2025年江苏省南通市中考数学模拟试卷（附答案解析）

这是一份2025年江苏省南通市中考数学模拟试卷（附答案解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各数中最大的是( )
A．-2B．0C．1D．+2.5
2．神舟十九号载人飞船于2024年10月30日04时27分成功发射，近20000名群众现场感受震撼瞬间，20000用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，若，，，则的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
6．某超市第二季度的营业额为万元，第四季度的营业额为万元．如果每季度营业额的平均增长率相同，那么每季度的平均增长率是（ ）
A．B．C．D．
7．将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为，则原抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．C．D．
8．若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．0B．1C．3D．5
9．如图，在菱形中，分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，分别交于点E、F，连接，若直线恰好经过点A，与边交于点M，连接．则下列结论中错误的是（ ）
A．B．如果，那么
C．D．
10．如图①，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点从点出发，以的速度沿匀速运动，其中一点到终点时，另一点随之停止运动，图②是的面积（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象，当的面积为时，运动时间为（ ）
A．B．或C．D．或
二、填空题
11．因式分解： ．
12．若一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥侧面展开图的面积为
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ．
14．如图，小明驾车从A地途经B地到C地，在地图上测得B地在A地的北偏西方向，C地在B地的北偏东方向，C地在A地的北偏东方向，A地到B地的距离是，那么A，C两地的距离约为 ．(结果保留到．参考数据：)
15．如图，中，，，D为边上一点，，则 ．
16．田亩比类乘除捷法是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积六十步，只云长阔共十六步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为60平方步，只知道它的长与宽共16步，根据题意得，设长为x步，列出方程 ．
17．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点C、D在x轴上，且，四边形的面积为4，则 ．
18．如图，在边长为3的等边中，E、F分别是边、的动点，且，连接、交于点P，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
19．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．如图，点F、C在上，，，．求证：．

21．为弘扬我国传统文化，增强文化自信，某校举办“传统文化月”系列活动．活动之一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛．为了解学生答题情况，老师从中随机抽取了n名学生的比赛成绩（满分100分），制作出如下不完整的统计表和统计图：
(1)一共抽取了__________名学生的成绩，m的值是__________，扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角的__________；
(2)若规定学生成绩为“优秀”，估计全校3000名学生中成绩达到“优秀”有__________人；
(3)“传统文化月”系列活动之二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，七（1）班共有4名同学报名参赛，分别是李红、丁洋、孙飞、陈月，请求出李红和陈月同时被选上的概率．
22．如图，A、B、C三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其中一个杯子里有一枚硬币．

(1)随机翻开一个杯子，出现硬币的概率为________；
(2)请用画树状图或列表的方法，同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率；
(3)若这枚硬币在A杯内，现从三个杯子中随机选择两个交换位置（硬币随A杯一起移动），则经过两次交换后，硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为________；
23．如图，内接于，，与关于直线对称，交于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)连接，若，，求的长．
24．“十淅高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长90公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成．
(1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？
(2)已知甲队每月施工费用为12万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过130万元，工程必须在10个月内竣工．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，请你设计施工费用最低的施工方案．
25．综合与实践
问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1，已知平行四边形，，将平行四边形沿过点D的直线折叠，使点C落在边上的点E处，折痕与交于点F．
初步探究：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：如图2，取线段边上的一点O（不含点D，F），过点O作边的垂线分别与交于点I，J，将平行四边形沿直线折叠，使点C落在边上的点H处，使点D落在边上的点G处，连接．
（2）若随着点O的运动，与始终保持平行，请求的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，若，与交于点M，连接，当时，请直接写出的值．
26．如图，点是抛物线与轴正半轴的交点，点在这条抛物线上，且点的横坐标为2．连接并延长交轴于点，抛物线的对称轴交于点，交轴于点．点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设点的横坐标为．
(1)求直线对应的函数解析式．
(2)当四边形为矩形时，求点Q的坐标．
(3)设线段的长为．
①求关于的函数解析式；
②请直接写出当随着的增大而减小时，的取值范围．
组别
分组
人数
A组
5
B组
12
C组
18
D组
m
《 2025年江苏省南通市中考数学模拟试卷》参考答案
1．D
【分析】由有理数的大小比较法则，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，则
；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较法则进行解题．
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
3．D
【分析】分别利用二次根式加减乘除运算法则化简求出答案即可
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、；故本选项正确；
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
4．A
【分析】本题考查了几何体三视图，解题的关键是能够通过三视图判断符合条件的几何体．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此分析判断即可．
【详解】解：该几何体的三视图可知该几何体为一个五棱柱，
且五边形底面在左右两侧，前面平面面积小于后面平面面积，
所以，选项A符合题意．
故选：A．
5．A
【分析】先标记需要的角，再证明，再利用平行线的性质证明，再利用对顶角相等可得答案.
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查的是邻补角的定义，对顶角的性质，平行线的判定与性质，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键.
6．C
【分析】先设增长率为，那么四季度的营业额可表示为，已知四季度营业额为万元，即可列出方程，从而求解.
【详解】设每季度的平均增长率为，根据题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
则每季度的平均增长率是.
故选：.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为.（当增长是中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“”）
7．D
【分析】先将化为顶点式，再根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可进行解答．
【详解】解：∵配方得到，
∴将其向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法，以及次函数的平移规律“上加下减，左加右减”．
8．A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出，即可求解．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组有解，
∴，
解得，
将不等式两边分别乘以再加4变形得到，
∴不等式的解必有一个整数解2，
整数的个数不可能是0，
故选：A．
9．B
【分析】连接，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质易证和都是等边三角形，即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出，利用三角函数求出，即可利用勾股定理求出，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项．
【详解】如图，连接，
由题意知：垂直平分，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，故B错误，符合题意；
∵垂直平分
∴．
又∵，
∴，即，故C正确，不符合题意；
∵和同底等高，
∴．
又∵，
∴，即，故D正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题关键．
10．C
【分析】由题意和图可知，当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况求解即可．
【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，
四边形是平行四边形，点、点的速度都是，
∴，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
当时，如图作，交的延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
令，
解得：；
当时，如图，作，交的延长线于点，
∵，
∴，
解得，，
∴，
令，
，
解得：，不合题意，舍去，
综上所述：．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质．数形结合并分类讨论求出与之间的函数关系式是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确找出公因式．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】根据圆锥的侧面展开图的面积公式：进行计算即可．
【详解】解：由题意得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的面积．熟练掌握圆锥的侧面展开图的面积公式：，是解题的关键．
13．且
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得且，求解即可．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，且，
解得：且
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程根的个数的关系是解题的关键．
14．5.5
【分析】本题解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
过点作于点，根据正弦的定义求出，余弦定义求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意得：，
，
在中，，，
，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
则，
∴，
答：A，C两地的距离约为．
故答案为：5.5．
15．/
【分析】本题考查了三角函数、勾股定理和相似三角形的性质和判定．两角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的对应边成比例．添加辅助线，作交于点E．由三角函数可以求，利用勾股定理求，再证，通过比例关系和线段关系求出．
【详解】解：过A作于E，
∵，，
∴，
∵
∴
在中，
，
，即
解得，
则，
故答案为：．
16．x（16-x）=60
【分析】由矩形的长与宽之间的关系可得出矩形的宽为（16-x）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：矩形的长为x步，则宽为（16-x）步，
∴x（16-x）=60．
故答案为：x（16-x）=60．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．根据题意可得出四边形是平行四边形，由平行四边形的面积为4，可求出直角三角形的面积为2，再根据反比例函数k的几何意义求出答案．
【详解】解：连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵平行四边形的面积为4，即，，
∴，
∴或（舍去）
故答案为：．
18．
【分析】由“”可证，可得，可求，过点，点，点作，则点在上运动，利用锐角三角函数可求，的长，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接，，
∴点P在 上运动，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴当点P在上时，有最小值，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
19．（1）；（2），．
【分析】（1）本题考查了特殊角三角函数的取值和实数的混合运算，熟练掌握锐角三角函数以及实数的混合运算法则即可解题．
（2）本题考查了分式的化简求值，熟练运用分解因式化简分式，再代入的值即可解题．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
当时，
上式，
．
20．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键 ．先证明，即可证明，可得结论．
【详解】证明：，
，
，
在和中，
∵
∴，
∴．
21．(1)50，15，
(2)900
(3)
【分析】（1）由组人数除以其占比可得总人数，由总人数减去组的人数可得的值，由组的占比乘以可得圆心角的大小；
（2）由3000乘以优秀率即可；
（3）利用例举法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解： （名），，，
故A组所在扇形的圆心角的．
（2）解：（人），
∴全校3000名学生中成绩达到“优秀”有900人；．
（3）解：派两名选手参加初赛有种等可能的结果，
其中李红和陈月同时被选上的结果有一种，则P（李红和陈月同时被选上）．
【点睛】本题考查的是统计表与扇形统计图，利用样本估计整体，求解扇形的圆心角，求解简单随机事件的概率，掌握基础的统计知识是解本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据其中一个杯子里有一枚硬币，共3个杯子，可直接得出随机翻开一个杯子，出现硬币的概率；
（2）根据题意画出树形图，求出所有情况和出现硬币的情况，在根据概率公式求解即可；
（3）先求出第一次见交换后的情况数，再求出第二次交换后的情况数，从而求出所有情况数和硬币恰好在中间位置的杯子内的情况数，最后根据概率公式计算即可；
【详解】（1）随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是；
故答案为：．
（2）根据题意画图如下：

共有6种情况，其中出现硬币的情况数有4种，则出现硬币的概率是：；
（3）根据题意得：第一次交换后情况是、、，
把再交换一次的情况数：，，，
把再交换一次的情况数：，，，
把再交换一次的情况数：，，，
共有9种情况，
硬币恰好在中间位置杯子内的情况数有3种，则硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，利用概率公式计算是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）如图所示，连接，连接并延长交于F，根据等边对等角得到，再证明，得到，由，得到，由轴对称的性质可得，即可证明，从而证明是的切线；
（2）由轴对称的性质得，，再由圆内接四边形对角互补推出，，得到，解，求出，则，即可得到．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，连接并延长交于F，
∵，
∴，
∵内接于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：由轴对称的性质得，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数，轴对称的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1)甲队每月的施工路段是9公里，乙队每月的施工路段是6公里
(2)方案为甲队做10个月，乙队做0个月，施工费用最低，为120万元
【分析】（1）设甲队每月的施工路段是x公里，乙队每月的施工路段是y公里，依据“某施工路段总长90公里，由甲、乙两工程队合做6个月完成，甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成”列出方程组并解答；
（2）根据费用不超过130万元列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲队每月的施工路段是x公里，乙队每月的施工路段是y公里，
依题意得，
解得．
答：甲队每月的施工路段是9公里，乙队每月的施工路段是6公里．
（2）根据题意，
解得：a≥，b≤10．
又a=10﹣b，且a，b都为正整数，
∴b为3的倍数，
∴b=0，3，6，9．
当b=0时，a=10，此时施工费用为10×12+0×9=120（元）；
当b=3时，a=8，此时施工费用为8×12+3×9=123（元）；
当b=6时，a=6，此时施工费用为6×12+6×9=126（元）；
当b=9时，a=4，此时施工费用为4×12+9×9=129（元）；
故方案为甲队做10个月，乙队做0个月，施工费用最低，为120万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用中的工程问题．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．（1）菱形，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据翻折得到，则由平行四边形，根据平行线+角平分线得到等腰三角形，那么，则，结合平行，先证明为平行四边形，再根据一组邻边相等即可证明；
（2）先证明四边形为平行四边形，结合翻折可得，那么为等边三角形，即可求解；
（3）过点O作于点N，过点M作于点K，四边形为菱形，可得为等边三角形，则设，可证明，那么，，则，用勾股定理表示，，，最后由建立方程求解，再由平行四边形的性质结合翻折即可求解．
【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下：
由翻折得：，
∵平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
由翻折得，而
∴，
∴为等边三角形，
∴；
（3）解：过点O作于点N，过点M作于点K，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
设
∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∵菱形，
∴平分，
∵，翻折得：
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
解得：或（舍），
∴，
由上知四边形为平行四边形，
∴，
∴由翻折得：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，难度较大，正确和合理添加垂线解直角三角形是解题的关键．
26．(1)
(2)或
(3)①；②或
【分析】（1）令，解关于的一元二次方程求出点的坐标，再把代入抛物线求出点的坐标，然后设直线的解析式为，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，然后求出点的坐标，得到的长度，再根据矩形的对边相等求出点的纵坐标然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得解；
（3）①分点在线段上和在线段上两种情况，用点的纵坐标和点的纵坐标表示出的长度，列式整理即可；②分别求出二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数的增减性解答．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
点的坐标为，
点的横坐标为2，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
时，，
，
四边形为矩形，
，即点的纵坐标为5，
，
整理得，，
解得，，
点的坐标为或；
（3）解：①点的横坐标为，轴交抛物线于点，
点，点，
当点在线段上时，线段的长为，
即；
当点在线段上时，线段的长为，
即，
与的关系式为；
②当点在线段上时，函数的对称轴为直线，
，
时，随着的增大而减小，
点在线段上，
，
当点在线段上时，函数的对称轴为直线，
，
时，随着的增大而减小，
点在线段上，
，
综上所述，随着的增大而减小时，的取值范围是或．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴交点的求法，待定系数法求一次函数解析式，垂直于坐标轴的两点间的距离的表示，以及二次函数的增减性，（3）注意要根据点的位置分情况讨论．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
A
A
C
D
A
B
C