2024-2025学年广东省肇庆市封开县高三上学期第五次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省肇庆市封开县高三上学期第五次月考数学检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，则集合A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥1}D．{x|1≤x＜2}
2．若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为
A．B．C．D．
3．在（其中）的展开式中，的系数与的系数相同，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
4．已知向量，，则（ ）
A．2B．3C．7D．8
5．2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人参加3个志愿服务项目，每人只参加一个志愿服项目，每个项目都有人参加，则不同的安排方案有（ ）
A．24B．36C．48D．72
6．函数在的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．若直线过点，则的最小值为（ ）
A．12B．10C．9D．8
8．已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，O为球心，，，则三棱锥体积的最大值是
A．B．1C．D．
二、多选题（本题共4小题，共20分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若一组数据1，a，2，3的平均数是2，则该组数据的众数和中位数均是2
B．将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
C．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为3；
D．在回归方程中，变量x每增加一个单位时，y平均增加4.08个单位
10．下列判断正确的是（ ）
A．一个平面内的两条直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．中，角成等差数列的充要条件是B
C．线性回归直线必经过点的中心点
D．若随机变量ξ服从正态分布，则
11．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为2B．渐近线方程为
C．离心率为2D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）

A．B．数列是递减数列
C．数列是等比数列D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的最小正周期为 ;若函数在区间上单调递增，则的最大值为 .
14．某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为 ．
15．已知直线：被圆：截得的弦长为，则 ，圆上到直线的的距离为1的点有 个.
16．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a，4a，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的仅是一个四棱柱，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知是递增的等比数列，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设.求数列的前项和
18．如图，在平面四边形ABCD中，已知，，.在AB边上取点E，使得，连接EC，ED.若，.
（1）求的值；
（2）求CD的长.
19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为(每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数(元)的分布列并求其数学期望.
附：参考公式和数据：，.
附表：
20．在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
21．已知椭圆的离心率为，点M（a，0），N（0，b），O（0，0），△OMN的面积为4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设A，B是x轴上不同的两点，点A在椭圆E内（异于原点），点B在椭圆E外．若过点B作斜率存在且不为0的直线与E相交于不同的两点P，Q，且满足∠PAB+∠QAB＝180°．求证：点A，B的横坐标之积为定值．
22．已知函数（），为正实数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
购买金额（元）
人数
10
15
20
15
20
10
不少于60元
少于60元
合计
男
40
女
18
合计
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
1．D
【分析】求解一元二次不等式解得集合，再求集合的交集即可.
【详解】∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，
∴集合A∩B＝{x|1≤x＜2}．
故选：D
本题考查集合的交运算，涉及一元二次不等式的求解，属综合简单题.
2．B
【详解】依题意，，故，故复数的虚部为，故选B．
3．D
求得二项展开式的通项为，根据的系数与的系数相同，得到关于的方程，即可求解.
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，
因为的系数与的系数相同，即且，
即，解得.
故选：D.
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟练应用二项展开式的通项，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
4．C
先求得，根据，得到，再结合向量的数量积的坐标运算，即可求解.
【详解】由题意，向量，可得，
因为，可得，解得，即，
所以.
故选：C.
5．B
先将甲、乙、丙、丁四人分成3组,再将分成的三组分别参加三个项目即可.
【详解】先将甲、乙、丙、丁四人分成3组,其中必有一组为2人,所以有种选择,
再将分成的三组分别参加三个项目,此时有种选择,
由分步乘法原理可得,不同的安排方案有
(种),
故选: B
本题考查排列组合思想与分步乘法原理;分清楚是有序还是无序，分类还是分步是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
6．B
由可排除选项C、D；再由可排除选项A.
【详解】因为
，故为奇函数，
排除C、D；又，排除A.
故选：B.
本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.
7．C
【分析】
将点的坐标代入直线方程，得到一个值为1的表达式，用这个表达式去乘，化简后利用基本不等式求得最小值.
【详解】
直线过点，则，
因为，所以，
当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9．
故选：C．
8．B
画图分析可知到面的距离为定值,故只需求底面的面积最大值,再根据基本不等式的方法求解即可.
【详解】如图,设交平面于.因为,由球的对称性有底面.
又,.故.,
因为,所以.
又.故.
故.当且仅当时取等号.
故选：B
本题主要考查了锥体外接球以及根据基本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用基本不等式求最值,属于中档题.
9．ABC
【分析】对于A，计算出的值，根据定义即可求解；对于B，根据方差的性质即可判断；对于C，根据分层抽样计算公式进行计算即可；对于D，根据回归方程的意义即可判断.
【详解】对于A：一组数据1，a，2，3的平均数为2，即，
所以，所以该组数据的众数和中位数均为2，A正确
对于B：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，B正确；
对于C：，C正确
对于D：回归方程中，变量x每增加一个单位时，y平均增加4.35个单位，D错误，
故选：ABC.
10．BCD
【分析】根据面面平行判定定理判断A，根据等差中项判断B，根据线性回归直线方程的定义判断C，根据正态分布的对称性判断D.
【详解】对于A：一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，故A错误；
对于B：中，，所以的三内角A，B，C成等差数列，故B正确；
对于C：在研究变量x和y的线性相关性时，线性回归直线方程必经过散点图中心，故C正确；
对于D：已知随机变量ξ服从正态分布，图象关于对称，根据，
可得，得，故D正确；
故选：BCD
11．BC
由双曲线方程得到、和的值，分别求出实轴长、渐近线方程、离心率和一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离，即可得到答案.
【详解】由双曲线方程，得，，，
所以实轴长，故选项A错误；
渐近线方程为，故选项B正确；
离心率，故选项C正确；
准线方程，取其中一条准线，
与的交点，
点到直线的距离，故选项D错误.
故选：BC
本题主要考查双曲线的几何性质，包括求实轴长、离心率、渐近线方程和准线方程，属于基础题.
12．ACD
【分析】求导得切点处的切线方程，即可令0判断A,根据对数的运算，结合等差等比数列的定义即可判断BC，根据等比求和公式即可求解D.
【详解】，所以在点处的切线方程为：，
令0，得，故A正确.
，故，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，
所以，D正确.
故选；ACD
13．
直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.
【详解】，故，当时，，
故，解得.
故；.
本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
14．
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.
【详解】依题意，，，，
∴（分），
∴全班学生的平均成绩为分．
全班学生成绩的方差为
故
15． 3
利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据弦长公式求出，解方程求得 值，
【详解】解：由题意得：圆心，
则圆心到直线的距离，
解得；
因为，，
则圆上到直线的距离为1的点应有3个.
故；3．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式的应用.
16．
【分析】分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的全面积，根据题意列出限制条件，可求范围.
【详解】拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况：①上下底面对接，其全面积为.
②边合在一起时，全面积为.
③边合在一起时，全面积为.

拼成一个四棱柱时，有四种情况，全面积有三种情况：
让边长为所在的侧面重合，其上下底面积之和都是，
但侧面积分别为，
显然，三种情况中全面积最小的是；
因为比小，所以由题意得，
解得.
故答案为.

17．（1）；（2）.
（1）利用等差数列的通项公式以及等比数列的通项公式即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【详解】（1）设数列的公比为，由题意及，知，成等差数列，
，即.解得或(舍去)，.
数列的通项公式为.
（2），
.
18．（1）；（2）7.
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，代入已知条件即可求解；
（2）由同角三角函数关系求出，进而求出，由余弦定理得，计算可得CD.
【详解】（1）在中，由正弦定理，知，
因为，，，
所以；
（2）因为，所以，
所以，
因为，所以为直角三角形，又，
所以，
在中，，
所以.
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
19．(1)列联表见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；(2)分布列见解析，.
【分析】(1)利用频数分布表及列联表中已有数据，完成2×2列联表,直接套公式求出K2,对照参数下结论；
(2)分析出中奖次数的随机变量，再求出X的分布列及期望.
【详解】(1)列联表如下：
，因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
(2)可能取值为65，70，75，80，且，
，，
，，
所以的分布列为
.
求离散型随机变量的分布列时，要特别注意随机变量是否服从二项分布、超几何分布等特殊的分布.
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
21．（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）根据离心率和三角形的面积，列出方程，即可求得，则问题得解；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，根据kPA+kQA＝0，利用韦达定理，即可容易证明.
【详解】（1）由题得e，即c2a2，b2a2，Sab＝4，
解得a2＝16，b2＝4，
所以椭圆E的标准方程为：；
（2）证明：设A（n，0），B（m，0），
由题意可得直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为：x＝ty+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程：，
整理可得：（4+t2）y2+2tmy+m2﹣16＝0，
△＝4t2m2﹣4（4+t2）（m2﹣16）＞0，m2＜4t2+16，
y1+y2，y1y2，x1x2＝t2y1y2+tm（y1+y2）+m2；
因为∠PAB+∠QAB＝180°，所以kPA＝﹣kQA，即kPA+kQA＝0，
而kPA+kQA0，
所以2t（m2﹣16）+（m﹣n）（﹣2tm）＝0，
因为t≠0，所以m2﹣16﹣m2+mn＝0，
所以可得mn＝16，
即证点A，B的横坐标之积为定值16．
本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的定值问题，涉及韦达定理的使用，属综合中档题；注意本题中角度与直线斜率关系的转化.
22．（1）单调递增区间为，单调递减区间为和；（2）.
【分析】（1）由已知得，由此利用导数性质能求出函数的单调区间．
（2）由（1）知，函数在，上有极大值（3）也是最大值，要使得函数对任意，，均有成立，只需（3）即可，由此利用导数性质能求出实数的取值范围．
【详解】（1）因为（），
所以（），
因为，所以令，得；令，得或.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和.
（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值是.
又，，所以，
所以在上的最小值为.
若，，不等式恒成立，
则需在时恒成立，
即，
即，解得.
又，所以.
故实数的取值范围为.
不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
65
70
75
80