云南省临沧地区中学2025届高三下学期5月月考数学试题（解析版）

这是一份云南省临沧地区中学2025届高三下学期5月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数z满足z1+3i=1+i1-i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．-3+iB．iC．-3D．1
【答案】D
【解析】因为z1+3i=1+i1-i=1+i21-i1+i=i，
所以z=i1+3i=-3+i，所以z的虚部为1.
故选：D.
2．设集合A=x∣x2-3x+2≤0,B={x∣aa20是A⊆B的必要不充分条件.
故选：B.
3．△ABC中，点M,N满足AM=MC,BN=2NC，且MN⋅AB=MA⋅CN，则BCAB=（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】C
【解析】由题意可得MN=AN-AM=AB+BN-AM
=AB+23BC-12AC=AB+23AC-AB-12AC=13AB+16AC，
MA=-12AC，CN=13CB=13AB-AC，
因为MN⋅AB=MA⋅CN，所以13AB+16AC⋅AB=-12AC⋅13AB-AC，
即AC2-2AB2=2AB⋅AC=2ABACcs∠BAC=AB2+AC2-BC2，
故BC2=3AB2，于是BCAB=3.
故选：C.
4．已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为π3，则该圆台的侧面积为（ ）
A．334πB．32πC．332πD．3π
【答案】B
【解析】作出示意图如图所示：
设球的半径为OA=OB，由题意可得∠OAB=π3，
所以OAB是等边三角形，
所以∠AOB=π3，所以∠O1OB=π6，
因为球O的表面积为4π，所以4π×OA2=4π，解得OA=1，
所以OB=AB=1，
所以O1B=12OB=12，
所以圆台的侧面积为122π×1+2π×12×1=3π2.
故选：B.
5．已知双曲线E :x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，以F为圆心，2b为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若OB=3OA，则双曲线E的离心率为（ ）
A．52B．3C．5D．3
【答案】A
【解析】令点F(c,0)，双曲线E :x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，
由对称性不妨取直线AB:bx-ay=0，取AB中点C，连接FC，则FC⊥AB，
|FC|=bca2+b2=b，而|AB|=2(2b)2-b2=2b，
由OB=3OA，得|OC|=|AB|=2b，在Rt△OCF中，c2=(2b)2+b2=5b2，
则a2=c2-b2=4b2，解得c=5b,a=2b，
所以双曲线E的离心率e=ca=52.
故选：A.
6．已知实数a，b满足3a=4b，则下列不等式可能成立的是（ ）
A．be时，f'x>0，当00恒成立，
故gx在0，+∞上单调递增，则g'x=mx-lnx-1≥0在0，+∞上恒成立，
也即lnx+1x≤m，在区间0,+∞恒成立，则gxmax=1≤m，故正确.
故选：AD.
11．如图，半径为1的动圆C沿着圆O:x2+y2=1外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点Pa,b形成的外旋轮线Γ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点P与点A1,0重合．以下说法正确的有（ ）
A．曲线Γ上存在到原点的距离超过23的点
B．点1,2在曲线Γ上
C．曲线Γ与直线x+y-22=0有两个交点
D．b≤332
【答案】BCD
【解析】设⊙O与⊙C切于M点，则O,C始终关于点M对称.
所以当切点M绕O逆时针转动θ弧度时，致使点P绕圆心C也转了θ弧度，θ∈[0,2π)，
如图，连接OC，∴∠AOM=∠MCP=θ，延长CP与x轴交于R点，
过C作CD⊥x轴于点D，
∴∠OCD=π2-θ,∠RCD=θ-π2-θ=2θ-π2,OC=2，PC=1
∴xP=2csθ+PC⋅sin2θ-π2=2csθ-cs2θ，
yP=2sinθ-cs2θ-π2=2sinθ-sin2θ，
则P(2csθ-cs2θ,2sinθ-sin2θ)，
即曲线Γ的参数方程为x=2csθ-cs2θy=2sinθ-sin2θ，θ为参数，θ∈[0,2π).
对于A，PO=(2csθ-cs2θ)2+(2sinθ-sin2θ)2=5-4csθ≤30，则OP=a2+4=5⇒a=1，即P1,-2，
代入抛物线方程有4=2p⇒p=2，所以C:y2=4x；
（2）证明：由（1）知y2=4x,F1,0，C的准线x=-1，
不妨设Px1,y1,Kx2,y2y10，l1:x=my+1，
若EP平行于x轴，则E-1,y1，
所以l2:y=0-y10--1x，整理得y=-y1x，
联立l1,l2方程有x=my+1y=-y1x⇒x=11+my1y=-y11+my1,∴S11+my1,-y11+my1，
又P在抛物线C和直线l1上，即y12=4x1x1=my1+1，
则有S1x1,-y1x1，此时-y1x12=y12x12=4x1，即yS2=4xS，
则S在抛物线C上，证毕；
（3）解：在（2）的条件下可知S、K两点重合，由重心的性质不难知Q为线段SP的中点，
同（2），仍设Px1,y1,Sx2,y2y10，l1:x=my+1，
则E-1,y1,Qx1+x22,y1+y22，
联立x=my+1y2=4x⇒y2-4my-4=0，
所以y1+y2=4m,x1+x2=my1+y2+2=4m2+2，
且y1=4m-16m2-4×-42=2m-2m2+1，
则Q2m2+1,2m，
可知lEQ:y=2m-y12m2+2x+1+y1，整理得x=2m2+22m-y1y-y1-1，
设NxN,yN、TxT,yT⇒GxN+xT2,yN+yT2，
与C联立有x=2m2+22m-y1y-y1-1y2=4x⇒y2-8m2+82m-y1y+8m2+82m-y1y1+4=0，
所以yN+yT=8m2+82m-y1=2yG，即yG=4m2+42m-y1=2m2+1，
由于Q为线段SP的中点，所以S、P到直线EQ的距离相等，
则n=S△PEGS△ESQ=GEQE=yG-y1yQ-y1=2m2+1-y12m-y1=4m2+1-2m2m2+1=2-mm2+1，
设fm=2-mm2+1，
若m>0，则fm=2-11+1m2，显然1+1m2>1，所以2>2-11+1m2>1；
若m=0，则fm=2；
若m2+11+1m2>2；
综上n∈1,3.
19．意大利著名画家、数学家、物理学家达⋅芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为f(x)=aex+be-x，其中a、b为非零实数.
（1）利用单调性定义证明：当a=b=12时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
（2）当a=b=12时，若不等式f(sinθ+csθ)≥f(m-sin2θ)对∀θ∈[0,π2]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若f(x)为奇函数，函数g(x)=e2x+e-2x+f(x)-2，x∈[0,ln2]，探究是否存在实数a，使g(x)的最小值为-1？ 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（1）证明：当a=b=12时，f(x)=ex+e-x2，∀x1,x2∈(0,+∞),x1