2024~2025学年广东省肇庆市封开县高三上册10月月考试数学试卷[有解析]

这是一份2024~2025学年广东省肇庆市封开县高三上册10月月考试数学试卷[有解析]，共22页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 若正实数满足，则的最小值为， 已知向量满足，且，则， 下列选项中，正确的是， 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
5. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 满足集合为的子集且的集合的个数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 15
7 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
8. 若不等式在x1≤x≤2上有解，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 若，，则，
B. 若不等式的解集为，则
C. 函数的图象恒过定点
D. 若，，且，则的最小值为9
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 非零向量和满足，则与夹角为
B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则在方向上的投影向量的模为
D. 若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减
B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 直线是曲线的切线
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知，，则________．
13. 若函数在上为增函数，则取值范围为_____.
14. 在边长为1正方形中，点为线段的三等分点，，则__________；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周长．
16. 函数，其中．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，f（x）的最小值为0，求a的值．
17. 设函数，其中其中的最小正周期为．
（1）求；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域．
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
19. 通过两角和的正､余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式.例如.
（1）根据上述过程，推导出关于表达式；
（2）求的值；
（3）求的值.
2024-2025学年广东省肇庆市封开县高三上学期10月月考试数学检测试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】解一元二次不等式化简集合A,求函数 的值域化简B.然后求.
【详解】依题意，，故.
故选B.
本题考查了集合的交集运算,属基础题.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意可得，再根据复数的四则运算计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】结合三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化简，代入即可求解.
【详解】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，可得
.
故选：C.
4. 若正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【正确答案】C
【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可.
【详解】由为正实数，且，得，
则，
当且仅当，即时，取最小值9.
故选：C.
5. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
6. 满足集合为的子集且的集合的个数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 15
【正确答案】C
【分析】根据子集的概念得到答案.
【详解】因为集合，
则集合可以为,，，，，，，
共8个，
故选：C
7. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
8. 若不等式在x1≤x≤2上有解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由已知将不等式进行参变分离得，再根据函数的单调性求得最值，由此可得选项.
【详解】解：因为，所以不等式化为，
又在上单调递减，所以当时，有最小值．所以a的取值范围是．
故选：B．
方法点睛：解答本题有两个关键，其一是分离参数得到有解，其二是求出函数在x1≤x≤2上的最小值．
二､多选题：（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 若，，则，
B. 若不等式的解集为，则
C. 函数的图象恒过定点
D. 若，，且，则的最小值为9
【正确答案】ACD
【分析】根据命题的否定即可判断A选项；利用一元二次不等式的解集即可判断B选项；利用对数函数过定点即可判断C选项；利用基本不等式即可判断D选项.
【详解】对于A：由题知，“”的否定是“”，故A正确；
对于B：若不等式的解集为，
则的两根为，且，
根据韦达定理有: ，解得，所以，故B错误；
对于C：对数函数恒过，
所以恒过，故C正确；
对于D：因为，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
故的最小值为9，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 非零向量和满足，则与的夹角为
B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则在方向上的投影向量的模为
D. 若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【正确答案】BC
【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A，由即可判断B，根据投影的定义判断C，根据且与不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D.
【详解】对于A：由，，
所以，即，
所以，
所以，所以与的夹角为，故A错误；
对于B：由，，所以，则与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确；
对于C：，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：由，，则，
若与的夹角为锐角，则且与不能同向，
即，解得且，故D正确；
故选：BC．
11. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减
B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 直线是曲线的切线
【正确答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：f2π3=sin4π3+φ=0，所以4π3+φ=kπ，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，2x+2π3=3π，f(7π6)=0，直线不是对称轴；
对D，由y'=2cs2x+2π3=−1得：cs2x+2π3=−12，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为k=y'x=0=2cs2π3=−1，
切线方程为：y−32=−(x−0)即．
故选：AD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则________．
【正确答案】
【分析】利用三角函数的基本关系式结合即可求得和的具体值，则可求.
【详解】因为，
由
解得或
又，
所以，，
所以．
故答案为.
13. 若函数在上增函数，则取值范围为_____.
【正确答案】
【详解】函数在上为增函数，则需，
解得，故填.
14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则__________；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为__________.
【正确答案】 ① ②.
【分析】第一空：解法一：由图结合向量加减法可得答案；解法二：如图建立直角坐标系，由题意可得答案；第二空：在上一空解法二的基础上，设，结合题意可得关于的表达式 ，即可求得取值范围.
【详解】第一空：解法一：因为，即，则，
可得，所以；
解法二：由题意可知：
以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
第二空：因为点在线段上，
设，且中点，则，
可得，
则，
因为时函数递增，
所以当时，取到最小值为；
当时，取到最大值为；
则的取值范围为，
故答案：；.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A．
（2）若，，求的周长．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【小问1详解】
方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
【小问2详解】
由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
16 函数，其中．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，f（x）的最小值为0，求a的值．
【正确答案】（1）或
（2）或
【分析】（1）直接解一元二次不等式；
（2）先求出对称轴，然后分，和三种情况求其最小值即可.
【小问1详解】
当时， 不等式，
即，解得或，
所以不等式的解集为或；
【小问2详解】
易知的对称轴为，
①当时，函数在上单调递增，
则，得，符合题意；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得或（舍）；
③当时，函数在上单调递减，
则，解得，不符合题意，
综上所述，的值为或.
17. 设函数，其中其中的最小正周期为．
（1）求；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域．
【正确答案】（1）2 （2）
【分析】（1）根据两角差的正弦公式，诱导公式，辅助角公式得，结合周期公式即可求解；
（2）根据图象变换，得，结合正弦函数的图象即可求解值域．
【小问1详解】
，
因为的最小正周期为，所以．
【小问2详解】
由（1）得，根据变换，得，
因为，所以，
所以，
所以．
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
【小问1详解】
当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
解法一：因为的定义域为R，且，
若，则对任意x∈R恒成立，
可知在R上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在0,+∞内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为1,+∞；
解法二：因为的定义域为R，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在0,+∞内单调递增，
可知在0,+∞内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为1,+∞.
19. 通过两角和的正､余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式.例如.
（1）根据上述过程，推导出关于的表达式；
（2）求的值；
（3）求的值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据两角和的正弦公式、二倍角的正余弦公式和同角的平方关系计算即可求解；
（2）由、和同角的平方关系计算可得，解方程即可；
（3）由（1）得，结合两角和的正弦公式计算即可求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，即，
，
，即，
整理得；
【小问3详解】
由（1）得，
.
关键点点睛：本题解决的关键在于熟练常握三角函数恒等变换的相关公式，从而得解.