辽宁省沈阳市第二中学2023届高三下学期第六次模拟考试数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市第二中学2023届高三下学期第六次模拟考试数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省沈阳市第二中学2023届高三下学期第六次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设全集，若集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，复数满足，则（    ）A． B． C．3 D．3．已知平面向量，满足，，，则（        ）A． B． C．2 D．4．“函数存在零点”的一个必要不充分条件为（     ）A． B．C．m＞2 D．5．已知正实数x，y满足，设，，（其中为自然对数：），则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．6．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（    ）（附：圆台的侧面积，，为两底面半径，为母线长，其中的值取3，）A． B． C． D．7．已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ）A．函数图象关于直线对称 B．函数的周期为2C．函数图象关于点中心对称 D．8．已知双曲线的左焦点为，双曲线上的两点关于原点对称(其中点在双曲线的右支上)，且，双曲线上的点满足，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．下列命题中真命题是（    ）A．设一组数据的平均数为，方差为，则B．将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有36种不同的方法C．两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强D．若随机变量服从正态分布，且，则10．已知，过点作圆的切线，切点分别为，则下列命题中真命题是（    ）A．B．直线的方程为C．圆与共有4条公切线D．若过点的直线与交于两点，则当面积最大时，.11．函数的图像关于点中心对称，且在区间内恰有三个极值点，则（    ）A．在区间上单调递增B．在区间内有3个零点C．直线是曲线的对称轴D．将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数12．如图，在三棱柱中，底面，为线段上的动点，分别为线段中点，则下列命题中正确的是（    ）  A．三棱锥的外接球体积的最大值为B．直线与所成角的余弦值的取值范围是C．当为中点时，三棱锥的体积为D．存在点，使得 三、填空题13．函数的极小值点为______．14．展开式中的系数为___________.（答案用数字作答）15．已知，将绕原点沿顺时针方向旋转45°到的位置，则点的坐标为______.16．已知直线l与抛物线C：交于点M，N，且OM⊥ON．若的面积为S，写出一个满足“”的直线l的方程__________, 四、解答题17．已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和.18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(1)求角A的大小；(2)若，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．19．如图，在四棱锥中，且，其中为等腰直角三角形，，且平面平面.(1)求的长；(2)若平面与平面夹角的余弦值是，求的长.20．第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．(1)求这人中至多有人通过初赛的概率；(2)求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元；方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．21．如下图所示，已知椭圆的上顶点为，离心率为，且椭圆经过点.  (1)求椭圆的方程；(2)若过点作圆（圆在椭圆内）的两条切线分别与椭圆相交于两点（异于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.22．已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，且，证明：.
参考答案：1．C【分析】根据题意，将集合化简，然后结合集合的运算即可得到结果.【详解】因为，即，且，则，所以.故选:C2．B【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简，再求模即可.【详解】因为，所以，所以，∴.故选：B.3．B【分析】先求出，再通过计算可得的值.【详解】，，，.故选：B.4．A【分析】令可得，再分析的奇偶性与单调性，结合的最值判断即可.【详解】令化简可得，令，易得函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，又，且，故有零点则，所求范围要比此大，选项中仅A符合.故选：A.5．A【分析】利用作差比较法，结合指数函数的单调性可得答案.【详解】因为，，，所以又，，所以，所以；又，又，，所以．综上，．故选：A．6．B【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解.【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中），则，，，所以，故圆台部分的侧面积为，圆柱部分的侧面积为，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.故选：B.7．D【分析】由易得图象关于直线对称，再由为奇函数，得到图象关于对称，进而结合得到，有函数的周期为4判断.【详解】解：因为满足，所以，所以函数图象关于直线对称，因为为奇函数，所以，即，则函数图象关于对称，则，令得，由，得，所以函数的周期为4，所以，故选：D8．A【分析】利用双曲线的定义、平面几何的性质和余弦定理解决本题.【详解】如图所示，为双曲线右焦点，则由，得四边形为平行四边形，又由，可得，可得四边形为矩形.设，则,，在中，由余弦定理得，即，即 ①，在Rt中，，即②，联立①②解得，代入② ，得，解得.故选：A.9．ABD【分析】根据方差计算公式变形判断A，根据分堆分配问题求解判断B，根据相关系数的性质判断C，根据正态分布性质判断D.【详解】对于A，由方差定义可得，所以，所以，A 正确；对于B，将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人的安排方法有种，B正确；对于C，由相关系数的性质可得相关系数的绝对值越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强，C 错误，对于D，因为随机变量服从正态分布，所以随机变量的均值，所以，又，可得，由正态密度曲线的对称性可得，D正确，故选：ABD.10．ABD【分析】由圆的方程确定圆心坐标和半径，结合切线性质求，判断A，求过点的圆的方程，再求其与圆的公共弦可得直线的方程，判断B，判断圆与圆的位置关系，判断C，结合三角形面积公式求的面积的最大值，求，判断D，【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径为，所以，又，所以，由已知，所以，A正确，因为，所以点四点共圆，且圆心为的中点，线段的中点坐标为，所以圆的方程为，即，因为，所以圆与圆相交，又圆的方程可化为所以圆与圆的公共弦方程为，故直线的方程为，B正确，  圆的圆心的坐标为，半径为，因为，，所以圆与圆相交，故两圆只有3条公切线，C错误；设，则，的面积，所以当时，的面积取最大值，最大值为，此时，D正确.故选：ABD.  11．BC【分析】根据给定条件，求出的值并代入函数式，再结合三角函数的性质逐项分析判断作答.【详解】因函数的图象关于点中心对称，则，即，当时，，依题意，，解得，因此，，对于A，当时，，而正弦函数在上不单调，A不正确；对于B，当时，，则时，即函数在区间内有3个零点，B正确；对于C，因，即直线是曲线的对称轴，C正确；对于D，图象向左平移个单位，所得图象对应的函数，因为，所以函数不是奇函数，D不正确.故选：BC12．AC【分析】建立空间直角坐标系，设点的坐标为，，求三棱锥的外接球的半径，判断A，求异面直线与所成角的余弦值判断B，由锥体体积公式判断C，根据垂直关系的向量表示判断D.【详解】因为底面，，故以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设三棱锥的外接球球心为，因为为直角三角形，所以的外接圆的圆心为斜边的中点，设其中点为，则平面，设点的坐标为，则，故，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥的外接球体积的最大值为，A正确；因为，，所以，，若，则，若，则，所以，所以直线与所成角的余弦值的取值范围是，B错误；当为中点时，又为的中点，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以三棱锥的体积，又的面积，点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为，C正确；因为，，由，可得，所以，与矛盾，D错误，  故选：AC.【点睛】知识点点睛：本题考查线面平行的判定定理，锥体体积公式，利用向量研究异面直线的夹角，利用向量研究空间位置关系和多面体与球的切接关系，属于综合题.13．2【分析】利用求解函数的极值点，再根据函数的单调性，判断极小值点与极大值点即可.【详解】因为函数，所以，得，令可得函数增区间为 ，可得函数的减区间为 ，所以在处取得极小值为，所以函数的极小值点为2.故答案为：2.14．【分析】先求二项式的展开式的通项公式，再由通项公式求展开式中的系数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，，令，可得，所以展开式中含的项为第四项，其系数为，故答案为：.15．【分析】先求得，设，得到，根据题意，利用两角和差的正弦、余弦公式分别求得，，结合三角函数的定义，即可求解.【详解】由向量，可得，设，可得，将绕原点沿顺时针方向旋转到的位置，可得，可得，，设，可得，即.故答案为：.16．（满足，即可）【分析】设点，，因为OM⊥ON可得，从而得到，设直线l：，联立抛物线方程，可得，利用韦达定理可得，从而利用，结合韦达定理，根据可得，取，可得满足“”的直线l的方程为．【详解】设点，，因为OM⊥ON，所以，即，解得（舍）或．设直线l：，联立，消去x可得，则，，则，故．又，所以，解得．故直线l的方程为．取，可得直线l的方程为．故答案为：（满足，即可）17．(1)(2) 【分析】（1）由条件结合的关系可得，，由此可求的通项公式；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以当时，，，， 时，，所以，；（2）由（1）知.令，则，，所以，.18．(1)(2) 【分析】(1)利用正弦定理结合两角和得正弦公式即可求出结果；(2)利用余弦定理求出，再利用平面向量关系化简即可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：,即，,因为，所以，所以，因为,所以.（2）由（1）得，则，所以，即，当且仅当时等号成立，因为点D是边BC中点，所以,两边平方可得：,则，所以，中线AD长的最大值为.19．(1)(2) 【分析】（1）根据题目中的垂直条件结合平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理把放到一个直角三角形中，从而可求长度.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用求平面与平面夹角的方法列式即可求解.【详解】（1）取的中点，则，又平面平面，平面平面平面，平面，平面，，，平面，平面，平面，，又.（2）在平面内过作的垂线以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，，取.设，设平面的法向量为，，平面与平面夹角的余弦值是，，，或（舍），.20．(1)(2)(3)方案二更好，理由见解析 【分析】（1）计算出人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）计算出人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答.【详解】（1）解：人全通过初赛的概率为，所以，这人中至多有人通过初赛的概率为.（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.（3）解：方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，所以元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，则，，，，所以，.所以，，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．(1)(2)过定点，定点 【分析】（1）根据条件列方程组求可得椭圆方程；（2）先求的范围，圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆，解出B，D坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率的关系，表示出直线BD的方程即可求得过定点.【详解】（1）由题知解得，故椭圆的方程为（2）设点为椭圆上任意一点，则，所以，所以当时，取最小值，即椭圆上的点到点的最小距离为，因为圆在椭圆内部，所以半径，所以直线的斜率均存在，设过点与圆相切的直线为，设直线的斜率分别为，则圆心到直线的距离，化简得：①，从而，由得：，解得：或将代入可得，所以，所以直线BD的斜率，直线BD的方程为：化简为：，即所以，当变化时，直线BD总过定点.  【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．(1)减区间是，增区间是.(2)证明见解析 【分析】（1）求得，求得和的解集，即可求得函数的单调区间；（2）由（1），可设，则，求得  设，利用导数求得单调区间，得到，进而得到，得出，设，利用导数求得，得到，进而证得以，即可求解.【详解】（1）解：由函数，可得，令，即，解得；令，即，解得，所以的减区间是，增区间是.（2）证明：当时，，当时，，因为且，结合在上单调递减，在上单调递增可得，设，则，所以，从而，又因为，所以，故  ①，设，则，令，可得；令，可得，从而在上单调递减，在上单调递增，又由，所以，故，所以，因为，所以，故  ②，将①②两式相加可得，设，则，所以在上单调递减，又，所以，从而，所以，，所以，故，又因为，所以，综上所述，.  【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.