离心率求椭圆的标准方程；求直线与椭圆的交点坐标；用定义求向量的数量积；数量积的坐标表示
17
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法；余弦定理解三角形
18
0.4
利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数求函数（含参）的单调区间；函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数证明不等式
19
0.65
求已知函数的极值；超几何分布的分布列；计算条件概率；由离散型随机变量的均值求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1
3
复数
2
4
平面向量
3,16
5
三角函数与解三角形
4,7,17
6
空间向量与立体几何
5,17
7
函数与导数
6,8,10,13,18,19
8
计数原理与概率统计
9,14,19
9
平面解析几何
11,12,16
10
数列
15