计算专练11 数列公式的运算练习含答案--高考数学计算题一轮专练15个专题（word版）

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1．已知数列{an}（n≥1，n∈N）的通项公式是an=2n-1，则7是该数列中的第 25 项．
【答案】25．
【解析】根据题意，得2n-1=7，解得n＝25，所以7是该数列中的第25项．
故答案为：25．
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝ 9 ．
【答案】9．
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
由a3=2a1+a4=5，得a1+2d=22a1+3d=5，解得a1=4d=-1，
所以S6＝6a1+6×52d＝24﹣15＝9．
故答案为：9．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+a3+a7+a9＝28，则S9＝ 63 ．
【答案】63．
【解析】因为a1+a3+a7+a9＝28，
根据等差数列的性质，可得a1+a9＝a3+a7＝14，
所以S9=9(a1+a9)2=9×142=63．
故答案为：63．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n﹣1，则此数列的通项公式为 an＝2n﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）＝2n﹣1，
又21﹣1＝1，所以an＝2n﹣1，
故答案为：an＝2n﹣1．
5．已知数列{an}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝ 18 ．
【答案】18．
【解析】等差数列{an}满足a5＝2，则其前9项和S9=9(a1+a9)2=9a5＝18．
故答案为：18．
6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a12a19＝16，则lg2a8+lg2a23＝ 4 ．
【答案】4．
【解析】因为数列{an}为等比数列，
所以a12a19＝a8a23，
又a12a19＝16，
所以a8a23＝16，
所以lg2a8+lg2a23＝lg2a8a23＝4．
故答案为：4．
7．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝2a3+8a1，S4＝30，则a6＝ 64 ．
【答案】64．
【解析】设等比数列{an}的共比为q（q＞0），由a5＝2a3+8a1，得a1q4＝2a1q2+8a1，即q4﹣2q2﹣8＝0．
（q2+2）（q2﹣4）＝0，解得q＝2或q＝﹣2（舍去），又S4＝30，则a1(1-24)1-2=30，解得a1=3015=2，
所以a6＝2×25＝26＝64．
故答案为：64．
8．已知数列{an}满足a1＝1，an=1+1an-1(n∈N*)，则a4＝ 53 ．
【答案】53．
【解析】由足a1＝1，an=1+1an-1(n∈N*)，
得a2=1+1a1=1+1=2，
a3=1+1a2=1+12=32，
a4=1+1a3=1+23=53．
故答案为：53．
9．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2﹣a5＝0，则S5S2= 313 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若8a2﹣a5＝0，则有8a2﹣a2q3＝0，
解可得q＝2，
则S5S2=a1(1-q5)1-qa1(1-q2)1-q=1-q51-q2=313；
故答案为：313
10．已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13＝4π，则tan（a2+a12）＝ -3 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】∵a1+a7+a13＝4π，a1+a13＝2a7，
∴3a7＝4π，
即a7=43π，
∵a1+a13＝a2+a12＝2a7=8π3，
则tan（a2+a12）＝tan（2a7）＝tan8π3=tan2π3=-tanπ3=-3，
故答案为：-3．
11．在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4＝30，则a2+a3＝ 15 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】因为数列{an}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4＝a2+a3，
由a1+a2+a3+a4＝30，所以，2（a2+a3）＝30，
则a2+a3＝15．
故答案为：15．
12．在等比数列{an}中，若a7•a9＝4，a4＝1，则a12的值是 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】∵a7•a9＝4，a4＝1，a7•a9＝a4•a12，
∴a12＝4．
故答案为：4．
13．正项等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4＝ 28 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】∵正项等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，由于每相邻两项的和也成等比数列，
∴S2、S4﹣S2、S6﹣S4成等比数列，即7，S4﹣7，91﹣S4 成等比数列．
∴（S4﹣7）2＝7（91﹣S4），解得 S4＝28，
故答案为：28．
14．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8S4=1716，则公比q＝ 12 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】设等比数列{an}的公比为q＞0，q≠1，
∵S8S4=1716，∴a1(1-q8)1-qa1(1-q4)1-q=1+q4=1716，
化为q4=116，q＞0．
则公比q=12．
故答案为：12．
二．解答题（共16小题）
15．在等比数列{an}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．
【答案】见试题解答内容
【解析】设等比数列的公比为q，
由已知可得，a1q﹣a1＝2，4a1q=3a1+a1q2
联立可得，a1（q﹣1）＝2，q2﹣4q+3＝0
∴q=3a1=1或q＝1（舍去）
∴sn=1-3n1-3=3n-12
16．求数列112，214，318，4116，⋯前n项的和．
【答案】见试题解答内容
【解析】数列的通项为an=n+(12)n
所以数列的前n项和：
Sn=(1+2+3+⋯+n)+[12+(12)2+⋯+(12)n]
=(1+n)n2+12-(12)n+11-12
=-12n+n2+n2+1．
所以数列的前n项和为-12n+n2+n2+1
17．已知lg3x=-1lg23，求x+x2+x3+…+xn+…的前n项和．
【答案】见试题解答内容
【解析】∵lg3x=-1lg23，
∴lg3x＝﹣lg32，即x=12
由等比数列求和公式得
Sn＝x+x2+x3…+xn=x(1-xn)1-x=12(1-12n)1-12=1-12n
18．在数列{an}中，已知a1=-12，an+1=12an+1（n∈N*），求数列{an}的通项公式．
【答案】见试题解答内容
【解析】∵an+1=12an+1（n∈N*），
∴an+1﹣2=12（an﹣2），
又∵a1﹣2=-12-2=-52，
∴数列{an﹣2}是首项为-52、公比为12的等比数列，
∴an﹣2=-52•12n-1=-52n，
∴an＝2-52n．
19．在等比数列{an}中，a1•a2•a3＝27，a2+a4＝30，试求：
（1）a1和公比q；
（2）前6项的和S6．
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）根据题意，等比数列{an}中，a1•a2•a3＝27，则有a1•a2•a3＝（a2）3＝27，即a2＝3，
a2＝3时，a4＝30﹣a2＝27，有q2=a4a2=9，即q＝±3，
若q＝3，则a1=a2q=1，
若q＝﹣3，则a1=a2q=-1，
（2）当q＝3，a1＝1时，前6项的和S6=1(1-36)1-3=7282=364；
当q＝﹣3，a1＝﹣1时，前6项的和S6=(-1)(1-(-3)6)1-(-3)=7284=182．
20．在等差数列{an}中，已知公差d＝﹣3，a3＝﹣4．
（1）判断﹣2和﹣58是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】（1）﹣2不是数列{an}中的项，﹣58是数列{an}中的第21项；（2）Sn=n(7-3n)2．
【解析】（1）由题意知，an＝a3+（n﹣3）d＝﹣4+（n﹣3）×（﹣3）＝5﹣3n，
令5﹣3n＝﹣2，则n=73∉N*，所以﹣2不是数列{an}中的项，
令5﹣3n＝﹣58，则n＝21∈N*，所以﹣58是数列{an}中的第21项．
（2）由an＝5﹣3n，知a1＝2，
所以Sn=(a1+an)n2=(2+5-3n)⋅n2=n(7-3n)2．
21．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3﹣a2＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】（1）an＝n．
（2）Sn=n(n+1)2．
【解析】（1）∵等差数列{an}中，a1＝1，d＝a3﹣a2＝1．
∴数列{an}的通项公式为：
an＝1+（n﹣1）×1＝n．
（2）∵a1＝1，d＝1，
∴数列{an}的前n项和：
Sn＝n×1+n(n-1)2×1=n(n+1)2．
22．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2+Sn对一切正整数n恒成立．
（1）求a1和数列{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．
【答案】（1）an=2n；（2）2n+2﹣2n﹣4．
【解析】等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2+Sn对一切正整数n恒成立，
当n＝1时，a2＝2+S1，整理得：a1q＝2+a1，故a1=2q-1，
当n＝2时，整理得：a1q2=2+a1+a1q，
解得：q＝2，
当n≥2时，an＝2+Sn﹣1，
两式相减得：an+1＝2an，
即：an+1an=2（常数），
故：数列{an}是以a1＝2，公比为2的等比数列．
所以：an=2n．
（2）由于：an=2n，
所以：Sn=2n+1-2，
则：Tn=(22+22+⋯+2n+1)-2n，
=4(2n-1)2-1-2n，
＝2n+2﹣2n﹣4．
23．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝9，a2+a3＝8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求Sn；
（Ⅲ）若S3，a14，Sm成等比数列，求m的值．
【答案】（I）an＝2n﹣1；
（Ⅱ）n2；
（Ⅲ）9．
【解析】（Ⅰ）由题意得S3=3a1+3d=9a2+a3=2a1+3d=8，，
解得a1=1d=2；
故{an}的通项公式为an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn=n(a1+an)2=n(1+2n-1)2=n2；
（III）因为S3，a14，Sm成等比数列，
所以S3⋅Sm=a142，
所以9m2＝272，
即m2＝81，
又因为m∈N*，则解得m＝9．
24．已知公差不为零的等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）设bn=an+2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】（1）an＝3n﹣5；
（2）Sn=3n2-7n2+2n+1﹣1．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列，
∴4a1+6d=10(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d)，解得a1＝﹣2，d＝3，或a1=52，d＝0（不合题意，舍去），
∴an＝3n﹣5；
（2）由（1）得bn=3n-5+2n，
∴Sn=n(-2+3n-5)2+2(1-2n)1-2=3n2-7n2+2n+1-2..
25．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a5＝2a3+8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝lg2an，求数列{bn}的前n项和．
【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）Sn=n(n-1)2．
【解析】（1）因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a5＝2a3+8，
所以令数列{an}的公比为q，a3=a1q2=q2，a5=a1q4=q4，
所以q4＝2q2+8，解得q＝﹣2（舍去）或2，
所以数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，
an=1×2n-1=2n-1；
（2）因为bn＝lg2an，所以bn＝n﹣1，bn+1＝n，bn+1﹣bn＝1，
所以数列{bn}是首项为0、公差为1的等差数列，
Sn=0+n-12×n=n(n-1)2．
26．设数列{an}是等差数列，已知a1＝3，a3＝9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=3anan+1，求b1+b2+…+b2021．
【答案】（I）3n．
（Ⅱ）20216066．
【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，则由题意有a3＝a1+2d，
d=a3-a12=3，
∴an＝3+3（n﹣1）＝3n．
（Ⅱ）bn=33n⋅3(n+1)=13n⋅(n+1)=13(1n-1n+1)
∴b1+b2+b3+…+b2021
=13[(1-12)+(12-13)+⋯+(12021-12022)]
=13(1-12022)
=20216066．
27．已知公差不为零的等差数列{an}的前3项和为3，且a2，a3，a6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=3an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】（1）an＝2n﹣3．
（2）Sn=-124（1﹣9n）．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，
由a1+a2+a3＝3可得3a2＝3，∴a2＝1，
又∵a2，a3，a6成等比数列，∴a32=a2a6，
∴a1+d=1(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，解得a1=-1d=2或a1=1d=0（舍），
∴an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3．
（2）bn＝32n﹣3=32n33=127×9n=13×9n-1，
∴数列{bn}是首项为13，公比为9的等比数列，
∴Sn=13(1-9n)1-9=-124（1﹣9n）．
28．已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}满足a1＝b1＝2，a2+a3＝10，b2b4＝a18．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式．
（Ⅱ）设数列{cn}中cn＝an+bn，求和：c1+c3+c5+…+c2n﹣1．
【答案】见试题解答内容
【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，因为a2+a3＝10，所以2a1+3d＝10，
又a1＝2，所以d＝2，即an＝2+（n﹣1）×2＝2n，
设正项等比数列{bn}的公比为q，q＞0，
因为b2b4＝a18＝36，即b12⋅q4=36，由b1＝2，q＞0知q=3，所以bn=2⋅(3)n-1；
（II）cn=an+bn=2n+2⋅(3)n-1，
设S2n﹣1＝c1+c3+c5+…+c2n﹣1，
则S2n﹣1＝（2+2）+（6+2×3）+…+[2（2n﹣1）+2×3n﹣1]
＝（2+6+…+2（2n﹣1）]+（2+2×3+…+2×3n﹣1）
=12n（2+4n﹣2）+2(1-3n)1-3=2n2+3n﹣1．
29．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）设{an}是公比q不为1的等比数列，
a1为a2，a3的等差中项，可得2a1＝a2+a3，
即2a1＝a1q+a1q2，
即为q2+q﹣2＝0，
解得q＝﹣2（1舍去），
所以{an}的公比为﹣2；
（2）若a1＝1，则an＝（﹣2）n﹣1，
nan＝n•（﹣2）n﹣1，
则数列{nan}的前n项和为Sn＝1•1+2•（﹣2）+3•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n﹣1，
﹣2Sn＝1•（﹣2）+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n，
两式相减可得3Sn＝1+（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣1﹣n•（﹣2）n
=1-(-2)n1-(-2)-n•（﹣2）n，
化简可得Sn=1-(1+3n)⋅(-2)n9，
所以数列{nan}的前n项和为1-(1+3n)⋅(-2)n9．
30．已知等比数列{an}的各项均为正数，a2＝2，a3+a4＝12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+lg2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】（1）an=2n-1（2）Sn=2n-1+n2-n2．
【解析】（1）设公比为q的等比数列{an}的各项均为正数，a2＝2，a3+a4＝12．
所以a1q=2a1q2+a1q3=12，解得a1＝1，q＝2或a1=-23，q＝﹣3（舍去）．
所以an=1×2n-1=2n-1．
（2）由（1）得，bn＝an+lg2an＝2n﹣1+n﹣1，
所以Sn=2n-12-1+n(n-1)2=2n-1+n2-n2．