2024-2025学年青海省西宁市湟中一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年青海省西宁市湟中一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+i2025，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 1D. 12
2.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. πB. 2πC. 3πD. 4π
3.在△ABC中，AB=2,AC=3,csA=34，则a=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,−2)B. e1=(−1,2)，e2=(5,7)
C. e1=(3,5)，e2=(6,10)D. e1=(2,−3)，e2=(12,−34)
5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，则MD=( )
A. 12a+12bB. −12a−12bC. 12a−12bD. −12a+12b
6.如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=AC=2BC=2，则此四面体的外接球表面积为( )
A. 3π
B. 9π
C. 36π
D. 48π
7.已知向量a=(2,6)，b=(x,4)，若a−b与b的夹角为锐角，则x的取值范围为( )
A. (−2,4)B. (−4,2)C. (−2,43)∪(43,4)D. (−4,43)∪(43,2)
8.一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知AB=6分米，FG=3分米，点P在正方形ABCD
的四条边上运动，当AE⋅AP取得最大值时，AE与AP夹角的余弦值为( )
A. 55B. 2 55C. 5D. 2 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.与向量a=(3,4)共线的单位向量e=( )
A. (45,35)B. (35,45)C. (−45,−35)D. (−35,−45)
10.已知复数z=1−3i1+i(i是虚数单位)，则下列结论正确的是( )
A. 复数z的虚部等于−2iB. zz−= 5
C. z+z−=−2D. 若a是实数，z+a是纯虚数，则a=1
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在△ABC中，A>B，则sinA>sinB
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=(m2+m−6)+mi(其中i为虚数单位)，当z对应的点在第三象限时，则实数m的取值范围为______．
13.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1= 2，则该棱台的表面积为______，体积为______．
14.圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度CD约为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且 3bcsC=csinB．
(1)求角C；
(2)若b= 2，△ABC的面积为2 3，求c．
16.(本小题15分)
已知向量a=(3,2)，b=(x,−1)．
(1)当(a+2b)⊥(2a−b)，且x>0时，求|a+b|；
(2)当c=(−8,−1)，a/​/(b+c)，求向量a与b的夹角α．
17.(本小题15分)
已知平面向量a，b满足|a|= 2，|b|=1，且|a+2b|= 10．
(1)求a在b方向上的投影向量；
(2)若(a+λb)⊥(2a−b)，求实数λ的值．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，AC=2，AB=4.点D在边BC上，且CD=tCB．
(1)t=12，A=2π3，求|AD|；
(2)t=15，AD恰为BC边上的高，求角A；
(3)AD=3，求t的取值范围．
19.(本小题17分)
在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA−sinBsinC=a−ca+b．
(1)求角B的值；
(2)若a：b=tanA：tanB，判断△ABC的形状；
(3)若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC的面积S的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：z=1+i2025=1+i，
所以|z|= 12+12= 2．
故选：B．
根据周期性可得复数i2025=i，即可求解．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．
根据圆锥的轴截面求出圆锥的母线长和底面圆半径，计算它的侧面积．
【解答】
解：圆锥的轴截面边长为2的等边三角形，如图所示；
则圆锥的母线长为l=2，底面圆半径为r=1，
所以圆锥的侧面积为S侧面积=πrl=π⋅1⋅2=2π．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，AB=2,AC=3,csA=34；
由余弦定理BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA，即BC2=22+32−2×2×3×34=4，解得BC=2，即a=2．
故选：B．
由余弦定理计算即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于A，零向量与任一向量都共线，所以零向量不可以作为向量的基底，故A错误；
对于B，因为−1×7−2×5≠0，所以e1=(−1,2)，e2=(5,7)不共线，可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确；
对于C，因为3×10−5×6=0，所以e1=(3,5)，e2=(6,10)共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故C错误；
对于D，因为2×(−34)−(−3)×12=0，所以e1=(2,−3)，e2=(12,−34)共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故D错误．
故选：B．
由基底的定义可知，不共线的两向量可以作为基底，因此逐一判断各选项的向量是否共线即可．
本题考查基底的概念和向量共线的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，
∴BD=AD−AB=b−a，
∵两条对角线相交于点M，可得M是AC、BD的中点
∴MD=12BD=12(b−a)=12b−12a=−12a+12b，
故选：D．
根据向量加法、减法的运算法则，可得BD=AD−AB，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得MD=12BD，即可得到本题的答案．
本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，向量的线性运算，平行四边形的性质，难度中档．
6.【答案】B
【解析】解：将四面体P−ABC补形成长方体，长、宽、高分别为2，1，2，
外接球直径等于体对角线长，故2R= 22+22+12=3，
所以外接球表面积为S=4πR2=9π．
故选：B．
根据题意将三棱锥P−ABC还原到长方体中，求出长方体的体对角线的长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积．
本题考查了四面体外接球的表面积计算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题可得：a−b=(2−x,2)，且(a−b)⋅b>0，且a−b与b不共线，
则x(2−x)+8>0,4(2−x)−2x≠0,解得−2b⇔A>B，即可判断出正误；
B.在锐角△ABC中，由π2>A>π2−B>0，可得sinA>sin(π2−B)=csB，即可判断出正误；
C.在△ABC中，由acsA=bcsB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，得到2A=2B或2A=π−2B即可判断出正误；
D.在△ABC中，利用余弦定理可得：b2=a2+c2−2accsB，代入已知可得a=c，又B=60°，即可得到△ABC的形状，即可判断出正误．
【解答】
解：对于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>sinB，故A正确；
对于B，在锐角△ABC中，A，B∈(0,π2)，∵A+B>π2，∴π2>A>π2−B>0，∴sinA>sin(π2−B)=csB，因此不等式sinA>csB恒成立，故B正确
对于C，在△ABC中，由acsA=bcsB，利用正弦定理可得：sinAcsA=sinBcsB，
∴sin2A=sin2B，
∵A，B∈(0,π)，
∴2A=2B或2A=π−2B，
∴A=B或A+B=π2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，故C错误．
对于D，由于B=600，b2=ac，由余弦定理可得：b2=ac=a2+c2−ac，可得(a−c)2=0，解得a=c，可得A=C=B=60°，故D正确．
故选：ABD．
12.【答案】(−3,0)
【解析】将诶：由复数z=(m2+m−6)+mi对应的点在第三象限，
可得m2+m−6