河北省秦皇岛市山海关区2025届高三毕业班第二次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省秦皇岛市山海关区2025届高三毕业班第二次模拟考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，
，.
故选：A.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，
即，解得，
所以.
故选：D.
3. 已知向量，若，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，则，
又，则，整理得到，
故选：A.
4. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为元，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，圆台的侧面积为，母线长
圆台的高
则圆台上下底面面积为
由圆台的体积计算公式可得：
故选：C.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以，
所以，
所以.
故选：D
6. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题a=lg263×26=lg263+1>lg273+1=1+13，
，且c=1+lg92>1+lg162=1+14，
，
综上，，即.
故选：B.
7. 设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】设，则，即，
双曲线C的渐近线方程为，
所以，
又，平方后得，
又在中，由可得，
所以，
两式相减，整理得，
所以，
因为，
所以，解得．
故选：C.
8. 在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，且，，点在底面内的射影在的外部，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，知且，底面，
若是的中点，而，则，且，
而底面，则，都在平面内，则平面，
由平面，则，又底面，则，
由，则，即，
由点在底面内的射影在的外部，则在边的外侧，如下图，
若在的另一侧，则必与的中点重合，不合题设，
由题意，该三棱锥外接球球心在过的中点垂直于平面的直线上，
根据几何关系有，则，
所以，可得，
（注意时，不成立），
所以，外接球半径，则，故其表面积.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ）
A. 与负相关B.
C. 第7个月的下载量估计为1.8万次D. 残差绝对值的最大值为0.2
【答案】ABD
【解析】对于A，由，则回归直线斜向下，故A正确；
对于B，由，，即样本中心为，
则，解得，故B正确；
对于C，将代入回归方程，解得，故C错误；
对于D，由题意可得下表：
则最大值为，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 点是图象的一个对称中心
C. 方程在区间上有2026个实数解
D. 若，则的单调递增区间为
【答案】AB
【解析】由函数图象可知，最小正周期满足，即，所以，
又因为函数图象过点，将其代入函数可得，
即，解得，
又因为，所以，，
所以，故A正确；
对于B，因为函数的对称中心是，
所以令，可得，当时，，
所以，点是图象的一个对称中心，故B正确；
对于C，令，得.
当时，即，则在区间上，共有1013个实数解；
当时，即，则在区间上，共有1012个实数解.
综上，方程在区间上有个实数解，故C错误；
对于D，由函数定义域可知，，
又因为函数在上单调递减，所以要使函数单调递增，即函数单调递减，且，
所以，解得.
所以，的单调递增区间为，故D错误.
故选：AB.
11. 记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 是周期函数，且其中一个周期为8D.
【答案】BC
【解析】由题意，函数与的定义域均为.
由求导可得，即，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
由求导可得，
，
，则（常数），
令，则有，所以，即，
所以，即函数的图象关于直线对称.
又由可得，
则有，
，
，即，
所以函数的图象关于点对称.
所以函数是周期函数，周期.证明如下：
由可得，
由上述结论可知，所以.
则，即，
又由可得，所以.
所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确；
对于A，因为，，
若，则，与矛盾.
故A错误；
对于D，由求导可得，
则有，因为，所以
则（是常数），令，可得，
所以，即函数的图象关于直线对称.
所以，函数也是周期函数，周期.
，令，可得，
根据对称性可知，，
所以.
所以，不确定是否为0，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则______．
【答案】2
【解析】由题设，可得，
若的公比为，则，
所以，则.
故答案为：2
13. 将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），则不同的填数方法共有______种；若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有______种（用数字作答）.
【答案】①. 1680 ②. 912
【解析】首先任选4个格子填1，有种，再将余下的4个数填入其它4个格子，有种，
所以，不同的填数方法共有种，
要使填入的每行数之和为偶数，第1、2行填1的个数有三种情况，
若，即第1行0个1，第2行4个1，此时有种；
若，即第1行、第2行各2个1，此时有种；
若，即第1行4个1，第2行0个1，此时有种；
所以共有种.
故答案为：1680，912
14. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点在圆上，点在椭圆上，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】椭圆的，
右焦点为，右焦点为，上顶点为，
点在圆上，可设，
，
表示点与的距离，
由椭圆的定义可得，
，
当且仅当三点共线上式取得等号，
故的最小值是，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于年月日至月日在黑龙江省哈尔滨市举行，人们将在观看比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解哈尔滨市不同年龄段的市民每周锻炼的时长情况，随机抽取人进行调查，得到如下列联表：
（1）试根据的独立性检验，判断周平均锻炼时长是否与年龄有关；
（2）现从岁以下的样本中按周平均锻炼时长是否少于小时，用分层随机抽样的方法抽取人做进一步访谈，再从这人中随机抽取人填写调查问卷．记抽取人中周平均锻炼时长少于小时的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
解：（1）零假设：周平均锻炼时长是否与年龄无关，
由列联表中的数据，可得，
又，根据的独立性检验，我们推断假设不成立，
即周平均锻炼时长与年龄有关.
（2）抽取的人中，周平均锻炼时长少于小时的有人，
不少于小时的有人，
所以所有可能的取值为，
，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
16. 如图①，已知正方形的边长为4，分别为的中点，沿将四边形折起，如图②，使二面角的大小为60°，在线段上，直线与直线的交点为．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）当时，求直线与平面所成角余弦值．
（1）证明：连接交于点Q，连接，因为正方形，分别为的中点，所以四边形为矩形，所以为中点，
又为的中点，，所以为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：由题知：，二面角的大小为60°，
故：是二面角平面角，，
又，所以为正三角形，
取中点，中点，连接，
则，易证：面，所以，
以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则
则，
设直线与平面的夹角为，则，
又，所以，所以，
直线与平面所成角的余弦值为.
17. 已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由，
根据正弦定理，得，
由，，则，
即，而，故,
又，所以.
（2）由正弦定理，且，则，，
由，
则
，
由，则，即，
可得，
令，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
，，，所以.
18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）已知点，若上存在一点，使得，求的取值范围；
（3）过的直线交于两点，过的直线交于，两点，，位于轴的同侧，证明：为定值．
解：（1）由题意可知：焦点F到准线的距离为，
所以抛物线E的方程为.
（2）设，可知，则，
可得，
显然不满足上式，
则，可得，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
则，即，
所以t的取值范围为.
（3）设，
则直线的斜率，
可得直线的方程，整理得，
同理可得：直线的方程，
由题意可得：，整理得，
又因为直线的斜率分别为，
显然为锐角，则，
所以为定值.
19. 对于数列，定义：如果函数使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”.
（1）设，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；
（2）设，判断数列是否为“控制数列”，并说明理由；
（3）仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”.设，其中，证明：数列是“特控数列”.
（1）证明：不妨设等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，
则，
取，，，则，
有，即，
即存在，使得等差数列是“控制数列”；
（2）解：数列是“控制数列”，理由如下：
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减．
则，即，时取等号．
则，
记数列的前n项和为，
则，
即，即数列是“控制数列”；
（3）证明：要证数列是“特控数列”，即证，
因为，所以，，
对两边取对数，有，
即证，即证，
由（2）知当时，，
则当时，有，
则只需证，即证，
即证，
由，则，则，
令，，则，
故在上单调递减，则，
即在上恒成立，即，
故，
即数列是“特控数列”．月份编号
1
2
3
4
5
下载量万次
5
4.5
4
3.5
2.5
年龄
周平均锻炼时长
合计
少于小时
不少于小时
岁以下
岁以上（含）
合计