2024-2025学年青海省西宁市海湖中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年青海省西宁市海湖中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+2i，则|z−|=( )
A. 13B. 13C. 5D. 5
2.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形O′A′C′B′为等腰梯形，A′C′//O′B′，A′C′=4，O′B′=8，则原四边形AOBC的面积为( )
A. 18 2
B. 20 2
C. 22 2
D. 24 2
3.已知向量a，b满足|a|=1，|a+b|=2，且a⋅b=1，则|b|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4.设|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°，则a在b上的投影向量为( )
A. −56bB. 56bC. −38bD. 38b
5.如图，已知AP=43AB，用OA,OB表示OP，则OP等于( )
A. 13OA−43OB B. 13OA+43OB
C. −13OA+43OBD. −13OA−43OB
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acsB，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
7.半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36πcm2，64πcm2，则这两个平行平面的距离为( )cm．
A. 2B. 14C. 2或14D. 6或8
8.在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为 3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于( )
A. 3 3B. 2 393C. 8 33D. 392
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
10.已知点A(2,5)，B(−1,7)，C(4,−2)，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是( )
A. (−3,14)B. (−1,0)C. (7,−4)D. (1,0)
11.下列叙述正确的是( )
A. 若P∈(α∩β)，且α∩β=l，则P∈l
B. 若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面
C. 三点A，B，C确定一个平面
D. 若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{e1,e2}是平面α内所有向量的一组基，且a=e1+e2，b=3e1−2e2，c=e1+3e2.若c=λa+μb(λ,μ∈R)，则λ+μ= ______．
13.复数1+ 2i是方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q= ______．
14.已知正方体的内切球的体积为4 3π，则该正方体的外接球的表面积______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(2,−1),b=(3,1)．
(1)求向量a−2b的坐标；
(2)设向量a,b的夹角为θ，求csθ的值；
(3)若向量a与a−kb互相垂直，求k的值．
16.(本小题15分)
如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，PB=5，OB=3．
(1)求圆锥的表面积；
(2)经过圆锥的高PO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
17.(本小题15分)
如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q．
(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)求证：EF与A1B1是异面直线．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且bcsC+ccsB=2acsA．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积是3 34,a=2，求△ABC的周长；
(3)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，A、C两岛相距10 7海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛10 3海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市．
(1)求客轮的速度；
(2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？(由小艇换乘客轮的时间忽略不计)
(3)现测得∠BAC=120°，sin∠ACB= 2114，已知速度为v海里/时(v∈(0,30])的小艇每小时的总费用为(12v2+v+50)元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.C
5.C
6.B
7.C
8.B
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.95
13.1
14.36π
15.(1)由a=(2,−1),b=(3,1)，
可得a−2b=(−4,−3)；
(2)因a⋅b=(2,−1)⋅(3,1)=2×3−1×1=5，
|a|= 5,|b|= 10，
则csθ=a⋅b|a|⋅|b|=5 5× 10= 22；
(3)由a与a−kb互相垂直，
可得a⋅(a−kb)=|a|2−ka⋅b=0，
即5−5k=0，解得k=1．
16.解：(1)由题意可知，该圆锥的底面半径r=3，母线l=5，
所以该圆锥的表面积为S=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π；
(2)在Rt△POB中，PO= PB2−OB2= 52−32=4，
因为O′是PO的中点，
所以PO′=2，
则小圆锥的高ℎ′=2，小圆锥的底面半径r′=32，
故截得的圆台的体积V台=V大−V小=13×π×32×4−13×π×(32)2×2=212π．
17.证明：(1)根据题意，平面ABCD∩平面DCC1D1=DC，而直线EF与直线HG相交于点Q，
则Q∈直线EF，Q∈直线HG，
又由EF⊂平面ABCD，
则Q∈平面ABCD，
同理：Q∈平面DCC1D1，
故Q∈直线DC；
(2)根据题意，A1B1⊂平面ABB1A1，EF∩平面ABB1A1=E，
而E∉直线A1B1，
故EF与A1B1是异面直线．
18.解：(1)根据余弦定理，可得bcsC+ccsB=b⋅a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac=a，
结合bcsC+ccsB=2acsA，可得a=2acsA，
所以csA=12，结合A为三角形的内角，可知A=π3．
(2)由△ABC的面积S=3 34，
可得12bcsinA=3 34，即 34bc=3 34，解得bc=3．
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，即4=b2+c2−2×3×12，可得b2+c2=7，
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=7+6=13，
可得b+c= 13(舍负)，即△ABC的周长a+b+c=2+ 13；
(3)根据A=π3，△ABC是锐角三角形，
可得B∈(0,π2)，C=23π−B∈(0,π2)，解得B∈(π6,π2).
sinB+sinC=sinB+sin(23π−B)=sinB+ 32csB+12sinB=32sinB+ 32csB= 3sin(B+π6)，
由B∈(π6,π2)，可得π3