2025年江苏省南通市中考数学模拟试卷附答案

这是一份2025年江苏省南通市中考数学模拟试卷附答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在数轴上，把表示﹣2的点沿着数轴移动7个单位长度得到的点所表示的数是（ ）
A．5B．﹣9C．±5D．5或﹣9
2．（3分）若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则nm=（ ）
A．32B．−32C．32或−32D．23或−23
3．（3分）港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）
A．1269×108B．1.269×108
C．1.269×1010D．1.269×1011
4．（3分）下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝107°，则∠B的度数为（ ）
A．63°B．73°C．83°D．107°
6．（3分）某商店原来每天可销售某种水果100kg，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出30kg，若要每天盈利800元，则每千克应降价多少元？设每千克应降价x元，则所列方程是（ ）
A．（100+x）（7+x）＝800B．（100+30x）（7﹣x）＝800
C．（100+30x）（7+x）＝800D．（100+x）（7﹣30x）＝800
7．（3分）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2=bx的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△OCD的面积为3，则k的值是（ ）
A．﹣12B．﹣6C．6D．12
9．（3分）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝1.7米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为α，当tanα=34时，此时悬托架AE的长度为（ ）米.
A．0.5B．0.6C．0.8D．0.9
10．（3分）已知：菱形ABCD中，AB=3，AC＝2，AC 与BD交于点O，点E为OB上一点，以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在边CD上，则BE的长为（ ）
A．324B．22C．32D．334
二、填空题（本大题共8题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题每小题3分，共30分．）
11．（3分）因式分解：a2﹣4b2＝ ．
12．（3分）如图，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是 °
13．（4分）快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝100kg时，它的最快移动速度v＝ m/s．
14．（4分）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a−b(a≥b)2b−a(a＜b)．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝ ．
15．（4分）把一块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角∠ABO＝60°，若BC＝2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数y=4x（x＞0）的图象上，点B在函数y=kx（x＞0）的图象上．若OC＝AC，则k的值为 ．
17．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣4，0）为圆心，2为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为3，则k的值为 ．
18．（4分）对于反比函数y=kx(k＞0)，称M(2k2k)，N(−2k，−2k)为反比例函数图象的两个“焦点”，若点P为反比例函数图象上的任意一点，则恒有|PM−PN|=22k．如图，已知点A为反比例函数y=8x在第三象限的图象上的一个动点，点M，N为反比例函数y=8x的两个焦点，若AB平分∠MAN，过点M作AB的垂线，垂足为B，连接OB，MN，则OB的长为 ．
三、解答题（本大题共8题，共90分．）
19．（11分）计算：−12024−(2−0.5)×13×|1−(−3)2|．
20．（11分）解方程：2x−13−3x−54=2
21．（11分）先化简，再求值：2(2x2−12xy−y2)−(4x2+4xy−2y2)，其中x＝3，y＝﹣1．
22．（11分）今年郑州市受疫情影响，中小学生在家进行线上学习．为了了解学生在家主动锻炼身体的情况，某校随机抽查了部分学生，对他们每天的运动时间进行调查，并将调查统计的结果分为四类：每天运动时间t≤30分钟的学生记为A类，30分钟＜t≤40分钟记为B类，40分钟＜t≤60分钟记为C类，t＞60分钟记为D类．收集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽取了 名学生进行调查统计；
（2）扇形统计图中D类所对应的扇形圆心角大小为 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）学校要求在家主动锻炼身体的时间超过30分钟才达标，若该校共有2000名学生，请你估计该校达标的学生约有多少人？
23．（11分）如图1，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，连接BD、CD，DB∥OA，BC＝10，AC=25．
（1）求证：AO⊥CD；
（2）求BD的长；
（3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交⊙O于F，求AF的长度．
24．（11分）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为 件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
25．（11分）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．
（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为 ，最大值为 ．
②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是 ．
（2）直线l平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线l的距离都是1，若点C（x，y）是直线l上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．
26．（11分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，C两点，交y轴于点B．
（1）直接写出点A，B，C的坐标．
（2）如图（1），抛物线上有点D（2，m），在第三象限的抛物线上存在点M，且∠ACM＝∠BCD，求点M的坐标．
（3）如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作BC的平行线交抛物线于另一点F，直线FB，EC交于点P，若点P的纵坐标为t，△CBP的面积记为S，试探究S与t之间数量关系．
27．（11分）[模型建立]
如图①、②，点P分别在⊙O外、在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离．
[问题解决]
请就图①中PB为何最长进行证明．
[初步应用]
（1）已知点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则⊙O的半径为 ．
（2）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点E在边BC上，且CE＝2，动点P在半径为2的⊙E上，则AP的最小值是 ．
[拓展延伸]
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为 ．
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）
1．【答案】D
【解答】解：向右移动7个单位：
﹣2+7＝5．
向左移动7个单位：
﹣2﹣7＝﹣9．
故选：D．
2．【答案】C
【解答】解：∵|m|＝2，|n|＝3，
∴m＝±2，n＝±3，
∵|m+n|＝m+n，
∴m＝2，n＝3或m＝﹣2，n＝3，
当m＝2，n＝3时，nm=32；
当m＝﹣2，n＝3时，nm=3−2=−32，
故选：C．
3．【答案】D
【解答】解：1269亿＝126 900 000 000＝1.269×1011，
故选：D．
4．【答案】A
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．【答案】B
【解答】解：如图，
∵AB∥DE，∠E＝107°，
∴∠BGF＝∠E＝107°，
∵BC∥EF，
∴∠B+∠BGF＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠BGF＝73°．
故选：B．
6．【答案】B
【解答】解：当每千克降价x元时，每千克的销售利润为（7﹣x）元，每天可售出（100+30x）千克．
根据题意得：（100+30x）（7﹣x）＝800．
故选：B．
7．【答案】C
【解答】解：∵正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函数y1＝ax的图象经过第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函数y2=bx的图象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
8．【答案】A
【解答】解：设点A的坐标为A（a，b），则AB＝﹣a，OB＝b，k＝ab，
∵OD是△ABC的中位线，
∴OC＝OB＝b，OD=12AB=−12a
∵△OCD的面积为3，∠COD＝90°，
∴12OD⋅OC=12⋅(−12a)⋅b=−14ab=3，即ab＝﹣12，
∴k＝ab＝﹣12，
故选：A．
9．【答案】A
【解答】解：过点E作EM⊥AD，垂足为M，
由题意得：DG∥EH，
∴∠DGB＝∠α，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BDG+∠DGB＝90°，
∵DF⊥DG，
∴∠FDG＝90°，
∴∠ADE+∠BDG＝180°﹣∠FDG＝90°，
∴∠DGB＝∠ADE＝α，
∵tanα=34，
∴tan∠ADE=34，
∵AB＝2.5m，BD＝1.7m，
∴AD＝AB﹣BD＝2.5﹣1.7＝0.8（m），
∵AE＝DE，EM⊥AD，
∴AM＝DM=12AD＝0.4（m），
在Rt△DME中，EM＝DM•tan∠ADE＝0.4×34=0.3（m），
∴DE=DM2+EM2=0．42+0．32=0.5（m），
∴DE＝AE＝0.5m，
故选：A．
10．【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝2，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝1，AB∥CD，OB＝OD，∠ADB＝∠CDB=12∠ADC，
在Rt△AOB中，OB=AB2−OA2=(3)2−12=2，
∴BD＝2OB=22，
根据折叠的性质可得，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE=12∠BAF，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD＝∠ADF，
∴12∠BAF=12∠ADC，
∴∠BAE＝∠BDA，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴BEAB=ABBD，即BE3=322，
∴BE=324．
故选：A．
二、填空题（本大题共8题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题每小题3分，共30分．）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝a2﹣（2b）2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
故答案为：60．
13．【答案】3.6．
【解答】解：∵智能机器人的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s，
设反比例函数解析式为v=km，代入得：
k＝60×6＝360，
∴反比例函数解析式为v=360m，
当m＝100时，v=360100=3.6(m/s)，
故答案为：3.6．
14．【答案】4或1．
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2．
当x1＝2，x2＝3时，x1※x2＝2×3﹣2＝4；
当x1＝3，x2＝2时，x1※x2＝3﹣2＝1．
∴x1※x2＝4或1．
故答案为：4或1．
15．【答案】（5，0）．
【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵AE⊥x轴，
∴∠AEB＝90°，即∠EAB+∠ABO＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∴EB=12AB＝2，AE=AB2−EB2=23，
设OE＝m，则点A的坐标为（m，23），
∵∠ABO＝∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABO﹣∠ABC＝60°，
∵CF⊥x轴，
∴∠CFB＝90°，即∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠CBF＝30°，
∴BF=12BC＝1，CF=BC2−BF2=3，
∴OF＝OE+BE+BF＝m+3，
∴点C坐标为（m+3，3），
∵点A，C同时落在一个反比例函数图象上，
∴23m=3（m+3），解得：m＝3，
∴OB＝OE+EB＝3+2＝5，
∴B点的坐标为：（5，0）．
故答案为：（5，0）．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：作CD⊥OA于D，
∵OC＝AC，
∴OD＝DA，
∴BC＝OA＝2OD，
设C（a，4a），则B（3a，4a），
∵点B在函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝3a•4a=12，
故答案为：12．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接BP，由对称性得：OA＝OB，
而Q是AP的中点，
∴OQ=12BP
∵OQ的长的最大值为3，则BP长的最大值为2×3＝6，
如图所示：
当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴与D，
∵CP＝2，
∴BC＝4，B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣4）＝t+4，即BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
代入数据得：42＝（t+4）2+（﹣2t）2，
整理得：5t2+8t＝0，
解得：t1＝0（舍去），或t2=−85，
∴B(−85，−165)，
∵B在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，
∴k=−85×−165=12825．
故答案为：12825．
18．【答案】4．
【解答】解：如图，延长AN，MB相交于点H．∵AB平分∠MAN，且BM⊥AB，
∴AH＝AM，点B为HM的中点．利用“焦点”的结论，得
|AM﹣AN|＝22k＝8．
∵点O，B分别为MN，MH的中点，
∴OB=12NH=12|AH−AN|=12|AM−AN|=4．
故答案为4．
三、解答题（本大题共8题，共90分．）
19．【答案】﹣5．
【解答】解：−12024−(2−0.5)×13×|1−(−3)2|
=−1−32×13×|1−9|
＝﹣1−12×8
＝﹣1﹣4
＝﹣（1+4）
＝﹣5．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：4（2x﹣1）﹣3（3x﹣5）＝24，
8x﹣4﹣9x+15＝24，
8x﹣9x＝24+4﹣15，
﹣x＝13，
x＝﹣13．
21．【答案】﹣5xy，15．
【解答】解：原式＝4x2﹣xy﹣2y2﹣4x2﹣4xy+2y2
＝4x2﹣4x2+2y2﹣2y2﹣4xy﹣xy
＝﹣5xy，
当x＝3，y＝﹣1时，
原式＝﹣5×3×（﹣1）
＝5×3×1
＝15．
22．【答案】（1）50；（2）36°；（3）见解答；（4）1400人．
【解答】解：（1）调查的总人数为15÷30%＝50（名），
故答案为：50；
（2）D类学生人数为：50﹣15﹣22﹣8＝5（人），
360°×550=36°，
故答案为：36°；
（3）补图如下：
（4）2000×50−1550=1400（人），
∴估计该校达标的学生约有1400人．
23．【答案】（1）证明见解析；
（2）6；
（3）310．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∵OA∥BD，
∴∠CEO＝∠D＝90°，
∴AO⊥CD；
（2）解：连接AB，作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴AB=102−(25)2=45，
∵12AH•BC=12AC•AB，
∴AH=25×4510=4，
在Rt△OAH中，OH=OA2−AH2=52−42=3，
∵OA∥BD，
∴∠AOH＝∠EBO，
在△AOH和△OBM中，
∠AHO=∠OMBAO=OB∠AOH=∠OBM，
∴△AOH≌△OBM（ASA），
∴BM＝OH＝3，
∴BD＝2BM＝6；
（3）解：作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝45°，
∴CF＝BF，
∴△CBF为等腰直角三角形，
∴CF=22BC＝52，
在Rt△ACG中，CG＝AG=22AC=10，
在Rt△GFC中，GF=(52)2−(10)2=210，
∴AF＝AG+GF=10+210=310．
24．【答案】（1）（400+20x）；
（2）8元．
【解答】解：（1）根据题意得：降价x元后的月销售量为（400+20x）件．
故答案为：（400+20x）；
（2）根据题意得：（68﹣x﹣45）（400+20x）＝8400，
整理得：x2﹣3x﹣40＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝8．
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
25．【答案】（1）①10，5；
②P1，P3；
（2）4≤x≤4+26或1−26≤x≤1．．
【解答】解：（1）①由题意可得：OA=32+12=10，OB=42+32=5，
∴d的最小值为10，最大值为5；
故答案为：10，5；
②∵P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0），
点P1（2.5，0）到线段AB的最小距离为3，最大距离为(4−2.5)2+32=452＞10，
∴在线段AB上存在点M，N，使得P1M＝ON，故点P1与点O是线段AB的一对相好点，
点P2（2，4）到线段AB的最小距离为1，最大距离为(4−2)2+(3−4)2=5＜10，
∴在线段AB上不存在点M，N，使得P2M＝ON，故点P2与点O不是线段AB的一对相好点，
点P3（﹣2，0）到线段AB的最小距离为(1+2)2+32=32＞10，
最大值为(4+2)2+(3−0)2=45＞5
∴在线段AB上存在点M，N，使得P3M＝ON，故点P3与点O是线段AB的一对相好点，
∴与点O是线段AB的一对相好点的是P1，P3；
故答案为：P1，P3；
（3）∵直线l平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线l的距离都是1，
∴直线l为y＝4或y＝2，
∵点C与点O是线段AB的一对相好点，OA=10，OB＝5，
当CA≥10，CB≤5，即CA2≥10，CB2≤25，
设C（x，4），当点C在y＝4上时，
则(x−1)2+(4−3)2≥10(x−4)2+(4−3)2≤25，
解得：4≤x≤4+26，
当CA≤5，CB≥10，即CA2≤25，CB2≥10，
则(x−1)2+(4−3)2≤25(x−4)2+(4−3)2≥10，
解得：1−26≤x≤1，
同理，当C在y＝2上时，4≤x≤4+26或1−26≤x≤1，
综上所述，x的取值范围是4≤x≤4+26或1−26≤x≤1．
26．【答案】（1）B（0，﹣3），A（﹣1，0），C（3，0）；
（2）M（−12，−74）；
（3）S=−94−32t．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），C（3，0）；
（2）当x＝2时，y＝﹣3，
∴D（2，﹣3），
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵∠ACM＝∠BCD，
∴∠MCD＝45°，
过D点作CD⊥DN交CM的延长线于点N，
∴CD＝DN，
分别过点N、C作y轴的平行线交直线BD于点G、点H，
∴△NDG≌△DCH，
∴DH＝NG＝3，CH＝DG＝1，
∴N（﹣1，﹣2），
设直线CN的解析式为y＝kx+b，
∴3k+b=0−k+b=−2，
解得k=12b=−32，
∴y=12x−32，
当12x−32=x2﹣2x﹣3时，解得x=−12或x＝3，
∴M（−12，−74）；
（3）∵B（0，﹣3），C（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设直线EF的解析式为y＝x+k1，
当x+k1＝x2﹣2x﹣3时，xE+xF＝3，xE•xF＝﹣3﹣k1，
设直线BF的解析式为y＝mx﹣3，
当mx﹣3＝x2﹣2x﹣3时，xB+xF＝2+m，
∴xF＝2+m，xE＝1﹣m，
设直线EC的解析式为y＝n（x﹣3），
当nx﹣3n＝x2﹣2x﹣3时，xE+xC＝2+n，xE•xC＝﹣3﹣3n，
∴xE＝n﹣1，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2，
当nx﹣3n＝mx﹣3时，解得xP=3−3nm−n=32，
∴P（32，t），
过P点作y轴的平行线交BC于点Q，
∴Q（32，−32），
∴S=12×3（−32−t）=−94−32t．
27．【答案】[问题解决]证明见解析；
[初步应用]（1）2或5；
（2）217−2；
[拓展延伸]1+7．
【解答】[问题解决]证明：点P分别在⊙O外，直线PO分别交⊙O于点A、B，如图①﹣1，点C为⊙O上任意一点，连接PC，OC，
当点C与点B不重合时，
在△POC中，PO+CO＞PC，
又∵CO＝BO，
∴PO+BO＞PC，即PB＞PC，
当点C与点B重合时，PB＝PC，
∴综上可得：PB≥PC，
∵点C为⊙O上任意一点，
∴PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离；
[初步应用]解：（1）已知点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7，分两种情况讨论：
若点P在⊙O外，如图①﹣2，则PA＝3，PB＝7，
∴AB＝PB﹣PA＝7﹣3＝4，
∴⊙O的半径为2；
若点P在⊙O内，如图②，则PA＝3，PB＝7，
∴AB＝PB+PA＝7+3＝10，
∴⊙O的半径为5；
综上所述，⊙O的半径为2或5，
故答案为：2或5；
（2）如图③，连接AE，交⊙O于点D，由[模型建立]可得AD的长是点A到⊙E上的点的最短距离，
∴AP的最小值是AD的长，
∵在Rt△ACE中，AC＝8，CE＝2，
由勾股定理得：AE=AC2+CE2=82+22=217，
∴AD=AE−DE=217−2，
∴AP的最小值是217−2，
故答案为：217−2；
[拓展延伸]解：如图④，取AO的中点D，连接DQ，CD，OP，过点C作CE⊥AB，
∵点Q是线段AP的中点，
∴DQ=12OP=14AB=1，
∴点Q在D为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当D在CQ上，线段CQ取得最大值，
∵∠AOC＝120°，
∴∠COE＝60°，∠OCE＝30°，
∴OE=12OC=14AB=1，CE=OC2−OE2=3，
在Rt△CDE中，CD=DE2+CE2=22+(3)2=7，
∴CQ的最大值为CD+QD=1+7，
故答案为：1+7．
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
A
B
B
C
A
A
A