辽宁省沈阳市第二十中学2024-2025学年高三下第九次（最后一次）模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知集合，则的子集的个数是（ ）
2. 已知复数z满足，则的最大值为（ ）
3. 若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（ ）
4. 已知向量，则向量与的夹角为（ ）
5. 已知等比数列的前项积为，且，那么数列的公比为（ ）
6. 已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）

7. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（ ）
8. 已知正实数、满足，，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数（，为常数），且函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
10. 如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径2的圆上一动点（异于点），与圆柱的底面圆交于点，则（ ）
11. 已知函数，则下列说法正确的有（）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知，则______．
13. 已知多项式，则___________.
14. 已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，记双曲线C的左、右焦点分别为，且，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点．记和的内心分别为M，N，则M，N的最短距离为______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 在中，角、、的对边分别为、、，．
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长．
16. 如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得.
(1)证明：平面平面；
(2)线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
17. 设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在上的最大值和最小值.
18. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的.
(1)填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
(2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求.
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
19. 已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；
(3)求四边形面积的取值范围.
辽宁省沈阳市第二十中学2024-2025学年高三第九次（最后一次）模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、复数、平面解析几何、平面向量、数列、函数与导数、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．4
B．8
C．16
D．32
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．的最小正周期为
B．
C．与的图象有相同的对称轴
D．当时，方程有且仅有4个实根
A．平面
B．平面平面
C．直线与直线有可能垂直
D．三棱锥的外接球体积为定值
A．若函数关于直线对称，则
B．当时，函数在上单调递减
C．当时，函数在有1个极值点
D．函数最多有3个零点
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.1
0.05
0.005
0.001
2.706
3.841
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
5
适中
11
较难
1
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
判断集合的子集（真子集）的个数；高次不等式
2
0.85
与复数模相关的轨迹（图形）问题
3
0.85
判断命题的充分不必要条件；直线与抛物线交点相关问题
4
0.65
数量积的运算律；向量夹角的计算
5
0.85
等比中项的应用；等比数列通项公式的基本量计算
6
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；函数与导函数图象之间的关系；函数奇偶性的应用
7
0.65
求平面轨迹方程；由圆的一般方程确定圆心和半径；求双曲线的轨迹方程
8
0.65
对数函数单调性的应用
二、多选题
9
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；辅助角公式
10
0.65
多面体与球体内切外接问题；证明线面平行；证明面面垂直
11
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究函数的零点
三、填空题
12
0.94
比较指数幂的大小；对数的运算；求分段函数值
13
0.85
求指定项的系数；两个二项式乘积展开式的系数问题
14
0.4
求双曲线中的最值问题；三角恒等变换的化简问题；利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；根据a、b、c求双曲线的标准方程
四、解答题
15
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；三角形面积公式及其应用
16
0.65
证明面面垂直；已知线面角求其他量；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直
17
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；函数单调性、极值与最值的综合应用；由导数求函数的最值（不含参）
18
0.65
独立性检验解决实际问题；服从二项分布的随机变量概率最大问题；完善列联表；卡方的计算
19
0.15
椭圆中三角形（四边形）的面积；求椭圆中的最值问题；求椭圆的离心率或离心率的取值范围；根据韦达定理求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,3
2
等式与不等式
1
3
复数
2
4
平面解析几何
3,7,14,19
5
平面向量
4
6
数列
5
7
函数与导数
6,8,9,11,12,17
8
三角函数与解三角形
9,14,15
9
空间向量与立体几何
10,16
10
计数原理与概率统计
13,18