计算专练07 概率的运算练习含答案--高考数学计算题一轮专练15个专题（word版）

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1．某古典概型的样本空间Ω＝{a，b，c，d}，事件A＝{a，b}，则P（A）＝ 12 ．
【答案】12．
【解析】∵某古典概型的样本空间Ω＝{a，b，c，d}，事件A＝{a，b}，
则P（A）=mn=24=12，
故答案为：12．
2．已知事件A与事件B互相独立，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，则P（A∩B）＝ 0.2 ．
【答案】0.2．
【解析】根据题意，因为事件A与事件B互相独立，则A与B也相互独立，
又由P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，
则P（A∩B）＝P（A）P（B）＝0.5×（1﹣0.6）＝0.2．
故答案为：0.2．
3．《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑，现将乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排，则乾、坤相邻的概率为 23 ．
【答案】23．
【解析】将乾、坤、巽三卦按任意次序排成一排有6种不同排法，分别为：
（乾，坤，巽），（乾，巽，坤），（坤，乾，巽），（坤，巽，乾），（巽，乾，坤），（巽，坤，乾），
其中，乾、坤相邻的基本事件有4个，分别为：
（乾，坤，巽），（坤，乾，巽），（巽，乾，坤），（巽，坤，乾），
∴乾、坤相邻的概率为P=46=23．
故答案为：23．
4．电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以123的概率丢失．现小明同学想要找一个文件，他已经找过了n（1≤n≤88）个不同的文件夹，但都没有找到．则他在剩下未找过的文件夹中找到该文件的概率为 88-n92-n ．
【答案】88-n92-n．
【解析】电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以123的概率丢失．
则文件未被丢失的概率为2223，
此时文件均匀分布在88个文件夹中每个文件夹的概率为2223⋅188；
已知检查了n个文件夹未找到文件，此时文件要么在剩下的88﹣n个文件夹中，要么已丢失．
文件存在且未被检查到的概率：2223⋅88-n88，所以总的未找到文件的概率：123+2223⋅88-n88．
在已知未找到的条件下，文件存在于剩余文件夹中的概率为：2223⋅88-n88123+2223⋅88-n88=88-n92-n．
故答案为：88-n92-n．
5．某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率 710 ．
【答案】710．
【解析】某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，共A52=20种选法，
两人均是男生有A32=63种选法，则两人均是男生的概率为620=310，
则至少选到1名女生的概率1-310=710．
故答案为：710．
6．甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.6，则目标被甲乙同时击中的概率为 0.48 ．
【答案】0.48．
【解析】根据题意，记事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，
又由A与B相互独立，且P（A）＝0.8，P（B）＝0.6．
则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.6＝0.48．
故答案为：0.48．
7．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为 0.46 ．
【答案】0.46．
【解析】设甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，
则P（A）＝0.6，P（B）＝0.7，
所以恰有一人中靶的概率为（1﹣P（A））×P（B）+P（A）×（1﹣P（B））＝（1﹣0.6）×0.7+（1﹣0.7）×0.6＝0.46．
故答案为：0.46．
8．北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存．某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为 13 ．
【答案】13．
【解析】设11个重要建筑依次为a，b，c，d，e，f，g，h，i，j，k，其中故宫为d，
从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：（a，b，c），（b，c，d），（c，d，e），（d，e，f），（e，f，g），（f，g，h），（g，h，i），（h，i，j），（i，j，k），共9种情况，
其中一定有故宫的有：（b，c，d），（c，d，e），（d，e，f），共3种，
由古典概型的概率公式可知，所求概率为P=39=13．
故答案为：13．
9．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么没有相邻的两个人站起来的概率为 716 ．
【答案】716．
【解析】四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，
所有人同时抛掷自己的硬币，
硬币正面朝上，则这个人站起来，
硬币正面朝下，则这个人继续坐着，
每个硬币只有正，反两种情况，
∴4枚相同的硬币构成24＝16种情况，
若没有人站起来，即每个硬币都是正面朝下，只有1种情况，
若只有1人站起来，即4枚硬币有1枚正面朝上，其余3枚正面朝下，有4种情况，
若只有2人站起来，即相对2人的硬币相同，与相邻的人的硬币相反，即有2种情况，
所以满足条件的情况有7种，那么没有相邻的两个人站起来的概率P=716．
故答案为：716．
10．有三个袋子，每个袋子都装有n个球，球上分别标有数字1，2，3，⋯，n．现从每个袋子里任摸一个球，用X，Y，Z分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“X+Y＝Z”的概率为 n-12n2 ．
【答案】n-12n2．
【解析】由题意可知，从每个袋子中任摸一个球，共有n3种不同的结果，
事件“X+Y＝Z”包含的结果有：
（1，1，2），（1，2，3），（1，3，4），…，（1，n﹣1，n），
（2，1，3），（2，2，4），（2，3，5），…，（2，n﹣2，n），
（3，1，4），（3，2，5），（3，3，6），…，（3，n﹣3，n），
……
（n﹣1，1，n），（n﹣1，2，n+1），…，（n﹣1，n﹣1，2n﹣2），
（n，1，n+1），（n，2，n+2），…，（n，n﹣1，2n﹣1），
共有1+2+3+…+（n﹣1）=n(n-1)2种不同的结果，
所以事件“X+Y＝Z”的概率为n(n-1)2n3=n-12n2．
故答案为：n-12n2．
二．解答题（共10小题）
11．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求：
（1）甲获胜的概率；
（2）甲不输的概率．
【答案】（1）16；（2）23．
【解析】（1）甲获胜的概率为1-12-13=16；
（2）甲不输的概率为16+12=23．
12．一个袋子中装有5个形状、大小完全相同的球，其中红球1个、白球3个、黑球1个，现在从袋子中抽取球，每次随机取出一个，抽取这些球的时候，无法看到球的颜色．
（1）现从袋子中无放回地取球两次，求取出的球都是白球的概率；
（2）现在有放回地取球两次，规定取出一个红球记1分，取出一个白球记2分，取出一个黑球记3分，求取出两球后得分之和为4分的概率．
【答案】（1）310；（2）1125．
【解析】（1）从袋子中无放回地取球两次，共有A52=20种可能，其中“都是白球”有A32=6种可能．
所以从袋子中无放回地取球两次，求取出的球都是白球的概率为620=310．
（2）从袋子中有放回地取球两次，共有5×5＝25种可能，
当取出2个白球或取出一红一黑时，得分之和为4，有3×3+2＝11种可能，
所以取出两球后得分之和为4分的概率为1125．
13．从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率：
（1）这个数既能被2整除也能被3整除；
（2）这个数能被2整除或能被3整除；
（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除．
【答案】（1）16；（2）23；（3）13．
【解析】（1）1～30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，
∴P（MN）=530=16；
（2）1～30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，
∴P（M）=1530=12，P（N）=1030=13，
∴P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN）=12+13-16=23；
（3）∵事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件，
∴P（MN）＝1﹣P（M∪B）＝1-23=13．
14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想指的是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如16＝13+3．现从不超过16的素数中，随机选取两个不同的数（两个数无序）．（注：不超过16的素数有2，3，5，7，11，13）
（1）列举出满足条件的所有基本事件；
（2）求事件“选取的两个数之和等于16”的概率．
【答案】（1）（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（2，13），（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（5，7），（5，11），（5，13），（7，11），（7，13），（11，13）．
（2）215．
【解析】（1）不超过16的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从中随机选取两个不同的数的所有基本事件为：
（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（2，13），（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（5，7），
（5，11），（5，13），（7，11），（7，13），（11，13）共15个．
（2）记“选取的两个数之和等于16”为事件A，因为3+13＝5+11＝16，所以其和等于16的有2个基本事件，
故P（A）=215．
15．某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人．现从这5名工人中随机抽取2名．
（Ⅰ）求被抽取的2名工人都是初级工的概率；
（Ⅱ）求被抽取的2名工人中没有中级工的概率．
【答案】（Ⅰ）110．
（Ⅱ）310．
【解析】（Ⅰ）设初级工为a1，a2，中级工为b1，b2，高级工为c，
从中随机取2人，
基本事件有10个，分别为：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）．
抽到2名工人都是初级工的情况为：（a1，a2），共1种，
∴被抽取的2名工人都是初级工的概率p=110．
（Ⅱ）没有抽取中级工的情况有3种，分别为：
（a1，a2），（a1，c），（a2，c），
∴被抽取的2名工人中没有中级工的概率p=310．
16．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品．（要求罗列出所有的基本事件）
（1）求恰好有一件次品的概率．
（2）求都是正品的概率．
（3）求抽到次品的概率．
【答案】（1）815；
（2）25；
（3）35．
【解析】（1）将六件产品编号，四件正品设为A、B、C、D，两件次品设为e、f，
从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：
（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef），共有15种，
设恰好有一件次品为事件A，
事件A中基本事件数为：（Ae）（Af）（Be）（Bf）（Ce）（Cf）（De）（Df）共有8种，
则恰好有一件次品的概率P（A）=815．…（4分）
（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：
（AB）（AC）（AD）（BC）（BD）（CD），共6种
则都是正品的概率P（B）=615=25．…（8分）
（3）设抽到次品为事件C，事件C与事件B是对立事件，
则抽到次品的概率P（C）＝1﹣P（B）＝1-615=35．…（12分）
17．某校选了一批同学随机分成了A、B、C三个活动小组，参加环保宣传活动，甲、乙两名同学都被选中参加活动．
（1）求甲、乙两人被分在同一活动小组的概率；
（2）求甲、乙两人中有人被分在A组参加活动的概率．
【答案】见试题解答内容
【解析】根据题意，可画树状图如下：
（1）P（甲、乙两人被分在同一活动小组）=39=13；
（2）P（甲、乙两人中有人被分在A组）=59．
18．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如表所示：
（1）计算表中乒乓球为优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）
【答案】（1）0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951．
（2）0.950．
【解析】（1）表中乒乓球为优等品的频率依次是：
4550=0.900，92100=0.920，194200=0.970，
470500=0.940，9541000=0.954，19022000=0.951．
（2）由（1）知，随着抽取的球数n的增加，
计算得到的频率值虽然不同，但都在常数0.950的附近摆动，
所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为0.950．
19．试解释下面情况中概率的意义：
（1）某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；
（2）一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98．
【答案】（1）顾客中奖率是0.20指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%；
（2）产品的合格率是0.98指其厂生产的产品合格的可能性是98%．
【解析】（1）顾客中奖率是0.20指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%；
（2）产品的合格率是0.98指其厂生产的产品合格的可能性是98%．
20．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图所示，三个汉字可以近似看成轴对称图形．
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”），则小敏获胜，否则小慧获胜．
（1）写出该试验的样本空间Ω；
（2）设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A．
【答案】（1）答案见解析；
（2）（A）=49．
【解析】（1）根据题意，每次游戏时，所有可能出现的结果如下表：
共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，
（2）共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，
其中，能组成上下结构的汉字的结果有4种：（土，土）“圭”，（口，口）“吕”，（木，口）“杏”或“呆”，（口，木）杏”或“呆”，
所以小敏获胜的情况有4种，则P（A）=49．
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率mn
土
口
木
土
（土，土）
（土，口）
（土，木）
口
（口，土）
（口，口）
（口，木）
木
（木，土）
（木，口）
（木，木）