人教版（2024）九年级上册垂直于弦的直径同步练习题

这是一份人教版（2024）九年级上册垂直于弦的直径同步练习题，共21页。

A．B．C．D．
2．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（ ）
A．3B．C．6D．
3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）
A．B． C． D．
5．如图，以为直径的中，弦于点M，若．则的长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
6．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
8．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．
9．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
能力提升
1．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
2．半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
3．如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（ ）
A．B．C．8D．10
4．如图，正三角形内接于，已知半径为2，那么的边长为（ ）
A．2B．C．D．3
5．的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为 ．
6．如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为 ．
7．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
8．“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．
(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？
(2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？
拔高拓展
1．根据素材解决问题．
24.1.2 垂直于弦的直径 分层作业
基础训练
1．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A．B．C．D．
【详解】解：∵弦于点E，cm，
∴cm．
在中，cm，
∴．
故选：C．
2．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（ ）
A．3B．C．6D．
【详解】如图所示，连接
由题意知，弦心距OC＝2，
则根据垂径定理，有
在中，
则
根据垂径定理可知，
故选D．
3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，；
此时OM最短，
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选：B．
4．如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）
A．B． C． D．
【详解】解：∵是的直径与弦交于点，，
根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点，
∴， ，
但不能证明，故选项说法错误，符合题意；
故选：B．
5．如图，以为直径的中，弦于点M，若．则的长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
【详解】解：∵AB⊥CD，CD为直径，AB＝24，
∴BM＝AM＝12，OD=，
在Rt△OAM中，OA＝OD＝13，AM＝12，由勾股定理得：OM＝5，
即MD＝OD−OM＝13−5＝8，
故选：C
6．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：如图，过C作CM⊥AB，交AB于点M，
由垂径定理可得M为AD的中点，
∵，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴．
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：，
∴
（舍去负值）．
∴．
故选C．
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：B．
8．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．
【详解】解：如图，作于点，连接，
∵，，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴水的最大深度为0.8m．
9．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
【详解】设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示
设半径为则
由垂径定理可知，
∵，∴，且
在中，由勾股定理可得
即，解得
∴
在中，由勾股定理可得
∴
∴不需要采取紧急措施.
能力提升
1．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
2．半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，
，
，
，，
而，，
，，
在中，，；
在中，，；
当圆点在、之间，与之间的距离；
当圆点不在、之间，与之间的距离；
所以与之间的距离为7或1．
故选：C．
3．如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（ ）
A．B．C．8D．10
详解】解：作于，延长交于，连接，，设，
∵、是两条平行弦
∴
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径长是，
故选：B．
4．如图，正三角形内接于，已知半径为2，那么的边长为（ ）
A．2B．C．D．3
【详解】解：过O作于D，连接，则，
∵正三角形内接于，
∴，
在中，，则，
∴，
∴，
即的边长为，
故选：B．
5．的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为 ．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在线段上时，连接，
的直径，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，连接，
同理可得：，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
6．如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为 ．
【详解】解：如图，过点O作垂足为点，连接，，
，
，
根据勾股定理列方程可得，，
，，
，
解得，
，
故答案为：．
7．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
【详解】当x=0时，y=（x﹣1）2﹣4=﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD=3；
当y=0时，有（x﹣1）2﹣4=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB=4，OA=1，OB=3．
连接CM，则CM=AB=2，OM=1，如图所示．
在Rt△COM中，CO==，
∴CD=CO+OD=3+．
故答案为3+．
8．“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．
(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？
(2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？
【详解】（1）解：设4分钟后小明到达点，过点作于点，即为小明离地的高度，
∵
∴
(m)．
答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m；
（2）解：∵当旋转到处时，作弦交的延长线于点，连接，此时离地面高度为．
当时，
，
∵每分钟旋转的角度为： ，
∴由点旋转到所用的时间为：（分钟）．
答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中．
拔高拓展
1．根据素材解决问题．
【详解】解：任务1
记圆心为点O，则点O在延长线上，连接（如图1）
设桥拱的半径为，
∵，，
∴，
∴，即圆形拱桥的半径为10米．
任务2
当是的弦时，记与的交点为M（如图2），
则，
∴，
∴，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度米．
∵，
∴吨，
∴至少需要增加吨的货物．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1种有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1种有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
求圆形桥拱的半径
任务2
拟定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？