2025届辽宁省沈阳市第二十中学高三下学期第三次模拟测试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份2025届辽宁省沈阳市第二十中学高三下学期第三次模拟测试数学试卷（原卷版+解析版），共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 集合函数的最小正周期不小于，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知两个不同的平面和两条不同的直线满足，则“平行”是“不相交”的（ ）
A. 充要条件B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（ ）
A. -24B. 24C. D. 0
4. 已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若互斥，则D. 若互斥，则
5. 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（ ）
A B. C. D.
7. 已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. 505D. 1013
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.）
9. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据的方差为4
B. 数据的平均数为17
C. 数据的平均数为10，方差大于1
D. 若数据的中位数为分位数为，则
10. 如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ）
A. 圆台的体积为
B. 圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为
C. 过任意两条母线作圆台截面，截面面积的最大值为
D. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为
11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_____
13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________.
14. 如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为__________；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为__________.
四、解答题（本题共3小题，15题13分，16、17各15分，18、19各17分，共77分.）
15. 已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角．
（1）求角C的大小；
（2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h．
16. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17. 已知函数.
（1）若，求在上的极大值；
（2）若函数，讨论函数在上零点的个数.
18. 国家设立国家自然科学基金，用于资助基础研究，支持人才培养和团队建设. 现对近4年的国家自然科学基金项目支出（以下简称项目支出）概况进行统计，得到数据如下表：
（1）经过数据分析，发现年份序号与项目支出具有线性相关关系. 请求出项目支出y关于年份序号x的经验回归方程，并预测2025年的项目支出；
（2）天元基金是国家自然科学基金中的数学专项基金之一，为促进甲、乙两个地区天元基金申报者的交流，天元基金委员会举办了论坛活动. 经调查统计，甲、乙两个地区共有200人参加此次论坛活动，具体数据如下表：
（i）根据小概率值独立性检验，能否认为申报者所在地区与性别有关联？
（ii）为了解此次论坛活动的满意度（满意度评分满分为10分），现采用按男、女样本量比例分配的分层随机抽样，从上述200人中抽取40人进行访谈，其中男生样本的满意度平均数为9分，方差为7.19，女生样本的满意度平均数为7分，方差为6.79，由这些数据，请求出总样本的满意度的平均数和方差，并对全体参加此次论坛活动的天元基金申报者的满意度的平均数和方差作出估计.
附：，，，其中.
19. 已知动点满足关系式.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.
①证明：三点共线；
②当直线与有两个交点时，求的取值范围.
沈阳市第二十中学高三下学期数学第三次摸拟测试卷
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 集合函数的最小正周期不小于，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函数的周期可化简得集合，由根式内部的代数式，且，求解不等式得即可化简得集合，再利用集合的交集运算即可求解.
【详解】因为，函数的最小正周期不小于 ，
所以 ，解得 ，所以集合 ；
要使函数有意义，则且 ，
即，且 ，
解得 ，所以集合，
所以.
故选：A.
2. 已知两个不同的平面和两条不同的直线满足，则“平行”是“不相交”的（ ）
A. 充要条件B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据两平面平行的定义，结合，可得判定充分性成立，结合反例图象，可判定必要性不成立，即可得到答案.
【详解】当，则平面与平面，没有公共点，
若，则直线没有公共点，所以不相交，即充分性成立；
如图所示，若不相交，且，则平面与平面不一定平行，
即必要性不成立，
所以“平行”是“和不相交”的充分非必要条件，
故选：B.
3. 若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（ ）
A. -24B. 24C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件可判断为直角三角形，从而求得的值.
【详解】令，，则，
则由及,
在中，，，，
由正弦定理：,解得,故得为直角三角形，
且，所以.
故选：D
4. 已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若互斥，则D. 若互斥，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据根据事件的包含关系即概率的性质，可判断AB的真假；根据事件的互斥关系即互斥事件的概率特征可判断CD的真假.
【详解】若，则，，故AB选项的内容都是正确的；
若互斥，则，，所以C选项的内容是错误的，D选项的内容是正确的.
故选：C
5. 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意结合倍角公式以及即可求解.
【详解】由题，
所以，即，所以，即.
故选：A
6. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由题意结合三角函数、弧长公式等依次求出、圆O的半径和，再由结合两角和正切公式即可求解.
【详解】由题得，且圆O的半径为，
所以，
所以.
故选：C
7. 已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. 505D. 1013
【答案】A
【解析】
分析】利用给定条件结合分类讨论确定公差，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可.
【详解】设公差为，因为成等比数列，
所以，则，
解得或，当时，，
此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时令，
而其前项和为，
，故A正确.
故选：A
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解.
【详解】已知，所以，
则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.）
9. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 数据的方差为4
B. 数据的平均数为17
C. 数据的平均数为10，方差大于1
D. 若数据的中位数为分位数为，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据方差性质计算判断A，根据平均数及方差计算求解判断B，C，特例法，先从小到大排列，计算中位数及分位数判断D.
【详解】对于A：数据的方差为，A选项正确；
对于B：数据的平均数为，B选项正确；
对于C：数据的平均数为，
方差，C选项错误；
对于D：若取数据，平均数为10，方差为1，
则中位数为，因为，所以第5个数为分位数，
所以，D选项错误.
故选：AB.
10. 如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ）
A. 圆台的体积为
B. 圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为
C. 过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D. 过三点的平面与圆台下底面的交线长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出圆台的高，根据体积公式可得选项A正确；把圆台补成圆锥，根据母线与平面所成的角最大可得选项B正确；利用两条母线所在直线夹角为时截面面积最大可得选项C错误；找出过三点的平面与圆台下底面的交线，结合垂径定理可得选项D正确.
【详解】A.∵，∴圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，
∴圆台的高，
∴圆台的体积，A正确.
B.由，，得，由得，.
如图，将圆台补成圆锥，顶点记为，底面圆的圆心记为，连接，
∵为圆弧的中点，∴.
∵平面，平面，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面，
此时母线所在直线与平面所成的角最大，最大为，，B正确.
C.由得，，∴，
当两条母线所在直线夹角时，截面面积最大，最大值为，C错误.
D.如图，在梯形中，连接并延长交的延长线于点，连接交底面圆于点，则为截面与底面圆的交线.
由得，，，∴，，
取中点，则，
∴，D正确.
故选：ABD.
11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数和即可依次分析判断ABC，由题设依次求出即可判断D.
【详解】由题得，所以即，
所以是奇函数，故，
又由得函数关于点对称，，
所以，故，
所以 ，即函数是周期为6的函数，
所以也是周期为6的函数，即，
由求导得即，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，由函数关于点对称得，故B错误；
对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；
对于D，由得，
且即，且即，
且即，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是求出函数和是周期为6的函数.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_____
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】依题意可知，
的展开式通项为，
令，则，故的系数为.
故答案为：.
13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________.
【答案】5
【解析】
【分析】先由题意依次求出即可由求出，接着由正切函数定义和两角和的正切公式结合点P求出直线的方程，进而求出直线过点，再联立椭圆方程求出即可同理求出得解.
【详解】由题意可知，
所以由，
由上得，且
所以，
所以，所以即，
令得，故直线经过点，
联立，
所以，
所以同理可得，
所以.
故答案为：5.
14. 如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为__________；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为__________.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】分析点的轨迹，可求点的轨迹长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线与直线所成角的余弦值的取值范围（或者用三余弦定理求直线与直线所成角的余弦值的取值范围）.
【详解】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为.
建系如图，设，则.
.
令，
.
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
（法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大，
由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大，
则P在点M处时，取得最小值，此时，
则P在点N处时，取得最大值，此时，
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
四、解答题（本题共3小题，15题13分，16、17各15分，18、19各17分，共77分.）
15. 已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角．
（1）求角C的大小；
（2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用两角和正弦公式，再应用诱导公式结合二倍角正弦计算即可；
（2）应用等比数列列式再根据正弦定理得出，最后应用面积公式计算求解.
【小问1详解】
依题意，，
即，所以，
由知，，从而，故；
【小问2详解】
依题意，，
由正弦定理得：，即
又，则，
所以，从而，
由三角形面积公式得：，即
故．
16. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得到，再由，得到平面，即可得证；
（2）由（1）可得为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，从而得到，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
又正方形中，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
由（1）平面，平面，所以，，
从而为二面角的平面角，
因为，所以平面，
同理可得为二面角的平面角，
依题意，即，
以点D为原点，分别以直线、为x、y轴，过点D作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
又为平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 已知函数.
（1）若，求在上的极大值；
（2）若函数，讨论函数在上零点个数.
【答案】（1）极大值为0， （2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）求出导数，列表分析随变化情况，根据单调性和极值定义求解；
（2）化简得，令，得或，分或，，，讨论判断方程解得个数得解.
【小问1详解】
当时，，
则，
令，得或或，
因此，当变化时，，的变化情况如下表所示：
所以当时，有极大值，极大值为.
【小问2详解】
，
当时，由，得或，
其中，，则，
当或时，方程无解，此时函数只有一个零点，
当时，方程只有一解为，此时函数只有一个零点，
当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点，
当时，方程有一解且不等于，此时函数有两个零点.
综上，当或时，函数只有一个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点.
18. 国家设立国家自然科学基金，用于资助基础研究，支持人才培养和团队建设. 现对近4年的国家自然科学基金项目支出（以下简称项目支出）概况进行统计，得到数据如下表：
（1）经过数据分析，发现年份序号与项目支出具有线性相关关系. 请求出项目支出y关于年份序号x的经验回归方程，并预测2025年的项目支出；
（2）天元基金是国家自然科学基金中的数学专项基金之一，为促进甲、乙两个地区天元基金申报者的交流，天元基金委员会举办了论坛活动. 经调查统计，甲、乙两个地区共有200人参加此次论坛活动，具体数据如下表：
（i）根据小概率值的独立性检验，能否认为申报者所在地区与性别有关联？
（ii）为了解此次论坛活动的满意度（满意度评分满分为10分），现采用按男、女样本量比例分配的分层随机抽样，从上述200人中抽取40人进行访谈，其中男生样本的满意度平均数为9分，方差为7.19，女生样本的满意度平均数为7分，方差为6.79，由这些数据，请求出总样本的满意度的平均数和方差，并对全体参加此次论坛活动的天元基金申报者的满意度的平均数和方差作出估计.
附：，，，其中.
【答案】（1），118.8百亿元
（2）（i）能；（ii）平均数为8.1，方差为8；全体参加论坛活动的天元基金者的满意度的平均数为8.1，方差为8
【解析】
【分析】（1）利用所给的公式求回归方程，并用之预测2025年的项目支出.
（2）（i）计算，根据独立性检验的思想进行判断；（ii）根据部分数据与整体数据特征数的关系求值.
【小问1详解】
（法一），
，
，
所以，
所以国家自然科学技术基金项目支出y关于年份序号x经验回归方程为.
当时，（百亿元），
预测2025年的国家自然科学技术基金项目支出为118.8百亿元.
（法二），，
，
所以国家自然科学技术基金项目支出y关于年份序号x的经验回归方程为.
当时，（百亿元），
预测2025年的国家自然科学技术基金项目支出为118.8百亿元.
【小问2详解】
（i）零假设为
申报天元基金者的所在地区与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
.
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为申报天元基金者的所在地区与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（ⅱ）把男生样本的满意度平均数记为，方差记为；
女生样本的满意度平均数记为，方差记为；总样本的满意度平均数记为，方差记为.
则，
根据男、女样本量按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得总样本的满意度平均数为，
.
总样本的满意度的平均数为8.1，方差为8.
并据此估计全体参加论坛活动的天元基金者的满意度的平均数为8.1，方差为8.
19. 已知动点满足关系式.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.
①证明：三点共线；
②当直线与有两个交点时，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）由双曲线定义即可求解；
（2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证；
②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解.
【小问1详解】
设，
则即 ，
所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且
所以动点的轨迹方程为.
【小问2详解】
①证明：由（1）曲线:,，设，
对函数求导得，
所以两切线方程为：，即，
又切线过点P，所以，
即满足，即满足方程，
所以，
设， 则由，
所以，即三点在直线上，即三点共线；
②由上得，所以直线的方程为即，
联立，
因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根，
所以，
所以.
所以的取值范围为.
年份
2020年
2021年
2022年
2023年
年份序号
1
2
3
4
项目支出/百亿元
90
96
100
108
男生
女生
合计/人
甲
65
35
100
乙
45
55
100
合计/人
110
90
200
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
+
0
0
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
年份
2020年
2021年
2022年
2023年
年份序号
1
2
3
4
项目支出/百亿元
90
96
100
108
男生
女生
合计/人
甲
65
35
100
乙
45
55
100
合计/人
110
90
200
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3841
5.024
6.635
7.879
10.828