上海市风华中学2025届高三下学期高考冲刺数学试卷（含答案解析）

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一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1. 已知集合，则__________．
2. 在正项等比数列中，，则__________.
3. 设为虚数单位，若为纯虚数，则实数_________.
4. 命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.
5. 若，且，则______．
6. 的二项展开式中的常数项为______．（用数字作答）
7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .
8. 已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________.
9. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为__________.
10. 将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____.
11. 已知集合，若对任意位置向量（其终点），均存在位置向量，（其终点）满足，使得，则的最小值________．
12. 对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为__________.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. “”是“”的（ ）条件．
14. 对圆上任意一点，若的值都与，无关，则实数的取值范围是（ ）
15. 对于函数，有下列四个命题
①任取，，都有；
②（为正整数），对一切恒成立；
③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则；
④函数有5个零点
上述四个命题中正确的个数为（ ）
16. 有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①，且；
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992.
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 已知函数.
(1)求的单调增区间；
(2)设为锐角三角形，角所对的边分别是，若，求的面积.
18. 如图，在三棱柱中，，为的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.
19. 在运动会上，甲､乙､丙参加跳高比赛，比赛成绩达到米及以上将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了三位选手以往的比赛成绩，数据如下（单位：米）
甲：
乙：
丙：
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立
(1)求甲在比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设是甲､乙､丙在比赛中获得优秀奖的总人数，求的数学期望；
(3)甲､乙､丙在比赛中，谁获得冠军的可能性最大？
20. 已知点分别为双曲线 的左、右焦点，直线：与双曲线有两个不同的交点A，B．
(1)当时，求到直线的距离；
(2)若O为原点，直线与的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C、D，求当△COD的面积最小时，直线的方程；
(3)设P为x轴上一点，是否存在实数，使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值以及点P的坐标；若不存在，说明理由．
21. 定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
(1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和；
(2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有；
(3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
上海市风华中学2025届高三下学期高考冲刺数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、数列、复数、等式与不等式、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、平面解析几何、平面向量、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
A．
B．
C．或
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
5
适中
8
较难
6
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.85
并集的概念及运算；具体函数的定义域
2
0.94
等比数列下标和性质及应用
3
0.85
已知复数的类型求参数
4
0.85
根据全称命题的真假求参数；分式不等式
5
0.85
指数式与对数式的互化；运用换底公式化简计算
6
0.94
求二项展开式的第k项
7
0.85
圆锥的展开图及最短距离问题；锥体体积的有关计算
8
0.65
已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
9
0.65
已知数量积求模；数量积的运算律；基本不等式求和的最小值；利用平面向量基本定理求参数
10
0.65
求点关于直线的对称点；求两点的对称轴
11
0.4
平面向量基本定理的应用
12
0.4
集合新定义；利用导数求函数的单调区间（不含参）；求已知函数的极值
二、单选题
13
0.65
充要条件的证明
14
0.65
坐标法的应用——点到直线的距离；由直线与圆的位置关系求参数
15
0.4
分段函数的性质及应用；求函数零点或方程根的个数；求零点的和；分段函数的值域或最值
16
0.4
数列的极限；无穷等比数列各项的和；利用概率的加法公式计算古典概型的概率；构造法求数列通项
三、解答题
17
0.65
求csx型三角函数的单调性；三角形面积公式及其应用；二倍角的余弦公式；余弦定理解三角形
18
0.65
证明线面平行；线面角的向量求法；空间位置关系的向量证明
19
0.4
利用互斥事件的概率公式求概率；计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式
20
0.65
双曲线中的参数及范围；求点到直线的距离；求双曲线中的最值问题
21
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；由定义判定等比数列；求等差数列前n项和
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,4,12,13
2
函数与导数
1,5,12,15,21
3
数列
2,16,21
4
复数
3
5
等式与不等式
4,9
6
计数原理与概率统计
6,16,19
7
空间向量与立体几何
7,18
8
平面解析几何
8,10,14,20
9
平面向量
9,11
10
三角函数与解三角形
17