数学九年级上册二次函数随堂练习题

这是一份数学九年级上册二次函数随堂练习题，共22页。

【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
【知识点梳理】
考点1 运动类
（1）落地模型
最值模型
考点2 经济类
销售问题常用等量关系 ：
利润=收入-成本； 利润=单件利润×销量 ；
【典例分析】
【考点1 运动类（1）落地模型】
【例1】（2024·洪洞模拟）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为 y=−110x2+35x+85 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．85 米B．8米C．10米D．2米
【变式1-1】（2024九上·中山期中）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为 ℎ=20t−5t2 ，则小球从飞出到落地的所用时间为 ( )
A．3sB．4sC．5sD．6s
【变式1-2】（2025九下·扬州期中）校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）满足关系式y=−112x2+23x+53，则小林这次铅球推出的距离是 米.
【变式1-3】（2024秋•武昌区期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式为y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来期间的最后10s共滑行 m．
【运动类（2）最值模型】
【例2】（2024•温州模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3sB．4sC．5sD．6s
【变式2-1】（2024•柯桥区模拟）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（ ）
A．2.25sB．1.25sC．0.75sD．0.25s
【变式2-2】（2024秋•大理市期末）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，则最佳加工时间为（ ）min．
A．2B．5C．2或5D．3.5
【变式2-3】（2024•莆田模拟）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟
【考点2 经济类】
【例3】（2024•朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
（1）直接写出y与x的关系式 ；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【变式3-1】（2025九下·诸暨月考）农经公司以30元 / 千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 p( 千克 ) 与销售价格 x( 元千克 ) 之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 p 与 x 之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
【变式3-2】（2025九下·泾阳月考）2025年杭州亚运会，即第19届亚洲运动会，将于2025年9月10日至25日，在中国杭州市举行某网络经销商购进了一批以亚运会为主题，且具有中国风范、杭州韵味的文化衫进行销售．文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），销售这款文化衫每天所获得的利润为w（元）．
（1）求每天所获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大？并求出最大利润。
【变式3-3】（2025·瑞安模拟）某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元，计划售价大于12元但不超过20元，且售价为整数元.
（1）经市场调查发现，当售价为每袋18元时，日均销售量为50袋，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋.售价定为每袋多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？
（2）疫情期间，该商店分两批共购进 2 万袋同款口罩，进价不变.该商店将购进的第一批口罩 a 袋（8000≤a≤11200）做“买一送一”的促销活动，第二批口罩没有做促销活动，且这两批的售价相同.若这2万袋口罩全部售出后的总利润率为 20%，则每袋口罩的售价可能是多少元？（毛利润＝售价－ 进价，利润率＝毛利润÷进价）
【例4】（2024•佛山校级三模）某地区在2024年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示．（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线，其最低点坐标是（6，1））．
（1）求每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式；
（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益；
（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？
【变式4-1】（2024•连山区一模）某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．
（1）根据图象求出y与x之间的函数关系式；
（2）请写出w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
【变式4-2】（2024九上·吴兴期末）为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为4元/千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于7元/千克，且不超过15元/千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）近似满足如图规律的函数关系.
（1）试写出y与x符合的函数表达式．
（2）若要确保农产品一周的销售量不少于6500千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大收入？最大收入为多少？
【变式4-3】（2024九上·南召期末）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一
面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4米，宽AB=3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米.
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用 y=ax2+c(a≠0) 表示.直接写出抛物线的函数表达式 .
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户每平方米的成本为50元.已知GM=2米，直接写出：每个B型活动板房的成本是 元.（每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）
（3）根据市场信息，这样的B型活动板房公司每月最多能生产 160 个，若以单价 650 元销售B型活动板房，每月能售出 100 个；若单价每降低 10 元，每月能多售出 20 个这样的B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价 n （元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润 w （元）最大？最大利润是多少？
专题22.3 二次函数的实际应用（知识解读1）
【直击考点】
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
【知识点梳理】
考点1 运动类
（1）落地模型
最值模型
考点2 经济类
销售问题常用等量关系 ：
利润=收入-成本； 利润=单件利润×销量 ；
【典例分析】
【考点1 运动类（1）落地模型】
【例1】（2024·洪洞模拟）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为 y=−110x2+35x+85 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．85 米B．8米C．10米D．2米
【答案】B
【解答】解：当y＝0时，即 y=−110x2+35x+85 ＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故答案为：B．
【变式1-1】（2024九上·中山期中）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为 ℎ=20t−5t2 ，则小球从飞出到落地的所用时间为 ( )
A．3sB．4sC．5sD．6s
【答案】B
【解答】解：依题意，令 ℎ=0 得 0=20t−5t2 ，
得 t(20−5t)=0 ，
解得 t=0 （舍去）或 t=4 ，
即小球从飞出到落地所用的时间为 4s ，
故答案为：B．
【变式1-2】（2025九下·扬州期中）校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）满足关系式y=−112x2+23x+53，则小林这次铅球推出的距离是 米.
【答案】10
【解答】解：令y=0
∴−112x2+23x+53=0
∴x2−8x−20=0
解得：x1=10，x2=−2(舍去)
∴小林这次铅球推出的距离是10米.
故答案为：10.
【变式1-3】（2024秋•武昌区期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式为y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来期间的最后10s共滑行 120 m．
【答案】120
【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，飞机停下来并滑行750m，
把t＝25﹣10＝15代入y＝60t﹣t2得y＝60×15﹣×152＝630，
∴750﹣630＝120（m）．
故答案为：120．
【运动类（2）最值模型】
【例2】（2024•温州模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3sB．4sC．5sD．6s
【答案】D
【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆，
∴t＝﹣＝＝6（s），
故选：D．
【变式2-1】（2024•柯桥区模拟）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（ ）
A．2.25sB．1.25sC．0.75sD．0.25s
【答案】B
【解答】解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t，
当t＝﹣＝﹣＝＝1.25（秒），此时y取到最大值，故此时汽车停下，
则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．
故选：B．
【变式2-2】（2024秋•大理市期末）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，则最佳加工时间为（ ）min．
A．2B．5C．2或5D．3.5
【答案】D
【解答】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.4x﹣2，
当x＝﹣＝﹣＝3.5时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.5min．
故选：D．
【变式2-3】（2024•莆田模拟）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）
A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟
【答案】C
【解答】解：由题意知，函数p＝at2+bt+c经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），
则，
解得：，
∴p＝at2+bt+c＝﹣0.2t2+1.5t﹣2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125，
∴最佳加工时间为3.75分钟，
故选：C．
【考点2 经济类】
【例3】（2024•朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
（1）直接写出y与x的关系式 ；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【答案】（1）y＝﹣x+120 （2）单价是75元时，最大日利润是2025元 （3）a＝70．
【解答】解：（1）设解析式为y＝kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得，解得：，
所以y与x的关系式为y＝﹣x+120，
故答案为：y＝﹣x+120；
（2）设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，
∴30≤x≤120，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x＝75时，w最大＝2025，
答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
（3）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵40≤x≤a，
∴有两种情况，
①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70
【变式3-1】（2025九下·诸暨月考）农经公司以30元 / 千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 p( 千克 ) 与销售价格 x( 元千克 ) 之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 p 与 x 之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
【答案】（1）p=−30x+1500 （2）40元
【解答】（1）解：假设 p 与 x 成一次函数关系，设函数关系式为 p=kx+b ，
则 30k+b=60040k+b=300 ，
解得： k=−30 ， b=1500 ，
∴p=−30x+1500 ，
检验：当 x=35 ， p=450 ；当 x=45 ， p=150 ；当 x=50 ， p=0 ，符合一次函数解析式，
∴ 所求的函数关系为 p=−30x+1500 ；
（2）解：设日销售利润 w=p(x−30)=(−30x+1500)(x−30)
即 w=−30x2+2400x−45000=−30(x−40)2+3000 ，
∵−30