人教七年级数学上册专题训练2.4定义新运算及规律（知识解读+能力提升+专项训练）（学生版+名师详解版）

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专题2.4 定义新运算及规律（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1.理解定义新运算的概念； 2.理解新运算所表示的意义，能按照新运算规定的运算法则进行计算、解答； 3.初步掌握规探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述； 4.培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野； 5.掌握从特殊到一般、从个体到整体 地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题， 培养应用意识和创新意识【知识点梳理】考点1 新定义运算1.定义新运算概念： 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如： *、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 2. 注意： 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种 运算定律的。考点2 程序框图关键：读懂程序框图，并按照其要求进行运算考点3 规律题一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。 例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时， 3n=3，3+1=4，所有第 n 项表示为 3n+1.拓展延申：二、图形规律 1.基本思想：图形规律 数字规律 2.基本方法： （1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律. （2）由此及彼,合理联想,大胆猜想 （3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点； （4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否; 【典例分析】【考点1 新定义运算】【典例1】（2014春•富顺县校级期末）定义新运算：对任意有理数a、b，都有a⊕b＝a2﹣b，例如：3⊕2＝32﹣2＝7，那么2⊕1的值为（　　）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【变式1-1】（2024秋•烈山区期末）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5，则（﹣2）⊕3＝　 　．【变式1-2】（2024秋•农安县期末）已知a，b为有理数，规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝3b﹣5a，例如：1※2＝3×2﹣5×1＝6﹣5＝1，计算：（﹣1※3）※2＝　 　．【考点2 程序框图】【典例2】（2024秋•芗城区校级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为（　　）A．6B．3C．5D．2【变式2-1】（2025秋•仁怀市期末）计算机按照如图所示的程序计算，若开始输入x的值为27，第一次的得到的结果为9，第二次得到的结果为3，…第2025次得到的结果为（　　）A．27B．9C．3D．1【变式2-2】（2025•九龙坡区校级模拟）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2．第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2025次得到的结果为（　　）A．1B．2C．3D．4【变式2-3】（2024秋•高州市校级月考）按如图所示的程序计算，如果开始输入的x的值为48，我们发现第一次输出得到的结果为24，第二次输出的结果为12，第三次得到的输出结果为6，…，则第2024次得到的结果为 　　．【考点3 数列规律题】【典例3】（2025•南山区模拟）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是（　　）A．B．C．D．【变式3-1】（2025•云南模拟）给定一列按规律排列的数：1，，，，…，则第n（n≥1）个数为（　　）A．B．C．D．【变式3-2】（2025秋•商水县期中）给定一列按规律排列的数；，，，，…，照此规律，则这列数的第6个数是（　　）A．B．C．D．【典例4】（2025秋•乳山市期中）已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，则31+32+33+34+…+32025结果的末位数字是（　　）A．0B．1C．3D．7【变式4-1】（2025秋•蓬江区校级月考）已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…推测32025的个位数字是（　　）A．1B．3C．7D．9【变式4-2】（2025秋•乐亭县期末）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…归纳各计算结果中的个位数字规律，则22010﹣1的个位数字是（　　）A．1B．3C．7D．5【变式4-3】（2024春•碧江区 期末）为了求1+2+22+23+…+22025+22025的值，可令S＝1+2+22+23+…+22025+22025，则2S＝2+22+23+24+…+22025+22024，因此2S﹣S＝22024﹣1，所以1+22+23+…+22025＝22024﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52025的值是（　　）A．52024﹣1B．52024+1C．D．【典例5】（2025秋•黄埔区期末）若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2025＝（　　）A．3B．﹣2C．D．【变式】（2024•碧江区 二模）有一列数：、、、…，它有一定的规律性．若把第一个数记为a1，第二个数记为a2，…第n个数记为an，则a1+a2+a3+…+a2025的值是（　　）A．2025B．2024﹣C．2025﹣D．2024﹣【考点4 图形规律题】【典例6】（2025秋•巴南区期末）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小“三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……，按此规律，图形⑧中共有n个小三角形，这里的n＝（　　）A．32B．41C．51D．53【变式6-1】（2024•盘龙区二模）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中图1有3张黑色正方形纸片，图2有5张黑色正方形纸片，图3有7张黑色正方形纸片，……按此规律排列下去，图n中黑色正方形纸片的张数为（　　）A．2n﹣1B．2n+1C．n+2D．2n+2【变式6-2】（2024秋•彭水县期末）如图，下列图形是一组按照某种规律排列而成的图案，则图⑥中圆点的个数是（　　）A．17B．18C．19D．20【变式6-3】（2024•重庆模拟）如图，第①个图形中共有4个小黑点，第②个图形中共有7个小黑点，第③个图形中共有10个小黑点，第④个图形中共有13个小黑点，…，按此规律排列下去，则第⑥个图形中小黑点的个数为（　　）A．19B．20C．22D．25【典例7】（2025春•江夏区校级期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）A．2025B．2025C．191D．190【变式7-1】（2024•黔东南州）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）A．2025B．2025C．191D．190【变式7-2】（2024秋•长清区期末）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第（　　）行最后一个数是2025．A．673B．674C．1008D．1010专题2.4 定义新运算及规律（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1.理解定义新运算的概念； 2.理解新运算所表示的意义，能按照新运算规定的运算法则进行计算、解答； 3.初步掌握规探索的方法，并能对简单的规律进行用数学语言描述； 4.培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野； 5.掌握从特殊到一般、从个体到整体 地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题， 培养应用意识和创新意识【知识点梳理】考点1 新定义运算1.定义新运算概念： 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如： *、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 2. 注意： 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种 运算定律的。考点2 程序框图关键：读懂程序框图，并按照其要求进行运算考点3 规律题一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。 例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时， 3n=3，3+1=4，所有第 n 项表示为 3n+1.拓展延申：二、图形规律 1.基本思想：图形规律 数字规律 2.基本方法： （1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律. （2）由此及彼,合理联想,大胆猜想 （3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点； （4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否; 【典例分析】【考点1 新定义运算】【典例1】（2014春•富顺县校级期末）定义新运算：对任意有理数a、b，都有a⊕b＝a2﹣b，例如：3⊕2＝32﹣2＝7，那么2⊕1的值为（　　）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【答案】D【解答】解：根据题中的新定义得：2⊕1＝22﹣1＝4﹣1＝3．故选：D．【变式1-1】（2024秋•烈山区期末）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5，则（﹣2）⊕3＝　 　．【答案】11【解答】解：∵a⊕b＝a（a﹣b）+1，∴（﹣2）⊕3＝﹣2（﹣2﹣3）+1＝10+1＝11．故答案为：11．【变式1-2】（2024秋•农安县期末）已知a，b为有理数，规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝3b﹣5a，例如：1※2＝3×2﹣5×1＝6﹣5＝1，计算：（﹣1※3）※2＝　 　．【答案】﹣64【解答】解：∵a※b＝3b﹣5a，∴﹣1※3＝3×3﹣5×（﹣1）＝9+5＝14，∴（﹣1※3）※2＝14※2＝3×2﹣5×14＝6﹣70＝﹣64．故答案为：﹣64．【考点2 程序框图】【典例2】（2024秋•芗城区校级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为（　　）A．6B．3C．5D．2【答案】B【解答】解：将48输入后会发现输出结果依次为24，12，6，3，6，3，6，…的规律依次出现，且当结果输出的次数大于2时，第奇数次结果为6，第偶数次结果为3，∴第2025次输出的结果为3．故选：B．【变式2-1】（2025秋•仁怀市期末）计算机按照如图所示的程序计算，若开始输入x的值为27，第一次的得到的结果为9，第二次得到的结果为3，…第2025次得到的结果为（　　）A．27B．9C．3D．1【答案】D【解答】解：当x＝27时，第一次输出结果＝×27＝9；第二次输出结果＝×9＝3；第三次输出结果＝×3＝1；第四次输出结果＝1+2＝3；第五次输出结果＝×3＝1；…（2025﹣1）÷2＝1009．所以第2025次得到的结果为1．故选：D．【变式2-2】（2025•九龙坡区校级模拟）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2．第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2025次得到的结果为（　　）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：当x＝2时，第一次输出结果＝×2＝1；第二次输出结果＝1+3＝4；第三次输出结果＝4×＝2，；第四次输出结果＝×2＝1，…2025÷3＝673．所以第2025次得到的结果为2．故选：B．【变式2-3】（2024秋•高州市校级月考）按如图所示的程序计算，如果开始输入的x的值为48，我们发现第一次输出得到的结果为24，第二次输出的结果为12，第三次得到的输出结果为6，…，则第2024次得到的结果为 　　．【答案】﹣2【解答】解：由图表可得，第一次输出的结果为：48×＝24；第二次输出的结果为：24×＝12；第三次输出的结果为：12×＝6；第四次输出的结果为：6×＝3；第五次输出的结果为：3﹣5＝﹣2；第六次输出的结果为：﹣2×＝﹣1；第七次输出的结果为：﹣1﹣5＝﹣6；第八次输出的结果为：﹣6×＝﹣3；第九次输出的结果为：﹣3﹣5＝﹣8；第十次输出的结果为：﹣8×＝﹣4；第十一次输出的结果为：﹣4×＝﹣2；第十二次输出的结果为：﹣2×＝﹣1；由上可得，从第六次到第十一次为一个循环，即六次一循环，∵（2024﹣5）÷6＝2025÷6＝336，∴第2024次得到的结果为：﹣2，故答案为：﹣2．【考点3 数列规律题】【典例3】（2025•南山区模拟）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是（　　）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵＝，，＝，＝，＝，…由上可知，第n个数是．故选：D．【变式3-1】（2025•云南模拟）给定一列按规律排列的数：1，，，，…，则第n（n≥1）个数为（　　）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由已知观察可得，分母是自然数1，2，3，…，n的平方，分子是正奇数，则第n个数是，故选：C．【变式3-2】（2025秋•商水县期中）给定一列按规律排列的数；，，，，…，照此规律，则这列数的第6个数是（　　）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵一列按规律排列的数：，，，，…，∴这列数的第6个数是：＝，故选：C．【典例4】（2025秋•乳山市期中）已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，则31+32+33+34+…+32025结果的末位数字是（　　）A．0B．1C．3D．7【答案】C【解答】解：31末位数字是3，31+32末位数字是2，31+32+33末位数字是9，31+32+33+34末位数字是0，∴末位数字出现3、2、9、0循环，∵2025÷4＝504…1，∴31+32+33+34+…+32025结果的末位数字是3，故选：C．【变式4-1】（2025秋•蓬江区校级月考）已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…推测32025的个位数字是（　　）A．1B．3C．7D．9【答案】B【解答】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，∴个位数字分别为3、9、7、1依次循环，∵2025÷4＝504…1，∴32025的个位数字与循环组的第1个数的个位数字相同，是3．故选：B．【变式4-2】（2025秋•乐亭县期末）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…归纳各计算结果中的个位数字规律，则22010﹣1的个位数字是（　　）A．1B．3C．7D．5【答案】B【解答】解：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，26﹣1＝63，27﹣1＝127，28﹣1＝255，由此可以猜测个位数字以4为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环．知道2010除以4为502余2，而第二个数字为3，所以可以猜测22010﹣1的个位数字是3．故选：B．【变式4-3】（2024春•碧江区 期末）为了求1+2+22+23+…+22025+22025的值，可令S＝1+2+22+23+…+22025+22025，则2S＝2+22+23+24+…+22025+22024，因此2S﹣S＝22024﹣1，所以1+22+23+…+22025＝22024﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52025的值是（　　）A．52024﹣1B．52024+1C．D．【答案】C【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52025，则5S＝5+52+53+…+52024，因此5S﹣S＝52024﹣1，则4S＝52024﹣1，故S＝，故选：C．【典例5】（2025秋•黄埔区期末）若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2025＝（　　）A．3B．﹣2C．D．【答案】D【解答】解：∵a1＝3，∴a2＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝3，……发现规律：这些数每四个数循环一次，∵2025÷4＝505，∴a2025＝a4＝，故选：D．【变式】（2024•碧江区 二模）有一列数：、、、…，它有一定的规律性．若把第一个数记为a1，第二个数记为a2，…第n个数记为an，则a1+a2+a3+…+a2025的值是（　　）A．2025B．2024﹣C．2025﹣D．2024﹣【答案】B【解答】解：观察一列数可知：an＝＝1+，设a1+a2+a3+…+a2025＝b，则b＝1++1++1++…+1+＝2025+（+++…+），∴2b＝4040+（1++++…+），∴2b﹣b＝4040+（1++++…+）﹣2025+（+++…+），∴b＝2025+（1﹣）＝2024﹣．故选：B【考点4 图形规律题】【典例6】（2025秋•巴南区期末）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小“三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……，按此规律，图形⑧中共有n个小三角形，这里的n＝（　　）A．32B．41C．51D．53【答案】C【解答】解：设第m个图形中有am（m为正整数）个小三角形．观察图形，可知：a1＝1+1＝2，a2＝（1+2）+3＝6，a3＝（1+2+3）+5＝11，a4＝（1+2+3+4）+7＝17，…，∴am＝（1+2+…+m）+2m﹣1＝+2m﹣1＝m2+m﹣1（m为正整数），∴n＝a8＝×82+×8﹣1＝51．故选：C．【变式6-1】（2024•盘龙区二模）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中图1有3张黑色正方形纸片，图2有5张黑色正方形纸片，图3有7张黑色正方形纸片，……按此规律排列下去，图n中黑色正方形纸片的张数为（　　）A．2n﹣1B．2n+1C．n+2D．2n+2【答案】B【解答】解：设图n中有an（n为正整数）张黑色正方形纸片，观察图形，可知：a1＝3＝2×1+1，a2＝5＝2×2+1，a3＝7＝2×3+1，a4＝9＝2×4+1，…，∴an＝2n+1（n为正整数）．故选：B．【变式6-2】（2024秋•彭水县期末）如图，下列图形是一组按照某种规律排列而成的图案，则图⑥中圆点的个数是（　　）A．17B．18C．19D．20【答案】C【解答】解：根据图形的变化可知，第1个图有4＝3+1个圆点，第2个图有7＝3×2+1个圆点，第3个图有10＝3×3+1个圆点，...，第n个图有（3n+1）个圆点，∴第6个图有3×6+1＝19个圆点，故选：C．【变式6-3】（2024•重庆模拟）如图，第①个图形中共有4个小黑点，第②个图形中共有7个小黑点，第③个图形中共有10个小黑点，第④个图形中共有13个小黑点，…，按此规律排列下去，则第⑥个图形中小黑点的个数为（　　）A．19B．20C．22D．25【答案】A【解答】解：第①个图形中共有4个小黑点，即3＝3×1+1；第②个图形中共有7个小黑点，即7＝3×2+1；第③个图形中共有10个小黑点，即10＝3×3+1；…，按此规律排列下去，则第⑥个图形中小黑点的个数为3×6+1＝19（个）．故选：A．【典例7】（2025春•江夏区校级期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）A．2025B．2025C．191D．190【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19＝190，故选：D．【变式7-1】（2024•黔东南州）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）A．2025B．2025C．191D．190【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19＝190，故选：D．【变式7-2】（2024秋•长清区期末）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第（　　）行最后一个数是2025．A．673B．674C．1008D．1010【解答】解：由图可知，第一行1个数字，1开头，第二行3个数字，2开头，第三行5个数字，3开头，…，则第n行（2n﹣1）个数字，n开头，故第n行最后一个数字是n+（2n﹣1）﹣1＝3n﹣2，令3n﹣2＝2025，得n＝674，故选：B．专题2.4 定义新运算及规律（专项训练）1．（2024秋•前郭县期末）a为有理数，定义运算符号△：当a＞﹣2时，△a＝﹣a；当a＜﹣2时，△a＝a；当a＝﹣2时，△a＝0．根据这种运算，则△[4+△（2﹣5）]的值为　 　．2．（2024秋•成华区期末）规定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是 　 ．3．（2013•丰南区二模）定义新运算：对任意实数a、b，都有a*b＝a2﹣b，例如：3*2＝32﹣2＝7，那么2*（﹣1）＝　　．4．（2015秋•枣庄期中）用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有ab＝b2﹣a﹣1，例如：74＝42﹣7﹣1＝8，那么（﹣5）（﹣3）＝　　．5．（2025秋•定州市期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，…，第2025次输出的结果为（　　）A．1B．2C．4D．86．（2024秋•河源期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为﹣48，我们发现第1次输出的结果为﹣24，第2次输出的结果为﹣12，……，第2024次输出的结果为（　　）A．﹣6B．﹣3C．﹣24D．﹣127．（2024秋•惠山区期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（　　）A．3B．4C．7D．88．（2025秋•荔湾区校级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为　 　，依次继续下去…第2025次输出的结果为　 　．9．（2025秋•义安区期末）观察一列数：﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，﹣13，……按照这列数的排列规律，你认为第n个数应该是（　　）A．2n﹣1B．（﹣1）n+1（2n﹣1）C．（﹣1）n﹣1（2n﹣1）D．（﹣1）n（2n﹣1）10．（2025•富宁县模拟）观察列数：﹣2，8，﹣32，128……按照这列数的排列规律，第n个数应该是（　　）A．（﹣2）nB．（﹣2）2n﹣1C．﹣22n﹣1D．（﹣1）n•22n﹣111．（2024•昆明模拟）观察下列一组数：﹣1，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是（　　）A．B．C．D．12．（2024•曲靖模拟）有一组数：﹣，，﹣，，﹣…，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（　　）A．（﹣1）n+1B．（﹣1）n+1C．（﹣1）nD．（﹣1）n13．（2025秋•包河区校级月考）72025+1的个位数字是（　　）A．8B．4C．2D．014．（2025春•沭阳县期末）观察式子：71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649、…，请你判断72025的结果的个位数是（　　）A．1B．3C．7D．915．（2025•汉阳区校级模拟）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得，7+71+72+…+72025+72025的结果的个位数是（　　）A．0B．1C．7D．816．（2025秋•长寿区校级月考）为了求1+22+23+…+22008的值，可令S＝1+22+23+…+22008，则2S＝2+22+23+24+…+22009，因此2S﹣S＝22009﹣1，所以1+22+23+…+22008＝22009﹣1．请仿照以上推理计算出1+4+42+43+44+…+42025的值是（　　）A．42025﹣1B．42025﹣1C．D．17.2024春•安居区月考）观察下列算式的规律21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，根据上述的规律，你认为2204的末位数字应该为（　　）A．2B．4C．6D．818．（2025秋•昭阳区期末）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是　 　．19．（2024•城关区一模）观察下面两行数第一行：4，﹣9，16，﹣25，36，…第二行：6，﹣7，18，﹣23，38，…则第二行中的第6个数是　 　；第n个数是　 　．20.（2024春•乐平市期中）观察下列各式，找规律：①32﹣12＝4×2；②42﹣22＝4×3；③52﹣32＝4×4；④62﹣42＝4×5，第n个等式是　 　．（n是正整数）21．（2025秋•中原区校级月考）由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，那么32025﹣31011的末位数字是　 　22（2025春•玉州区期中）为了求1+2+22+23+…+22025的值，可令S＝1+2+2+…+22025，则2S＝2+22+23+24+…+22025，因此2S﹣S＝22025﹣1，所以1+2+22+23+…+22025＝22025﹣1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52025的值是　 ．23.（2025秋•武侯区校级月考）若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是＝，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…依此类推，则a999＝　 　．24．（2024•临清市一模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则a19的值为（　　）A．378B．380C．386D．39925．（2024秋•锦江区期末）如图，用菱形纸片按照如下规律拼成下列图案，若第n个图案中有2024张纸片，则n的值为（　　）A．503B．504C．505D．50626．（2025•烟台模拟）如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放而成，按此规律，则第n个图形中圆点的个数为（　　）A．n+1B．n2+nC．4n+1D．2n﹣127．（2025•洪山区校级模拟）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2025应在（　　）A．A位B．B位C．C位D．D位28．（2025春•裕华区期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形”解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此“三角形”称为“杨辉三角”．如（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2其展开式的系数从左起依次是1，3，3，1，请根据“杨辉三角”计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（　　）A．84B．56C．35D．2829．（2025秋•息县期末）将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…如图所示排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中封顶的位置（C的位置）是有理数4，“峰2”中封顶的位置（C的位置）是有理数﹣9，按此规律排列，2025应排在A，B，C，D，E中　D　的位置．专题2.4 定义新运算及规律（专项训练）1．（2024秋•前郭县期末）a为有理数，定义运算符号△：当a＞﹣2时，△a＝﹣a；当a＜﹣2时，△a＝a；当a＝﹣2时，△a＝0．根据这种运算，则△[4+△（2﹣5）]的值为　 　．【答案】﹣1【解答】解：根据题中的新定义得：△（2﹣5）＝△（﹣3）＝﹣3，则原式＝△（4﹣3）＝△1＝﹣1，故答案为：﹣12．（2024秋•成华区期末）规定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是 　 ．【答案】7　【解答】解：∵x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1，a⊗（4⊕5）的值为79，∴a⊗（4+2×5﹣1）＝a⊗（4+10﹣1）＝a⊗13＝2a×13+1＝26a+1，∴26a+1＝79，解得a＝3，∴3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]＝3a+2（3a﹣4a+2）＝3a+6a﹣8a+4＝a+4＝3+4＝7，故答案为：7．3．（2013•丰南区二模）定义新运算：对任意实数a、b，都有a*b＝a2﹣b，例如：3*2＝32﹣2＝7，那么2*（﹣1）＝　　．【答案】5【解答】解：根据题中的新定义得：2*（﹣1）＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5．故答案为：5．4．（2015秋•枣庄期中）用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有ab＝b2﹣a﹣1，例如：74＝42﹣7﹣1＝8，那么（﹣5）（﹣3）＝　　．【答案】13【解答】解：根据题中的新定义得：（﹣5）（﹣3）＝9﹣（﹣5）﹣1＝9+5﹣1＝13．故答案为：13．5．（2025秋•定州市期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，…，第2025次输出的结果为（　　）A．1B．2C．4D．8【答案】B【解答】解：由题意可得，第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，第三次输出的结果为2，第四次输出的结果为1，第五次输出的结果为4，…，∵（2025﹣1）÷3＝2025÷3＝672…2，∴第2025次输出的结果为2，故选：B．6．（2024秋•河源期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为﹣48，我们发现第1次输出的结果为﹣24，第2次输出的结果为﹣12，……，第2024次输出的结果为（　　）A．﹣6B．﹣3C．﹣24D．﹣12【答案】A【解答】解：由题意可得，第一次输出的结果为：﹣24，第二次输出的结果为：﹣12，第三次输出的结果为：﹣6，第四次输出的结果为：﹣3，第五次输出的结果为：﹣6，…，∵（2024﹣2）÷2＝2025÷2＝1009…1，∴第2024次输出的结果为﹣6，故选：A．7．（2024秋•惠山区期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（　　）A．3B．4C．7D．8【答案】B【解答】解：根据题意可知：开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，第4次输出的结果是8，第5次输出的结果是4，第6次输出的结果是2，第7次输出的结果是1，第8次输出的结果是6，依次继续下去，…，发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环，因为（2024﹣1）÷6＝336…4，所以第2024次输出的结果与第5次输出的结果一样是4．故选：B．8．（2025秋•荔湾区校级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为　 　，依次继续下去…第2025次输出的结果为　 　．【答案】6，8【解答】解：由题意可得，开始输入的x值为7，第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为3，第4次输出的结果为8，第5次输出的结果为4，第6次输出的结果为2，第7次输出的结果为1，第8次输出的结果为6，…，由上可得，从第二次开始，输出结果依次以6，3，8，4，2，1循环出现，∵（2025﹣1）÷6＝336…3，∴第2025次输出的结果为8，故答案为：6，89．（2025秋•义安区期末）观察一列数：﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，﹣13，……按照这列数的排列规律，你认为第n个数应该是（　　）A．2n﹣1B．（﹣1）n+1（2n﹣1）C．（﹣1）n﹣1（2n﹣1）D．（﹣1）n（2n﹣1）【答案】D【解答】解：∵一列数：﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，﹣13，…，∴这列数的第n个数为：（﹣1）n（2n﹣1），故选：D．10．（2025•富宁县模拟）观察列数：﹣2，8，﹣32，128……按照这列数的排列规律，第n个数应该是（　　）A．（﹣2）nB．（﹣2）2n﹣1C．﹣22n﹣1D．（﹣1）n•22n﹣1【答案】D【解答】解：﹣2＝（﹣1）1×22×1﹣1；8＝（﹣1）2×22×2﹣1；﹣32＝（﹣1）3×22×3﹣1；128＝（﹣1）4×22×4﹣1；……由上可知，第n个数为：（﹣1）n•22n﹣1．故选：D．11．（2024•昆明模拟）观察下列一组数：﹣1，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是（　　）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵﹣1，，，，，…，∴第n个数为：（﹣1）n．故选：A．12．（2024•曲靖模拟）有一组数：﹣，，﹣，，﹣…，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（　　）A．（﹣1）n+1B．（﹣1）n+1C．（﹣1）nD．（﹣1）n【答案】C【解答】解：∵有一组数：﹣，，﹣，，﹣…，∴第n个数为（﹣1）n•，故选：C．13．（2025秋•包河区校级月考）72025+1的个位数字是（　　）A．8B．4C．2D．0【答案】C【解答】解：∵71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴这列数的个位数字依次以7，9，3，1循环出现，∵2025÷4＝505，∴72025的个位数字是1，∴72025+1的个位数字是2，故选：C．14．（2025春•沭阳县期末）观察式子：71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649、…，请你判断72025的结果的个位数是（　　）A．1B．3C．7D．9【答案】B【解答】解：∵71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649、…，∴个位数字以7、9、3、1这4个数字一循环，∴2025÷4＝504…3，∴72025的个位数字与73的个位数字相同是3．故选：B．15．（2025•汉阳区校级模拟）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得，7+71+72+…+72025+72025的结果的个位数是（　　）A．0B．1C．7D．8【答案】C【解答】解：由71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，可得：个位数4个数一循环，且4个数一循环的个位数字之和为7+9+3+1＝20，∵2025÷4＝505，∴7+71+72+…+72025＝7+505×0＝7，故选：C．16．（2025秋•长寿区校级月考）为了求1+22+23+…+22008的值，可令S＝1+22+23+…+22008，则2S＝2+22+23+24+…+22009，因此2S﹣S＝22009﹣1，所以1+22+23+…+22008＝22009﹣1．请仿照以上推理计算出1+4+42+43+44+…+42025的值是（　　）A．42025﹣1B．42025﹣1C．D．【答案】【解答】解：令S＝1+4+42+43+44+…+42025，∴4S＝4+42+43+44+45+…+42025，∴4S﹣S＝42025﹣1，∴3S＝42025﹣1，∴．故选：D．17.2024春•安居区月考）观察下列算式的规律21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，根据上述的规律，你认为2204的末位数字应该为（　　）A．2B．4C．6D．8【答案】【解答】解：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以204÷4＝51，则2204的末位数字与24的相同是6．故选：C．18．（2025秋•昭阳区期末）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是　 　．【答案】（﹣1）n【解答】解：根据题意得：这一组数的第n个数是（﹣1）n．故答案为：（﹣1）n．19．（2024•城关区一模）观察下面两行数第一行：4，﹣9，16，﹣25，36，…第二行：6，﹣7，18，﹣23，38，…则第二行中的第6个数是　 　；第n个数是　 　．【答案】﹣47，（﹣1）n+1（n+1）2+2．【解答】解：根据观察的规律，得第二行中的第6个数是﹣（6+1）2+2＝﹣47；第n个数是 （﹣1）n+1（n+1）2+2；故答案为：﹣47，（﹣1）n+1（n+1）2+2．20.（2024春•乐平市期中）观察下列各式，找规律：①32﹣12＝4×2；②42﹣22＝4×3；③52﹣32＝4×4；④62﹣42＝4×5，第n个等式是　 　．（n是正整数）【答案】（n+2）2﹣n2＝4（n+1）【解答】解：∵①32﹣12＝4×2；②42﹣22＝4×3；③52﹣32＝4×4；④62﹣42＝4×5，…，∴第n个等式为（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．故答案为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）．21．（2025秋•中原区校级月考）由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，那么32025﹣31011的末位数字是　 　【答案】6【解答】解：已知31＝3，末位数字为3，32＝9，末位数字为9，33＝27，末位数字为7，34＝81，末位数字为1，35＝243，末位数字为3，36＝729，末位数字为9，37＝2187，末位数字为7，38＝6561，末位数字为1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，又∵2025÷4＝504…1，1011÷4＝252…3，∴32025的末位数字为3与31011的末位数字为7，则32025﹣31011的末位数字是6，故答案为：6．22（2025春•玉州区期中）为了求1+2+22+23+…+22025的值，可令S＝1+2+2+…+22025，则2S＝2+22+23+24+…+22025，因此2S﹣S＝22025﹣1，所以1+2+22+23+…+22025＝22025﹣1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52025的值是　 ．【答案】　【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52025，则5S＝5+52+53+…+52025，5S﹣S＝52025﹣1，4S＝52025﹣1，S＝，即1+5+52+53+…+52025＝，故答案为：．23.（2025秋•武侯区校级月考）若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是＝，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…依此类推，则a999＝　 　．【答案】【解答】解：由题意可得，a1＝3，a2＝＝﹣2，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝3，…，由上可得，这列数依次以3，﹣2，，循环出现，∵999÷4＝249…3，∴a999＝，故答案为：24．（2024•临清市一模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则a19的值为（　　）A．378B．380C．386D．399【答案】D【解答】解：由图知a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，∴an＝n（n+2），当n＝19时，a19＝19×21＝399，故选：D．25．（2024秋•锦江区期末）如图，用菱形纸片按照如下规律拼成下列图案，若第n个图案中有2024张纸片，则n的值为（　　）A．503B．504C．505D．506【答案】C【解答】解：由图知，第一个图案中有5张菱形纸片，以后每个图案都比前一个多4张菱形纸片，故第n个图形中有（4n+1）张菱形纸片，由图知4n+1＝2024，解得n＝505，故选：C．26．（2025•烟台模拟）如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放而成，按此规律，则第n个图形中圆点的个数为（　　）A．n+1B．n2+nC．4n+1D．2n﹣1【答案】C【解答】解：观察图形的变化可知：第1个图形中圆点的个数为4+1＝5；第2个图形中圆点的个数为4×2+1＝9；第3个图形中圆点的个数为4×3+1＝13；…发现规律，则第n个图形中圆点的个数为（4n+1）．故选：C．27．（2025•洪山区校级模拟）将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2025应在（　　）A．A位B．B位C．C位D．D位【答案】C【解答】解：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位．2025÷4＝505，所以2025排在C位．故选：C．28．（2025春•裕华区期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形”解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此“三角形”称为“杨辉三角”．如（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2其展开式的系数从左起依次是1，3，3，1，请根据“杨辉三角”计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（　　）A．84B．56C．35D．28【答案】B【解答】解：根据“杨辉三角”得：（a+b）7的展开式中的系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，（a+b）8的展开式中的系数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1，则（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为56，故选：B．29．（2025秋•息县期末）将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…如图所示排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中封顶的位置（C的位置）是有理数4，“峰2”中封顶的位置（C的位置）是有理数﹣9，按此规律排列，2025应排在A，B，C，D，E中　D　的位置．【答案】D【解答】解：由图可知，奇数为负值，偶数为正值，每个峰中有5个数据，∵（2025﹣1）÷5＝2025÷5＝403…4，∴2025应排在D的位置，故答案为：D．专题2.4 定义新运算及规律（能力提升）一、选择题。1．（2024秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a⊗b＝2a﹣b．例如2⊗3＝2×2﹣3＝1，则（x+y）⊗（2x﹣y）化简后的结果是（　　）A．﹣3x+3yB．yC．﹣3x﹣yD．3y2．（2024秋•开州区期末）定义一种新运算：a⋆b＝2a﹣3b．若a⋆b＝10，则﹣4a+6b﹣3的值为（　　）A．17B．﹣17C．﹣23D．233．（2024秋•盐山县期末）规定一种新运算，a*b＝a+b，a#b＝a﹣b，其中a、b为有理数，化简a2b*3ab+5a2b#4ab的结果为（　　）A．6a2b+abB．﹣4a2b+7abC．4a2b﹣7abD．6a2b﹣ab4．（2024秋•东海县月考）按如图的程序计算，若开始输入的x的值为2，则最后输出的结果是（　　）A．84B．156C．231D．36125．（2024春•江干区校级期中）给出下列程序：，已知当输入x值为1时，输出值为1；输入x值为﹣1时．输出值为﹣3．当输入值为时．输出值为（　　）A．﹣B．C．0D．16．（2024春•重庆月考）按如图所示的运算程序，能使输出结果为19的是（　　）A．a＝4，b＝3B．a＝2，b＝4C．a＝3，b＝4D．a＝1，b＝47．（2024春•六盘水期末）小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（　　）A．2B．3C．4D．88．（2024•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（　　）A．17a14b2B．17a8b14C．15a7b14D．152a14b29．（2024春•开州区月考）有5个正整数a1，a2，a3，a4，a5．某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①a1，a2，a3是三个连续偶数（a1＜a2＜a3），②a4，a5是两个连续奇数（a4＜a5），③a1+a2+a3＝a4+a5．该小组成员分别得到一个结论：甲：取a2＝6，5个正整数不能同时满足上述3个条件；乙：取a2＝12，5个正整数能同时满足上述3个条件；丙：当a2满足“a2是4的倍数”时，5个正整数能同时满足上述3个条件；丁：若5个正整数a1，a2，a3，a4，a5同时满足上述3个条件，则a5＝6k+1（k为正整数）；戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和可表示为10p（p为正整数）；以上结论正确的个数有（　　）个．A．2B．3C．4D．510．（2024春•沙坪坝区校级月考）有5个正整数a1，a2，a3，a4，a5，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①a1，a2，a3是三个连续偶数（a1＜a2＜a3），②a4，a5是两个连续奇数（a4＜a5），③a1+a2+a3＝a4+a5．该小组成员分别得到一个结论：甲：取a2＝6，5个正整数不满足上述3个条件；乙：取a2＝12，5个正整数满足上述3个条件；丙：当a2满足“a2是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；丁：5个正整数a1，a2，a3，a4，a5满足上述3个条件，则a5＝3k+4（k为正整数）；戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10p（p为正整数）；以上结论正确的个数有（　　）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题。11．（2024秋•临沂期末）定义新运算：a#b＝3a﹣2b，则（x+y）#（x﹣y）＝　 ．12．（2024•海曙区模拟）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为　 　．13．（2024春•杏花岭区校级期中）计算两个两位数的积，这两个两位数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．例如：43×47＝2024，68×62＝4216，74×76＝5624，81×89＝7209设其中一个数的十位数字为m，个位数字为n，请用含m，n的算式表示这个规律 　 　 ．14．（2024秋•钟楼区校级月考）如图所示的运算程序中，若输入x的值为4，则输出的值记为m，若输入x的值为﹣3，则输出的值记为n，那么m与n的大小关系为m　 　n（填：＞，＝或＜）．15．（2024春•临西县期末）按下面程序计算：（1）当输入x＝5时，输出的结果为 　 　．（2）若输入x的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的x的值是 　 　．16．（2025秋•台安县月考）已知某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，n小时后存活的细胞有 　 　个．三、解答题。17．（2024秋•天河区期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝a﹣2b，例如：2⊕3＝2﹣2×3＝﹣4．（1）求﹣3⊕2的值；（2）化简并求值：（x﹣2y）⊕（x+2y），其中x＝3⊕2，y＝﹣1⊕4．18．（2024秋•渝北区期末）对于一个三位数，它各个数位的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的两倍，我们就称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差与十位数字之和记为K（a），例如：715，因为7﹣5＝1×2，所以715是一个“互差数”，K（715）＝（7﹣5）+1＝3．（1）判断832与421是否为“互差数”，若是“互差数”，请计算出K（a）；若不是，请说明理由．（2）若m是一个“互差数”，且K（m）＝6，求满足条件的所有m的值．19．（2024•馆陶县一模）请按照如图所示的程序：（1）计算输出整式B的最简结果；（2）判断整式B能否是正数，并说明理由．20．（2024•清苑区二模）如图所示，某数学活动小组用计算机编程编制了一个程序进行有理数混合运算，即输入一个有理数，按照程序顺序运算，可输出计算结果，其中“□“表示一个有理数．（1）已□表示3．①若输入的数为﹣3，求输出结果；②若输出的数为12，求输入的数．（2）若输入的数为a，□表示数b，当输出结果为0时，用a表示b的式子为：　 　．21．（2024春•锦州期末）【发现规律】善于思考的小聪对“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”进行了深入地探究．得到了下列速算方法：十位数字相同，个位数字的和为10的两位数相乘，将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位：将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（若数位不足两位，则用零补齐），比如47×43，它们乘积的前两位是4与（4+1）的积，即20，它们乘积的后两位是7与3的积，即21．所以47×43＝2024；又如21×29，2×（2+1）＝6，不足两位，就将6写在百位，1×9＝9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29＝609．【应用规律】（1）请用上述阅读材料的方法计算：74×76＝　 　；（2）请你写出一个具有类似结构特征的两位数乘法：　 　；【证明规律】（3）设其中一个因数的十位数字为a，个位数字为b（1≤a≤9，1≤b≤9；a，b都是正整数）．①则这两个因数分别表示为 　 　和 　 　；（用含a，b的代数式表示）②用所学的整式的乘法说明上述阅读材料中的速算方法是正确的．22．（2024秋•潍坊期末）如表，给出了在x的不同取值时，三个代数式所得到的代数式的值，回答问题：（1）根据表中信息可知：a＝　 　；b＝　 　；m＝　 　；n＝　 　；（2）表中代数式﹣2x+3的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣2x+3的值就都减少2．类似地，代数式3x﹣5的值的变化规律是：　 　；（3）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减少5；（4）已知x1，x2，x3是三个连续偶数；当x＝x1时，mx+n＝y1；当x＝x2时，mx+n＝y2；当x＝x3时，mx+n＝y3；且y1+y2+y3＝2024．求x1+x2+x3的值．23．（2024秋•鲤城区校级期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab﹣2a．（1）请直接写出2⊕（﹣1）＝　﹣6　；（2）计算：﹣3⊕（﹣4⊕）；（3）若﹣[（m﹣3n）⊕5]的值与﹣6⊕（﹣m+2n）的值互为相反数，求（m﹣n）的值．24．（2024春•定远县期中）如图所示为一个计算程序．（1）若输入的x＝3，则输出的结果为 　 　．（2）若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的x的不同值最多 　　 个；（3）规定：程序运行到“判断结果是否大于0“为一次运算．若运算进行了三次才输出，求x的取值范围．25．（2024秋•大丰区期末）已知有下列两个代数式：①a2﹣b2；②（a+b）（a﹣b）．（1）当a＝5，b＝4时，代数式①的值是 　 　；代数式②的值是 　 　．（2）当a＝﹣，b＝时，代数式①的值是 　 　；代数式②的值是 　 　．（3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）的关系为 　 　 ．（4）利用你发现的规律，求20242﹣20242．专题2.4 定义新运算及规律（能力提升）一、选择题。1．（2024秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a⊗b＝2a﹣b．例如2⊗3＝2×2﹣3＝1，则（x+y）⊗（2x﹣y）化简后的结果是（　　）A．﹣3x+3yB．yC．﹣3x﹣yD．3y【答案】D。【解答】解：原式＝2（x+y）﹣（2x﹣y）＝2x+2y﹣2x+y＝3y，故选：D．2．（2024秋•开州区期末）定义一种新运算：a⋆b＝2a﹣3b．若a⋆b＝10，则﹣4a+6b﹣3的值为（　　）A．17B．﹣17C．﹣23D．23【答案】C。【解答】解：∵a⋆b＝10，∴2a﹣3b＝10，∴原式＝﹣2（2a﹣3b）﹣3＝﹣2×10﹣3＝﹣20﹣3＝﹣23，故选：C．3．（2024秋•盐山县期末）规定一种新运算，a*b＝a+b，a#b＝a﹣b，其中a、b为有理数，化简a2b*3ab+5a2b#4ab的结果为（　　）A．6a2b+abB．﹣4a2b+7abC．4a2b﹣7abD．6a2b﹣ab【答案】D。【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝a2b+3ab+5a2b﹣4ab＝6a2b﹣ab，故选：D．4．（2024秋•东海县月考）按如图的程序计算，若开始输入的x的值为2，则最后输出的结果是（　　）A．84B．156C．231D．3612【答案】D。【解答】解：当x＝2时，＝4，当x＝4时，＝12，当x＝12时，，当x＝84时，．故选：D．5．（2024春•江干区校级期中）给出下列程序：，已知当输入x值为1时，输出值为1；输入x值为﹣1时．输出值为﹣3．当输入值为时．输出值为（　　）A．﹣B．C．0D．1【答案】A。【解答】解：根据题意可得，13×k+b＝1，（﹣1）3×k+b＝﹣3，解得：k＝2，b＝﹣1，当x＝时，（）3×2+（﹣1）＝﹣．故选：A．6．（2024春•重庆月考）按如图所示的运算程序，能使输出结果为19的是（　　）A．a＝4，b＝3B．a＝2，b＝4C．a＝3，b＝4D．a＝1，b＝4【答案】A。【解答】解：A选项，当a＝4，b＝3时，y＝2b2+1＝2×32+1＝2×9+1＝19，故该选项符合题意；B选项，当a＝2，b＝4时，y＝3a+2＝3×2+2＝8，故该选项不符合题意；C选项，当a＝3，b＝4时，y＝3a+2＝3×3+2＝11，故该选项不符合题意；D选项，当a＝1，b＝4时，y＝3a+2＝3×1+2＝5，故该选项不符合题意；故选：A．7．（2024春•六盘水期末）小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（　　）A．2B．3C．4D．8【答案】D。【解答】解：当x＝2时，22﹣1＝3＜7，当x＝3时，32﹣1＝8＞7，则y＝8．故选：D．8．（2024•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（　　）A．17a14b2B．17a8b14C．15a7b14D．152a14b2【答案】A。【解答】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，单项式中a的指数偶数，b的指数不变，所以第8个单项式是：17a14b2．故选：A．9．（2024春•开州区月考）有5个正整数a1，a2，a3，a4，a5．某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①a1，a2，a3是三个连续偶数（a1＜a2＜a3），②a4，a5是两个连续奇数（a4＜a5），③a1+a2+a3＝a4+a5．该小组成员分别得到一个结论：甲：取a2＝6，5个正整数不能同时满足上述3个条件；乙：取a2＝12，5个正整数能同时满足上述3个条件；丙：当a2满足“a2是4的倍数”时，5个正整数能同时满足上述3个条件；丁：若5个正整数a1，a2，a3，a4，a5同时满足上述3个条件，则a5＝6k+1（k为正整数）；戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和可表示为10p（p为正整数）；以上结论正确的个数有（　　）个．A．2B．3C．4D．5【答案】B。【解答】解：甲：若a2＝6，由条件①可得，a1＝4，a3＝8，由条件②可得，a5＝a4+2，由条件③可得，4+6+8＝a4+a4+2，解得a4＝8，而a4为奇数，不符合条件，故甲结论正确；乙：若a2＝12，由条件①可得，a1＝10，a3＝14，由条件②可得，a5＝a4+2，由条件③可得，10+12+14＝a4+a4+2，解得a4＝17，a4为奇数，符合题意，故乙结论正确；丙：若a2是4的倍数，设a2＝4n（n是正整数），条件①可得，a1＝4n﹣2，a3＝4n+2，条件②可得，a5＝a4+2，由条件③可得，4n﹣2+4n+4n+2＝a4+a4+2，解得a4＝6n﹣1，可知a4为奇数，符合题意，故丙结论正确；丁：设a1＝2k（k是正整数），条件①可得，a2＝2k+2，a3＝2k+4，条件②可得，a4＝a5﹣2，a4，a5是奇数，条件③可得，2k+2k+2+2k+4＝a5﹣2+a5，得a5＝3k+4，∵k是正整数，∴3k+4也是正整数，故丁结论错误；戊：设a1＝2m（m是正整数），条件①可得，a2＝2m+2，a3＝2m+4，条件②可得，a4＝a5﹣2，a4，a5是奇数，条件③可得，2m+2m+2+2m+4＝a5﹣2+a5，得a5＝3m+4，∴a4＝a5﹣2＝3m+2，∴a1，a2，a3的平均数为＝2m+2，a4，a5的平均数为＝3m+3，∴a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和可表示为2m+2+3m+3＝5m+5＝5（m+1），∵m是正整数，∴5（m+1）是5的倍数，但不是10的倍数，故戊结论错误．故选：B．10．（2024春•沙坪坝区校级月考）有5个正整数a1，a2，a3，a4，a5，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①a1，a2，a3是三个连续偶数（a1＜a2＜a3），②a4，a5是两个连续奇数（a4＜a5），③a1+a2+a3＝a4+a5．该小组成员分别得到一个结论：甲：取a2＝6，5个正整数不满足上述3个条件；乙：取a2＝12，5个正整数满足上述3个条件；丙：当a2满足“a2是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；丁：5个正整数a1，a2，a3，a4，a5满足上述3个条件，则a5＝3k+4（k为正整数）；戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10p（p为正整数）；以上结论正确的个数有（　　）个．A．2B．3C．4D．5【答案】C。【解答】解：甲：若a2＝6，由条件①可得：a1＝4，a3＝8，由条件②得：a5＝a4+2，由条件③得：4+6+8＝a4+a4+2，解得：a4＝8，而a4是奇数，∴“甲：取a2＝6，5个正整数不满足上述3个条件”，结论正确；乙：若a2＝12，由条件①知：a1＝10，a3＝14，由条件②知：a5＝a4+2，由条件③，得：10+12+14＝a4+a4+2，解得：a4＝17，a4是奇数，符合题意，∴“乙：取a2＝12，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确；丙：若a2是4的倍数，设a2＝4n （n是正整数），由条件①知：a1＝4n﹣2，a3＝4n+2，由条件②知：a5＝a4+2，由条件③，得4n﹣2+4n+4n+2＝a4+a4+2，解得：a4＝6n+1，a4是奇数，符合题意，∴“丙：当a2满足‘a2是4的倍数’时，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确；丁：设a1＝2k （k是正整数），由条件①知：a2＝2k+2，a3＝2k+4，由条件②知：a4＝a5﹣2，a4、a5是奇数，由条件③，得2k+2k+2+2k+4＝a5﹣2+a5，解得：a5＝3k+4，∵k是正整数，∴3k+4也是正整数，∴“丁：5个正整数a1，a2，a3，a4，a5满足上述3个条件，则a5＝3k+4（k为正整数）”，结论正确；戊：设a1＝2m （m是正整数），由条件①知：a2＝2m+2，a3＝2m+4，由条件②知：a4＝a5﹣2，a4、a5是奇数，由条件③，得：2m+2m+2+2m+4＝a5﹣2+a5，解得：a5＝3m+4，∴a4＝a5﹣2＝3m+2，∴a1，a2，a3的平均数为＝2m+2，a4，a5的平均数为＝3m+3，∴a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和为2m+2+3m+3＝5m+5＝5（m+1），∵m是正整数，∴5（m+1）是5的倍数，不一定是10的倍数，∴“戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5 的平均数之和是10p （p为正整数）”结论错误．综上所述，结论正确的个数有4个．故选：C．二、填空题。11．（2024秋•临沂期末）定义新运算：a#b＝3a﹣2b，则（x+y）#（x﹣y）＝　x+5y　．【答案】x+5y。【解答】解：∵a#b＝3a﹣2b，∴（x+y）#（x﹣y）＝3（x+y）﹣2（x﹣y）＝3x+3y﹣2x+2y＝x+5y．故答案为：x+5y．12．（2024•海曙区模拟）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为　119　．【答案】119。【解答】解：由图中的数字可知，左上角的数字是一些连续的正整数，从1开始，左下角的数字是对应的左上角的数据加2，右上角的数字是对应的左下角的数字加1，右下角的数字是左下角的数字与右上角的数字乘积再加左上角数字的和，故第9个正方形中的左上角的数字是9，左下角的数字是11，右上角的数字是10，右下角的数字是：10×11+9＝119；故答案为：119．13．（2024春•杏花岭区校级期中）计算两个两位数的积，这两个两位数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．例如：43×47＝2024，68×62＝4216，74×76＝5624，81×89＝7209设其中一个数的十位数字为m，个位数字为n，请用含m，n的算式表示这个规律 　（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）　．【答案】（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）。【解答】解：由题意可得，两个两位数，其中一个数的十位数字为m，个位数字为n时，另外一个数的十位数字为m，个位数字为10﹣n，那么这两个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，即：（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）．故答案为：（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）．14．（2024秋•钟楼区校级月考）如图所示的运算程序中，若输入x的值为4，则输出的值记为m，若输入x的值为﹣3，则输出的值记为n，那么m与n的大小关系为m　＞　n（填：＞，＝或＜）．【答案】m＞n。【解答】解：依题意当x＝4时，把x＝4代入2x﹣10＝2×4﹣10＝﹣2，即m＝﹣2，当x＝﹣3时，把x＝﹣3代入x﹣1＝×（﹣3）﹣1＝﹣，即n＝﹣，∵﹣2＞﹣，∴m＞n．故答案为：m＞n．15．（2024春•临西县期末）按下面程序计算：（1）当输入x＝5时，输出的结果为 　0　．（2）若输入x的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的x的值是 　4或　．【答案】4或。【解答】解：（1）当x＝5时，x2+1＝25+1＝26，所以输出的结果为26．故答案为：26．（2）当x2+1＞15时，x2+1＝17，解得x＝±4，∵输入x的值为大于1的实数，∴x＝﹣4不合题意，舍去；当x2+1≤15时，（x2+1）2+1＝17，解得x＝，负值舍去，∴符合条件的x的值是4或．故答案为：4或．16．（2025秋•台安县月考）已知某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，n小时后存活的细胞有 　（2n+1）　个．【答案】（2n+1）。【解答】解：根据题意，1小时后细胞有3个，3＝2+1，2小时后细胞有5个，5＝22+1，3小时后细胞有9个，9＝23+1，依次类推，n小时后细胞数应为（2n+1）个，故答案为：（2n+1）．三、解答题。17．（2024秋•天河区期末）定义一种新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝a﹣2b，例如：2⊕3＝2﹣2×3＝﹣4．（1）求﹣3⊕2的值；（2）化简并求值：（x﹣2y）⊕（x+2y），其中x＝3⊕2，y＝﹣1⊕4．【解答】解：（1）∵a⊕b＝a﹣2b，∴﹣3⊕2＝﹣3﹣2×2＝﹣3﹣4＝﹣7；（2）由题意，得（x﹣2y）⊕（x+2y）＝（x﹣2y）﹣2（x+2y）＝x﹣2y﹣2x﹣4y＝﹣x﹣6y，∵x＝3⊕2＝3﹣2×2＝3﹣4＝﹣1，y＝﹣1⊕4＝﹣1﹣2×4＝﹣1﹣8＝﹣9，∴原式＝﹣（﹣1）﹣6×（﹣9）＝1+54＝55．18．（2024秋•渝北区期末）对于一个三位数，它各个数位的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的两倍，我们就称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差与十位数字之和记为K（a），例如：715，因为7﹣5＝1×2，所以715是一个“互差数”，K（715）＝（7﹣5）+1＝3．（1）判断832与421是否为“互差数”，若是“互差数”，请计算出K（a）；若不是，请说明理由．（2）若m是一个“互差数”，且K（m）＝6，求满足条件的所有m的值．【解答】解：（1）∵8﹣2＝3×2，∴832是“互差数”，K＝（8﹣2）+3＝9；∵4﹣1≠2×2，∴421不是“互差数”；（2）设个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，根据题意得，，解得b＝2，∴c﹣a＝4，当c＝9时，a＝5，此时m的值为925；当c＝8时，a＝4，此时m的值为824；当c＝7时，a＝3，此时m的值为723；当c＝5时，a＝1，此时m的值为521；当c＝6时，a＝2，因b＝2，“互差数”各个数位的数字互不相等，所以622不是“互差数”；当c＝4时，a＝0，因为“互差数”各个数位的数字均不为0，所以420不是“互差数”，综上可知：满足条件的所有m的值为925；824；723；521．19．（2024•馆陶县一模）请按照如图所示的程序：（1）计算输出整式B的最简结果；（2）判断整式B能否是正数，并说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：B＝（x﹣1）（3﹣x）﹣（x+2）2＝3x﹣x2﹣3+x﹣（x2+4x+4）＝﹣2x2﹣7；（2）整式B不能是正数，理由如下：∵x2≥0，∴﹣2x2≤0，∴﹣2x2﹣7≤﹣7＜0，∴整式B不能是正数．20．（2024•清苑区二模）如图所示，某数学活动小组用计算机编程编制了一个程序进行有理数混合运算，即输入一个有理数，按照程序顺序运算，可输出计算结果，其中“□“表示一个有理数．（1）已□表示3．①若输入的数为﹣3，求输出结果；②若输出的数为12，求输入的数．（2）若输入的数为a，□表示数b，当输出结果为0时，用a表示b的式子为：　b＝﹣2a﹣1．　．【解答】解：（1）①当输入的数为﹣3时，输出结果为：＝2；②设输入的数为x时，则＝12，∴x＝﹣8，∴输入的数为﹣8．（2）∵输入的数为a，□表示数b，当输出结果为0，∴+（﹣1）﹣b＝0，∴b＝﹣2a﹣1．故答案为：b＝﹣2a﹣1．21．（2024春•锦州期末）【发现规律】善于思考的小聪对“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”进行了深入地探究．得到了下列速算方法：十位数字相同，个位数字的和为10的两位数相乘，将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位：将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（若数位不足两位，则用零补齐），比如47×43，它们乘积的前两位是4与（4+1）的积，即20，它们乘积的后两位是7与3的积，即21．所以47×43＝2024；又如21×29，2×（2+1）＝6，不足两位，就将6写在百位，1×9＝9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29＝609．【应用规律】（1）请用上述阅读材料的方法计算：74×76＝　5624　；（2）请你写出一个具有类似结构特征的两位数乘法：　56×54＝3024　；【证明规律】（3）设其中一个因数的十位数字为a，个位数字为b（1≤a≤9，1≤b≤9；a，b都是正整数）．①则这两个因数分别表示为 　10a+b　和 　10a+10﹣b　；（用含a，b的代数式表示）②用所学的整式的乘法说明上述阅读材料中的速算方法是正确的．【解答】解：（1）74×76，它们乘积的前两位是7与（7+1）的积，即56，它们乘积的后两位是4与6的积，即24．所以74×76＝5624，故答案为：5624；（2）写出十位数字相同，个位数字之和为10的两个两位数即可，例如：56×54＝3024，故答案为：56×54＝3024（答案不唯一）；（3）①设其中一个因数的十位数字为a，个位数字为b，则另一个因数的十位数字为a，个位数字为10﹣b，所以这两个两位数可以表示为10a+b，10a+10﹣b，故答案为：10a+b，10a+10﹣b；②这两个两位数表示为10a+b，10a+10﹣b，它们的积为：（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a2﹣10ab+100a+10ab﹣b2+10b＝100a2+100a﹣b2+10b＝100a（a+1）+b（10﹣b），即满足“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数相乘，将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位：将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位”，得以证明．22．（2024秋•潍坊期末）如表，给出了在x的不同取值时，三个代数式所得到的代数式的值，回答问题：（1）根据表中信息可知：a＝　7　；b＝　1　；m＝　0.5　；n＝　2　；（2）表中代数式﹣2x+3的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣2x+3的值就都减少2．类似地，代数式3x﹣5的值的变化规律是：　x的值每增加1，3x﹣5的值就都增加3　；（3）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就都减少5；（4）已知x1，x2，x3是三个连续偶数；当x＝x1时，mx+n＝y1；当x＝x2时，mx+n＝y2；当x＝x3时，mx+n＝y3；且y1+y2+y3＝2024．求x1+x2+x3的值．【解答】解：（1）用2替换代数式中的x，a＝﹣2×（﹣2）+3＝7，b＝3×2﹣5＝1．由表格可知，x＝0时，n＝2；当x＝﹣2时，﹣2m+n＝1；解得n＝2，m＝0.5；故答案为：7；1；0.5；2．（2）观察表格中第三行可以看出，x的值每增加1，3x﹣5的值就都增加3，故答案为：x的值每增加1，3x﹣5的值就都增加3．（3）∵x的值每增加1，代数式的值就都减小5，∴x的系数为﹣5．∴这个含x的代数式是：﹣5x﹣7（答案不唯一）．（4）由（1）知，n＝2，m＝0.5，∴y1＝0.5x1+2，y2＝0.5x2+2，y3＝0.5x3+2，∴y1+y2+y3＝0.5（x1+x2+x3）+6，∵y1+y2+y3＝2024，∴x1+x2+x3＝4032．即x1+x2+x3的值为4032．23．（2024秋•鲤城区校级期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab﹣2a．（1）请直接写出2⊕（﹣1）＝　﹣6　；（2）计算：﹣3⊕（﹣4⊕）；（3）若﹣[（m﹣3n）⊕5]的值与﹣6⊕（﹣m+2n）的值互为相反数，求（m﹣n）的值．【解答】解：（1）2⊕（﹣1）＝2×（﹣1）﹣2×2＝﹣2﹣4＝﹣6．故答案为：﹣6；（2）﹣3⊕（﹣4⊕）＝﹣3⊕[﹣4×﹣2×（﹣4）]＝﹣3⊕（﹣2+8）＝﹣3⊕6＝﹣3×6﹣2×（﹣3）＝﹣18+6＝﹣12；（3）∵﹣[（m﹣3n）⊕5]的值与﹣6⊕（﹣m+2n）的值互为相反数，∴﹣[（m﹣3n）⊕5]﹣6⊕（﹣m+2n）＝0，∴﹣[5（m﹣3n）﹣2（m﹣3n）]﹣[6（﹣m+2n）﹣2×6]＝0，化简整理得：3m﹣3n＝﹣12，∴m﹣n＝﹣4．24．（2024春•定远县期中）如图所示为一个计算程序．（1）若输入的x＝3，则输出的结果为 　31　．（2）若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的x的不同值最多 　3　个；（3）规定：程序运行到“判断结果是否大于0“为一次运算．若运算进行了三次才输出，求x的取值范围．【解答】解：（1）当x＝3时，第一次：3×3+1＝10，第二次：3×10+1＝31，∴输出的结果为31；故答案为：31；（2）∵最后输出的结果是40，∴3x+1＝40，解得x＝13，由3x+1＝13，得x＝4，由3x+1＝4，得x＝1，∵1是最小的正整数，∴满足条件的x的值有1、4、13共3个．故答案为：3；（3）第1次，结果是3x+1；第2次，结果是3×（3x+1）+1＝9x+4；第3次，结果是3×（9x+4）+1＝27x+13；∴，∴．25．（2024秋•大丰区期末）已知有下列两个代数式：①a2﹣b2；②（a+b）（a﹣b）．（1）当a＝5，b＝4时，代数式①的值是 　9　；代数式②的值是 　9　．（2）当a＝﹣，b＝时，代数式①的值是 　　；代数式②的值是 　　．（3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）的关系为 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．（4）利用你发现的规律，求20242﹣20242．【解答】解：（1）把a＝5，b＝4代入①得：a2﹣b2＝52﹣42＝9，把a＝5，b＝4代入②得：（a+b）（a﹣b）＝（5+4）（5﹣4）＝9，故答案为：9，9；（2）把a＝﹣，b＝代入①得：a2﹣b2＝（﹣）2﹣（）2＝﹣＝， 把a＝﹣，b＝代入②得：（a+b）（a﹣b）＝（﹣+）（﹣﹣）＝（﹣）×（﹣）＝，故答案为：，；（3）由（1）、（2）可知：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）20242﹣20242＝（2024+2024）（2024﹣2024）＝4043×1＝4043．x…﹣2﹣1012…﹣2x+3…a531﹣1…3x﹣5…﹣11﹣8﹣5﹣2b…mx+n…123…x…﹣2﹣1012…﹣2x+3…a531﹣1…3x﹣5…﹣11﹣8﹣5﹣2b…mx+n…123…