2024-2025学年青海省西宁市湟中一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年青海省西宁市湟中一中高一（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+i2025，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 1D. 12
2.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. πB. 2πC. 3πD. 4π
3.在△ABC中，AB=2,AC=3,csA=34，则a=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,−2)B. e1=(−1,2)，e2=(5,7)
C. e1=(3,5)，e2=(6,10)D. e1=(2,−3)，e2=(12,−34)
5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，则MD=( )
A. 12a+12bB. −12a−12bC. 12a−12bD. −12a+12b
6.如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=AC=2BC=2，则此四面体的外接球表面积为( )
A. 3π
B. 9π
C. 36π
D. 48π
7.已知向量a=(2,6)，b=(x,4)，若a−b与b的夹角为锐角，则x的取值范围为( )
A. (−2,4)B. (−4,2)C. (−2,43)∪(43,4)D. (−4,43)∪(43,2)
8.一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知AB=6分米，FG=3分米，点P在正方形ABCD
的四条边上运动，当AE⋅AP取得最大值时，AE与AP夹角的余弦值为( )
A. 55B. 2 55C. 5D. 2 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.与向量a=(3,4)共线的单位向量e=( )
A. (45,35)B. (35,45)C. (−45,−35)D. (−35,−45)
10.已知复数z=1−3i1+i(i是虚数单位)，则下列结论正确的是( )
A. 复数z的虚部等于−2iB. zz−= 5
C. z+z−=−2D. 若a是实数，z+a是纯虚数，则a=1
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在△ABC中，A>B，则sinA>sinB
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=(m2+m−6)+mi(其中i为虚数单位)，当z对应的点在第三象限时，则实数m的取值范围为______．
13.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1= 2，则该棱台的表面积为______，体积为______．
14.圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度CD约为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且 3bcsC=csinB．
(1)求角C；
(2)若b= 2，△ABC的面积为2 3，求c．
16.(本小题15分)
已知向量a=(3,2)，b=(x,−1)．
(1)当(a+2b)⊥(2a−b)，且x>0时，求|a+b|；
(2)当c=(−8,−1)，a/​/(b+c)，求向量a与b的夹角α．
17.(本小题15分)
已知平面向量a，b满足|a|= 2，|b|=1，且|a+2b|= 10．
(1)求a在b方向上的投影向量；
(2)若(a+λb)⊥(2a−b)，求实数λ的值．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，AC=2，AB=4.点D在边BC上，且CD=tCB．
(1)t=12，A=2π3，求|AD|；
(2)t=15，AD恰为BC边上的高，求角A；
(3)AD=3，求t的取值范围．
19.(本小题17分)
在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA−sinBsinC=a−ca+b．
(1)求角B的值；
(2)若a：b=tanA：tanB，判断△ABC的形状；
(3)若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC的面积S的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.B
5.D
6.B
7.C
8.B
9.BD
10.CD
11.ABD
12.(−3,0)
13.5+3 7 7 66
14.54m
15.解：(1)由正弦定理及 3bcsC=csinB，得 3sinBcsC=sinCsinB，
因为sinB≠0，所以 3csC=sinC，即tanC= 3，
因为C∈(0,π)，
所以C=π3．
(2)由(1)得，C=π3，
因为S△ABC=12×absinC= 34ab=2 3，所以ab=8，
又b= 2，所以a=4 2，
由余弦定理得，c2=a2+b2−2abcsC=32+2−8=26，
所以c= 26．
16.解：(1)∵(a+2b)⊥(2a−b)⇔(a+2b)⋅(2a−b)=0，
a+2b=(3+2x,0)，2a−b=(6−x,5)，
∴(3+2x)(6−x)+0×5=0，解得x=6或−32(舍去)，
∴a+b=(9,1)，
故|a+b|= 92+1= 82；
(2)∵b+c=(x−8,−2)，a/​/(b+c)，
∴3×(−2)−2(x−8)=0，解得x=5，b=(5,−1)，
∴csα=a⋅b|a||b|=3×5+2×(−1) 32+22⋅ 52+(−1)2=1313 2= 22，
∵α∈[0,π]，
∴α=π4．
17.解：(1)由|a+2b|= 10两边平方得|a|2+4|b|2+4a·b=10，
由|a|= 2，|b|=1，可得2+4+4a·b=10，即有a·b=1，
所以a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|·b|b|=b；
(2)因为(a+λb)⊥(2a−b)，
所以(a+λb)⋅(2a−b)=0，
即为2a2+(2λ−1)a⋅b−λb2=0，
所以4+(2λ−1)−λ=0，
解得λ=−3．
18.解：(1)∵t=12，∴D为BC的中点，∴AD=12(AB+AC)，
∵AC=2，AB=4，A=2π3，
∴AD2=14(AB+2AC2+2AB⋅AC)=14[16+4+2×4×2×(−12)]=3，
∴|AD|= 3．
(2)由t=15，AD恰为BC边上的高，设CD=x，BD=4x，
在Rt△ACD中，AD2=4−x2，
在Rt△ABD中，AD2=16−16x2，
∴4−x2=16−16x2，∴x2=45，∴BC2=25x2=20，
由余弦定理得cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=16+4−202×4×2=0，
∴∠BAC=90°．
(3)由题，CD=tCB，
则AD=AC+CD=AC+tCB=AC+t(AB−AC)=tAB+(1−t)AC，
∵AD=3，且AC=2，AB=4，
∴AD2=t2AB2+(1−t)2AC2+2tAB⋅(1−t)AC，
则9=16t2+4(1−2t+t2)+(16t−16t2)csA，
∴csA=20t2−8t−516t2−16t，
∵−1