2025届河北省秦皇岛市山海关区高三下第三次模拟考试数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 下列关于复数的说法，正确的是（ ）
3. 已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为（ ）
4. 若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（ ）
5. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
6. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（ ）
7. 在平面直角坐标系中，“”是“为第四象限角”的（ ）
8. 如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知随机变量X服从正态分布N（100，102），则下列选项正确的是（ ）
（参考数值：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）
10. 已知函数且，则（ ）
11. 已知函数，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 安排4位顾客去三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有___________种．
13. 已知双曲线的左焦点为，直线经过点与的左、右两支各有一个交点，若与的其中一条渐近线垂直，则的离心率的取值范围为___________．
14. 已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为___________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的苹果树上随机摘下100个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间的苹果中随机抽取5个，再从这5个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果质量均小于200克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有50000个苹果待出售，某电商提出两种收购方案：
．所有苹果均以4元/千克收购；
．低于225克的苹果以元/个的价格收购，高于或等于225克的苹果以1元/个的价格收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
16. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，点在棱上．
(1)若为的中点，证明：；
(2)若两条异面直线所成角的余弦值为，求的值．
17. 设函数．
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)记，若，试讨论在上的零点个数．
18. 如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与轴交于点，记的面积为，的面积为．
(1)若的焦点为，且的最小值为，求的值；
(2)若存在点，使得，求的取值范围．
19. 对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．
(1)已知数列满足：，判断是否是纯周期数列，并求；
(2)记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足
①若，证明：数列是纯周期数列；
②证明：不论为何值，总存在，使得．
2025届河北省秦皇岛市山海关区高三第三次模拟考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、平面向量、平面解析几何、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、等式与不等式、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数，则是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数满足，则均为实数
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．E（X）＝100
B．D（X）＝100
C．P（X≥90）＝0.8413
D．P（X≤120）＝0.9987
A．是周期函数
B．的图象是轴对称图形
C．的图象关于点对称
D．
A．的极小值是1
B．恰有2个零点
C．方程恰有1个实根
D．对任意的，都有
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
3
适中
10
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
并集的概念及运算；求对数型复合函数的定义域
2
0.65
已知复数的类型求参数；判断复数对应的点所在的象限；复数的基本概念；复数的坐标表示
3
0.85
平面向量线性运算的坐标表示；坐标计算向量的模
4
0.65
点和椭圆的位置关系；根据方程表示椭圆求参数的范围
5
0.94
正弦定理边角互化的应用；余弦定理边角互化的应用
6
0.65
判断正方体的截面形状；面面平行证明线线平行
7
0.65
充要条件的证明
8
0.65
球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
二、多选题
9
0.85
正态曲线的性质；3δ原则
10
0.65
函数的周期性的定义与求解；判断或证明函数的对称性；三角函数的化简、求值——诱导公式；二倍角的余弦公式
11
0.4
求已知函数的极值；利用导数研究函数的零点；求函数零点或方程根的个数
三、填空题
12
0.94
分步乘法计数原理及简单应用
13
0.94
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
14
0.65
根据函数的单调性解不等式；由函数奇偶性解不等式；解不含参数的一元二次不等式
四、解答题
15
0.65
由频率分布直方图估计平均数；计算古典概型问题的概率；实际问题中的组合计数问题
16
0.65
线面垂直证明线线垂直；异面直线夹角的向量求法；证明线面垂直
17
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点
18
0.4
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；抛物线中的三角形或四边形面积问题；点与圆的位置关系求参数
19
0.15
由递推关系式求通项公式；由递推数列研究数列的有关性质；对数的运算；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,7
2
函数与导数
1,10,11,14,17,18,19
3
复数
2
4
平面向量
3
5
平面解析几何
4,13,18
6
三角函数与解三角形
5,10
7
空间向量与立体几何
6,8,16
8
计数原理与概率统计
9,12,15
9
等式与不等式
14
10
数列
19