河北省秦皇岛市山海关区2025届高三下学期考前保温数学模拟试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 集合，，那么（ ）
2. 若复数为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为（ ）
3. 已知为单位向量，，，则在上的投影向量的长度为（ ）
4. 从，，1，2，3，4，5，6这8个数中随机选取3个不同的数，则这3个数可以构成等差或等比数列的概率是（ ）
5. 已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（ ）
6. 已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一点，过点的直线交抛物线的准线于点，若，，则（ ）
7. 已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（ ）
8. 设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在一次问答竞赛中，已知组的成绩与组的成绩均服从正态分布，且，，则（ ）
10. 如图，四边形是一个正方形，，半圆面平面，动点在半圆弧上运动（点不与点、重合），动点在线段上运动，下列说法正确的是（ ）
11. 如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 若直线的截距之和为2，且，则的最小值为______.
13. 已知函数的值域为，则实数的值为______.
14. 科学家发现一种特殊的粒子，现在把该粒子放在依次排开的1~5号密封箱子中，两个箱子之间只有一条通道相连，该粒子每天只会出现在一个箱子里，第二天会随机出现在相邻箱子中的一个，若科学家每天只能观察一个箱子，则至少需要______天才能确保观测到该粒子.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
16. 已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的取值范围.
17. 有一款网络答题竞赛游戏，答题类型有科普类与文学类两种，随机抽取了50名参赛人员进行答题偏好的问卷调查，调查所得数据如下表：
(1)完成以上列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该游戏的答题偏好与性别有关联？
(2)随着参赛人员越多，题库提供的题量越多，某同学统计了当参赛人数分别为2~6人时，题库给出的题量的数据，用最小二乘法得到答题量关于参赛人数的回归直线方程为，已知该组数据的相关系数，题量的方差，求的值（结果精确到0.1）.
附：参考公式：，其中.
回归系数，相关系数，.
参考数据：
18. 已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若，求的值；
(3)证明：是定值.
19. 如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥.
(1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积；
(2)若，是的中点.
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值.
河北省秦皇岛市山海关区2025届高三下学期考前保温数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、数列、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、平面解析几何、函数与导数、空间向量与立体几何、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．2
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．平面平面
B．存在点使得
C．当三棱锥体积最大时，二面角的正切值为
D．当三棱锥体积最大时，的最小值为
A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则
B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到
C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到
D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到
科普类
文学类
合计
男生
5
女生
10
合计
25
50
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
4
适中
9
较难
5
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
交集的概念及运算
2
0.65
已知复数的类型求参数；复数的除法运算；求复数的实部与虚部；共轭复数的概念及计算
3
0.85
已知模求数量积；求投影向量；数量积的运算律
4
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；计算古典概型问题的概率
5
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形
6
0.65
抛物线定义的理解；二倍角的余弦公式
7
0.4
利用正弦型函数的单调性求参数；三角函数图象的综合应用；利用正弦函数的对称性求参数
8
0.85
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究能成立问题；用导数判断或证明已知函数的单调性
二、多选题
9
0.85
正态曲线的性质；指定区间的概率
10
0.4
锥体体积的有关计算；证明面面垂直；余弦定理解三角形；求二面角
11
0.4
已知两点求斜率；求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题
三、填空题
12
0.85
基本不等式求和的最小值；直线截距式方程及辨析；直线一般式方程与其他形式之间的互化
13
0.65
根据对数函数的值域求参数值或范围
14
0.15
实际问题中的计数问题
四、解答题
15
0.65
裂项相消法求和；利用an与sn关系求通项或项
16
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究不等式恒成立问题；由导数求函数的最值（不含参）
17
0.65
求回归直线方程；独立性检验解决实际问题；相关系数的计算；卡方的计算
18
0.4
根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围；双曲线中的定值问题；根据a、b、c求双曲线的标准方程；根据离心率求双曲线的标准方程
19
0.4
球的表面积的有关计算；线面角的向量求法；三角恒等变换的化简问题；多面体与球体内切外接问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
平面向量
3
4
数列
4,15
5
计数原理与概率统计
4,9,14,17
6
三角函数与解三角形
5,6,7,10,19
7
平面解析几何
6,11,12,18
8
函数与导数
8,13,16
9
空间向量与立体几何
10,19
10
等式与不等式
12