2024-2025学年青海省西宁市海湖中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年青海省西宁市海湖中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+2i，则|z−|=( )
A. 13B. 13C. 5D. 5
2.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形O′A′C′B′为等腰梯形，A′C′//O′B′，A′C′=4，O′B′=8，则原四边形AOBC的面积为( )
A. 18 2
B. 20 2
C. 22 2
D. 24 2
3.已知向量a，b满足|a|=1，|a+b|=2，且a⋅b=1，则|b|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4.设|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°，则a在b上的投影向量为( )
A. −56bB. 56bC. −38bD. 38b
5.如图，已知AP=43AB，用OA,OB表示OP，则OP等于( )
A. 13OA−43OB B. 13OA+43OB
C. −13OA+43OBD. −13OA−43OB
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acsB，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
7.半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36πcm2，64πcm2，则这两个平行平面的距离为( )cm．
A. 2B. 14C. 2或14D. 6或8
8.在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为 3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于( )
A. 3 3B. 2 393C. 8 33D. 392
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
10.已知点A(2,5)，B(−1,7)，C(4,−2)，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是( )
A. (−3,14)B. (−1,0)C. (7,−4)D. (1,0)
11.下列叙述正确的是( )
A. 若P∈(α∩β)，且α∩β=l，则P∈l
B. 若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面
C. 三点A，B，C确定一个平面
D. 若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{e1,e2}是平面α内所有向量的一组基，且a=e1+e2，b=3e1−2e2，c=e1+3e2.若c=λa+μb(λ,μ∈R)，则λ+μ= ______．
13.复数1+ 2i是方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q= ______．
14.已知正方体的内切球的体积为4 3π，则该正方体的外接球的表面积______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(2,−1),b=(3,1)．
(1)求向量a−2b的坐标；
(2)设向量a,b的夹角为θ，求csθ的值；
(3)若向量a与a−kb互相垂直，求k的值．
16.(本小题15分)
如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，PB=5，OB=3．
(1)求圆锥的表面积；
(2)经过圆锥的高PO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
17.(本小题15分)
如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q．
(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)求证：EF与A1B1是异面直线．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且bcsC+ccsB=2acsA．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积是3 34,a=2，求△ABC的周长；
(3)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，A、C两岛相距10 7海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛10 3海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市．
(1)求客轮的速度；
(2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？(由小艇换乘客轮的时间忽略不计)
(3)现测得∠BAC=120°，sin∠ACB= 2114，已知速度为v海里/时(v∈(0,30])的小艇每小时的总费用为(12v2+v+50)元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：因为复数z=1+2i，
所以 −=1−2i，
故|z−|= 12+(−2)2= 5．
故选：D．
直接求解z−，进而求解结论．
本题主要考查复数的模长，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：把直观图还原为原平面图形，如图所示：
在直观图中，过点A′作A′M⊥O′B′，过点C′作C′N⊥O′B′，垂足分别为M、N，
则A′M=O′M=2，所以A′O′= 2O′M=2 2，
所以四边形OACB中，OA⊥OB，且OA=2O′A′=4 2，AC=A′C′=4，OB=O′B′=8，所以原四边形AOBC的面积为S直角梯形OACB=12×(4+8)×4 2=24 2．
故选：D．
把直观图还原为原平面图形，根据斜二测画法知原平面图形是直角梯形，结合题意求出原图形的面积即可．
本题考查了斜二测画法规则与应用问题，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：已知向量a，b满足|a|=1，|a+b|=2，且a⋅b=1，
则a2+b2+2a⋅b=4，
即1+|b|2+2=4，
解得|b|2=1，
则|b|=1．
故选：A．
将向量的模的运算转化为数量积运算即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
4.【答案】C
【解析】解：设|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°，
则a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=3×4×cs120°4⋅b4=−38b．
故选：C．
根据投影向量的求法求得正确答案．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵AP=43AB，
∴OP−OA=43OB−OA，
化简整理得OP=−13OA+43OB．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：在▵ABC中利用余弦定理b2=a2+c2−2accsB，则c=acsB=a⋅a2+c2−b22ac，
得b2+c2=a2，则▵ABC为直角三角形，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】解：设两个截面圆的半径分别为r1、r2，球心O到截面的距离分别为d1、d2，球的半径为R．
由πr12=36π，得r1=6cm，d1= R2−r12=8cm，同理求得d2= R2−r22=6cm，
当球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，
即d1−d2=2cm；
当球的球心在两个平行平面之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即d1+d2=14cm．
综上所述，这两个平行平面的距离为2cm或14cm．
故选：C．
由截面圆的面积求得该截面圆的半径，然后根据d= R2−r2求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解，可得答案．
本题主要考查球的截面圆性质、勾股定理等知识，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为 3，
则12bcsinA= 3，
即c=4，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA可得：a2=13，
即a= 13，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得：a+b+csinA+sinB+sinC=asinA= 13 32=2 393，
故选：B．
由三角形面积公式，结合正弦定理及余弦定理求解即可．
本题考查了三角形面积公式，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于选项A：如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故选项A错误；
对于选项B：棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故选项B正确；
对于选项C：由平行六面体的概念和性质可知：
平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故选项C正确；
对于选项D：根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点，
有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故选项D错误．
故选：BC．
根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果．
本题考查几何体的结构特征，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：设D点坐标为(x,y)，
当平行四边形为ABCD时，AB=DC，则(−3,2)=(4−x,−2−y)，解得D(7,−4)；
当平行四边形为ABDC时，AB=CD，则(−3,2)=(x−4,y+2)，解得D(1,0)；
当平行四边形为ADBC时，AD=CB，则(x−2,y−5)=(−5,9)，解得D(−3,14)；
综上点D的坐标可以是(7,−4)，(1,0)，(−3,14)．
故选：ACD．
根据题意分平行四边形为ABCD，ABDC和ADBC三种情况讨论，结合向量相等的坐标表示求解即可．
本题主要考查向量共线，考查计算能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：若P∈(α∩β)，且α∩β=l，则P∈l，所以A选项正确；
若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面，所以B选项正确；
只有不共线的三点才能确定一个平面，所以C选项错误；
若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α，所以D选项正确．
故选：ABD．
由空间线面位置关系，结合公理及推论，逐个验证即可．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
12.【答案】95
【解析】解：因为c=λa+μb=λ(e1+e2)+μ(3e1−2e2)=(λ+3μ)e1+(λ−2μ)e2，
所以结合c=e1+3e2，可得λ+3μ=1λ−2μ=3，解得λ=115μ=−25，即λ+μ=95．
故答案为：95．
根据题意，用基底表示向量c，结合平面向量基本定理进行解答，即可得到本题的答案．
本题主要考查向量的线性运算、平面向量基本定理等知识，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】解：因为复数1+ 2i是方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
所以复数1− 2i也是方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
所以p+q=−(1+ 2i+1− 2i)+(1+ 2i)(1− 2i)=−2+1+2=1．
故答案为：1．
复数的虚数根是以共轭复数的形式成对出现，结合韦达定理即可得解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】36π
【解析】解：因为正方体的内切球的体积为4 3π，
设正方体的棱长为a，
所以正方体内切球的半径为a2，
所以内切球的体积等于43π×(a2)3=4 3π，解得a=2 3，
所以正方体的体对角线等于 3a=6，
所以正方体外接球的半径等于12× 3a=3，
所以该正方体的外接球的表面积为4π×32=36π．
故答案为：36π．
利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体棱长关系可求解．
本题考查正方体的内切球与外接球，属基础题．
15.【答案】(−4,−3)；
22；
1．
【解析】(1)由a=(2,−1),b=(3,1)，
可得a−2b=(−4,−3)；
(2)因a⋅b=(2,−1)⋅(3,1)=2×3−1×1=5，
|a|= 5,|b|= 10，
则csθ=a⋅b|a|⋅|b|=5 5× 10= 22；
(3)由a与a−kb互相垂直，
可得a⋅(a−kb)=|a|2−ka⋅b=0，
即5−5k=0，解得k=1．
(1)利用向量的坐标线性运算计算即得；
(2)利用向量的数量积的定义式和坐标式列出方程求解即得；
(3)利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量的坐标运算，属基础题．
16.【答案】解：(1)由题意可知，该圆锥的底面半径r=3，母线l=5，
所以该圆锥的表面积为S=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π；
(2)在Rt△POB中，PO= PB2−OB2= 52−32=4，
因为O′是PO的中点，
所以PO′=2，
则小圆锥的高ℎ′=2，小圆锥的底面半径r′=32，
故截得的圆台的体积V台=V大−V小=13×π×32×4−13×π×(32)2×2=212π．
【解析】(1)利用圆锥的表面积公式求解即可；
(2)先计算出PO的长，从而得到PO′的长，然后利用圆台的体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，由锥体的体积公式求解即可．
本题考查了圆锥的表面积公式的应用，圆台体积的求解，解题的关键是将圆台体积转化为大圆锥与小圆锥的体积进行求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
17.【答案】证明：(1)根据题意，平面ABCD∩平面DCC1D1=DC，而直线EF与直线HG相交于点Q，
则Q∈直线EF，Q∈直线HG，
又由EF⊂平面ABCD，
则Q∈平面ABCD，
同理：Q∈平面DCC1D1，
故Q∈直线DC；
(2)根据题意，A1B1⊂平面ABB1A1，EF∩平面ABB1A1=E，
而E∉直线A1B1，
故EF与A1B1是异面直线．
【解析】(1)根据题意，通过证明Q在平面ABCD与平面CDD1C1的交线上，来证得Q在直线DC上；
(2)根据题意，由异面直线的判定定理，分析可得结论．
本题考查异面直线的判断，涉及平面的基本定理，属于基础题．
18.【答案】π3；
2+ 13；
(32, 3]．
【解析】解：(1)根据余弦定理，可得bcsC+ccsB=b⋅a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac=a，
结合bcsC+ccsB=2acsA，可得a=2acsA，
所以csA=12，结合A为三角形的内角，可知A=π3．
(2)由△ABC的面积S=3 34，
可得12bcsinA=3 34，即 34bc=3 34，解得bc=3．
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，即4=b2+c2−2×3×12，可得b2+c2=7，
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=7+6=13，
可得b+c= 13(舍负)，即△ABC的周长a+b+c=2+ 13；
(3)根据A=π3，△ABC是锐角三角形，
可得B∈(0,π2)，C=23π−B∈(0,π2)，解得B∈(π6,π2).
sinB+sinC=sinB+sin(23π−B)=sinB+ 32csB+12sinB=32sinB+ 32csB= 3sin(B+π6)，
由B∈(π6,π2)，可得π3