西宁市海湖中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份西宁市海湖中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数，则复数z的虚部为( )
A.B.C.-2D.2
2．若，，三点共线，则( )
A.-5B.5C.0或-5D.0或5
3．已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是( )
A.B.C.D.
4．梯形ABCD，上底，腰，下底，以下底所在直线为x轴，则由斜二侧画法画出的直观图的面积为( )
A.B.C.D.2
5．已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是( )
A.平行B.相交C.异面D.不确定
6．已知a、b表示直线，、、表示平面，则下列推理正确的是( )
A.，
B.，且
C.，，，
D.，，
7．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为6，则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是( )
A.是单位向量B.C.D.
10．已知正四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则( )
A.正四棱台的高为2B.正四棱台的斜高为
C.正四棱台的表面积为D.正四棱台的体积为
11．已知在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的有( )
A.若为锐角三角形，则
B.若，，，则有两解
C.若，，则外接圆半径为10
D.若，，，则
12．某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，，，则下列说法正确的有( )
A.该圆台的高为
B.该圆台轴截面面积为
C.该圆台的体积为
D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm
三、填空题
13．已知向量，，且，则______.
14．已知i虚数单位，若复数的虚部为-3，则______.
15．如图，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且平面EFGH，平面EFGH，，，当EFGH是菱形时，______.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且外接圆半径为，若，则的面积为______.
四、解答题
17．如图，已知平面、，且，设梯形ABCD中，，且，，求证：AB，CD，l共点.
18．设向量、满足，且.
（1）求与夹角的大小；
（2）求与夹角的大小.
19．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
21．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：.
22．如图，B为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心.
（1）求证：平面平面ACD；
（2）求.
参考答案
1．答案：C
解析：由复数的概念可知，复数的虚部为-2.
故选：C.
2．答案：D
解析：，，若，，三点共线，则，，解得或5.
故选D.
3．答案：D
解析：如图，正三棱锥中，，取BC的中点，连接AN，ON，
则M在AN上，且，又，BN=2，所以，
所以，则，
所以，.
4．答案：A
解析：如图所示,梯形的高为1,面积为.
它的直观图的面积为.故选A.
5．答案：A
解析：由面面平行的性质定理可知选项A正确，故选A.
6．答案：D
解析：
7．答案：C
解析：该圆台的体积为.
8．答案：B
解析：
9．答案：ABD
解析：A.，由得，，是单位向量，该选项正确；
B.，，该选项正确；
C.，，由得，，即，，该选项错误；
D.，由上面得，，，该选项正确.
故选ABD.
10．答案：BCD
解析：
11．答案：AB
解析：对于A，因为为锐角三角形，，所以，
由正弦函数单调性得，A正确；
对于B，因为，AB边上的高为3，若，则有两解，B正确；
对于C，由正弦定理，可知，所以外接圆半径为5，C不正确；
对于D，由正弦定理，得，
所以，D不正确.故选：AB.
12．答案：BCD
解析：如图，作交CD于E，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的体积为，C正确；
将圆台一半侧面展开，如图中ABCD，设P为AD中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm，底面半径为4cm，侧面展开图的圆心角为，连接CP，可得，，，则，所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为10cm，故D正确.故选：BCD.
13．答案：1
解析：根据题意，向量，，则.
因为，所以，解得m=1，故答案为：1.
14．答案：
解析：，
复数的虚部为-3，，解得，
，.
15．答案：
解析：平面EFGH，平面四边形，
，①，，；
平面EFGH，平面四边形，
，②，，；
又四边形EFGH是菱形，，.
16．答案：
解析：，且外接圆半径R为，
由正弦定理，可得，
，由余弦定理，
可得，解得，
.故答案为.
17．答案：证明见解析
解析：证明如图，在梯形ABCD中，，
与CD所在的直线必交于一点，设两直线交于点M，则直线AB，直线CD.
，，，，
又，，直线AB，CD，l共点.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设与的夹角为，，
又，，，即，
又，与的夹角为.
（2）设与的夹角为，，
又，，，
又，与的夹角为.
19．答案：
解析：如图示，由题意知正方体的棱长为0.5m，则有.
.
这个石凳的体积为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）中，，，
又，
.
（2）由（1）知.由正弦定理知：，，
.
21．答案：证明见解析
解析：如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点，
又因为点M是PC的中点，所以，
又因为平面BDM，平面BDM，所以平面BDM，
因为平面平面，平面PAHG，所以.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.
M、N、G分别为、、的重心，则有：，
连结PF、FH、PH有，又平面ACD，平面ACD.
同理：平面ACD，，平面平面ACD.
（2）由（1）可知，，
又，，同理：，，
，其相似比为，.