上海市风华中学2024-2025学年高三下学期5月三模数学试卷（含答案解析）

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一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1. 设全集，若集合，则______．
2. 函数的最小正周期为_______．
3. 若复数z满足（是虚数单位），则复数_____________．
4. 设随机变量X服从正态分布，若，则___________．
5. 在的展开式中常数项是________________.（用数字作答）
6. 已知空间向量，，，若，则______．
7. 已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______
8. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则________．
9. 已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________.
10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则_________.
11. 已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________．
12. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是________.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 已知，则“”是“”的（ ）．
14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
15. 如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（ ）
16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．

(1)求证：平面PBC；
(2)求二面角的正弦值．
18. 已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
19. 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
(1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
(3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差．
附：，．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
21. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点.
(1)已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由；
(2)设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对；
(3)若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：.
上海市风华中学2024-2025学年高三下学期5月三模数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、不等式选讲、三角函数与解三角形、复数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、函数与导数、平面解析几何、平面向量、等式与不等式、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．充分不必要条件；
B．必要不充分条件；
C．充要条件；
D．既不充分也不必要条件．
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．直线始终与直线异面
D．直线始终与直线异面
A．①和②都为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①和②都为假命题
不达标
达标
合计
男
300
女
100
300
合计
450
600
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
5
适中
9
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
补集的概念及运算；公式法解绝对值不等式
2
0.94
求余弦（型）函数的最小正周期；二倍角的余弦公式
3
0.85
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算
4
0.94
特殊区间的概率
5
0.85
求指定项的系数
6
0.85
空间向量垂直的坐标表示
7
0.85
由奇偶性求函数解析式；求指数型复合函数的值域；函数奇偶性的应用
8
0.85
二倍角的正弦公式；正弦定理边角互化的应用；已知正（余）弦求余（正）弦；逆用和、差角的正弦公式化简、求值
9
0.65
已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
10
0.65
计算条件概率
11
0.65
数量积的坐标表示；向量与几何最值
12
0.4
函数与方程的综合应用；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数新定义
二、单选题
13
0.65
判断命题的必要不充分条件；分式不等式；分类讨论解绝对值不等式
14
0.65
互斥事件与对立事件关系的辨析；判断所给事件是否是互斥关系
15
0.65
异面直线的判定；线面垂直证明线线垂直
16
0.4
数列新定义；数列不等式恒成立问题；求等差数列前n项和；求等比数列前n项和
三、解答题
17
0.65
面面平行证明线面平行；面面角的向量求法；证明面面平行
18
0.65
函数奇偶性的定义与判断；与二次函数相关的复合函数问题；求指数型复合函数的值域；根据零点所在的区间求参数范围
19
0.65
独立性检验解决实际问题；利用二项分布求分布列；完善列联表；利用互斥事件的概率公式求概率
20
0.4
椭圆中三角形（四边形）的面积；求椭圆中的最值问题；椭圆定义及辨析
21
0.4
利用导数证明不等式；函数新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,13
2
不等式选讲
1,13
3
三角函数与解三角形
2,8
4
复数
3
5
计数原理与概率统计
4,5,10,14,19
6
空间向量与立体几何
6,15,17
7
函数与导数
7,12,18,21
8
平面解析几何
9,20
9
平面向量
11
10
等式与不等式
13
11
数列
16