2024-2025学年四川省泸州市合江中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省泸州市合江中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设复数z=1+ii，则z的共轭复数为( )
A. 1−iB. 1+iC. 1D. i
2.若向量AB=(1,2)，BC=(−4,2)，则|AC|=( )
A. 2 5B. 5C. 20D. 25
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3,b=3 2,B=45°，则A=( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 30°或150°
4.为了得到函数y=3sin(2x+π6)的图象．只需把函数y=3sinx的图象上所有点的( )
A. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π6
B. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π12
C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π6
D. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π12
5.已知α，β∈(0,π)，且tanα=17，csβ=45，则α+β=( )
A. π4B. 3π4C. π6D. 2π3
6.如图，在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC，O为线段AP上一点，且BO=13BA+λBC，则λ的值为( )
A. 13
B. 79
C. 23
D. 29
7.已知函数f(x)=sin(12x−π6)，则结论正确的是( )
A. f(x)的图像关于点(5π3,0)中心对称B. f(x)的图像关于直线x=−π3对称
C. f(x)在区间(−π,π)内有2个零点D. f(x)在区间[−π2,0]上单调递增
8.如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过70m的时长为( )
A. 10min
B. 12min
C. 14min
D. 16min
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i是虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若复数z1=3+4i，z2=−3+4i，则z1>z2
B. 若复数z=1−3i1+i，则复数z的虚部等于−2i
C. 若复数z=m2−4+(2−m)i(m∈R)为纯虚数，则m=−2
D. i5=i
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若acsA=bcsB，则△ABC是等腰三角形
C. 若sinA=csB，则△ABC是直角三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
11.已知函数f(x)=|sinωx|+ωcs2ωx，则( )
A. 对于任意的ω，f(x)均为偶函数
B. 当ω=1时，f(x)的最小正周期为π
C. 当ω≤1时，f(x)≥0
D. 当ω>1时，f(x)在(2πω,8πω)上有12个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2)，b=(−3,k)，若a/​/b，则实数k= ______．
13.复数z满足|z|=1，则|z−2−i|的最大值为______．
14.已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足：b2−a2−ac=0，则角A的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a与b是平面内的两个向量，|a|= 2，|b|=1，a与b的夹角为π4．
(1)求a−b；
(2)求|a+2b|；
(3)在平面直角坐标系下，若b=(1,0)，求a在b方向上的投影向量的坐标．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=b2+c2−bc．
(1)求A；
(2)若a= 2,b+c=2，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，已知f(x)=−2acs2ωx+2 3asinωxcsωx+a(ω>0)的图象与y轴的交点为(0,−1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x,2)和(x0+π2,−2)．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)已知f(α2)=1,α∈(0,π2)，角β的终边与单位圆交于点A(45,35)，求cs(α−β)的值．
18.(本小题17分)
成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片.成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道AB一侧规划一个三角形区域ABC做绿化，如图，已知∠CAB=π3，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．
(1)若AC=100米，求BC的长；
(2)绿化完成后，某游客在绿道AB的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A到D，再从D到B，然后从B到D，最终返回D点拍照.已知∠ADB=π3，求游客所走路程的最大值．
19.(本小题17分)
定义：非零向量m=(a,b)的“特征三角函数”为f(x)=asinx+bcsx，向量m称为函数f(x)的“特征向量”．
(1)若f(x)=2sin(x+π3)+4cs(x−π6)，求f(x)的“特征向量”a的坐标；
(2)设向量b=(3,−4)的“特征三角函数”为g(x)，若关于x的方程g(x)+k=0在[0,π]上有两个不同的实根，求k的取值范围；
(3)设向量n=(a,a)的“特征三角函数”为φ(x)，若函数ℎ(x)=φ(x)+sin2x的最小值不小于−2，求a的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：z=1+ii=(1+i)⋅(−i)i⋅(−i)=1−i，
则复数z的共轭复数z−=1+i．
故选：B．
根据复数的乘法与除法，结合共轭复数的定义，可得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：向量AB=(1,2)，BC=(−4,2)，AC=(−3,4)
则|AC|= (−3)2+42=5．
故选：B．
利用向量的坐标运算以及向量的模，求解即可．
本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是基本知识的考查．
3.【答案】A
【解析】解：由正弦定理，asinA=bsinB，即3sinA=3 2sin45°，
解得sinA=12,A=30°或A=150°，
因为b>a，所以B>A，所以A=30°．
故选：A．
由正弦定理asinA=bsinB=csinC得到结果A=30°或 A=150°( 舍掉，小边对小角)．
本题主要考查利用正弦定理解三角形，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：y=3sinx在纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍得到函数y=3sin2x的图象
再把所得图象所有的点向左平移π12个单位长度得到y=3sin(2x+π6)的图象
故选：B．
根据图象的伸缩变换的规律：自变量x乘以ω，则图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍；三角函数符号前乘以A，需将图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍．图象的平移变换的规律：左加右减．
本题考查图象变换的规律在自变量x乘以ω，需将函数的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍；在自变量x上加上φ>0，图象左移φ个单位；在自变量x上减去φ>0，图象右移φ个单位．
5.【答案】A
【解析】解：∵α，β∈(0,π)，且tanα=17,csβ=45，
∴α,β∈(0,π2)
∴sinα= 210,csα=7 210,sinβ=35，
∴cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=7 210×45− 210×35= 22，
∵α+β∈(0,π)，∴α+β=π4．
故选：A．
由已知得出α,β∈(0,π2)，sinα= 210,csα=7 210,sinβ=35，再根据两角和的余弦公式求得cs(α+β)= 22，结合α+β∈(0,π)即可求解．
本题考查了同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为2BP=PC，所以BC=3BP，
因为BO=13BA+λBC=13BA+3λBP，
因为A、O、P三点共线，所以13+3λ=1，λ=29．
故选：D．
根据题意得到BC=3BP，代入BO=13BA+λBC，利用A、O、P三点共线可求出λ．
本题主要考查平面向量共线定理，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：对于A，因为f(x)=sin(12x−π6)，
所以f(5π3)=sin(12×5π3−π6)=sinπ3= 32≠0，故A错误；
对于B，因为f(−π3)=sin[12×(−π3)−π6]=−sinπ3=− 32≠±1，故B错误；
对于C，因为x∈(−π,π)，可得12x−π6∈(−2π3,π3)，
所以f(x)=sin(12x−π6)在区间(−π,π)内有1个零点，故C错误；
对于D，因为x∈[−π2,0]，可得12x−π6∈[−5π12,−π6]，
所以f(x)在区间[−π2,0]上单调递增，故D正确．
故选：D．
由已知利用正弦函数的性质即可逐项求解．
本题主要考查了正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设函数y=Asin(ωx+φ)+B，则A=40，B=50，T=36，所以ω=2πT=π18，
x=0时，y=40sinφ+50=10，解得sinφ=−1，所以φ=−π2+2kπ，k∈Z；
所以y=40sin(π18x−π2)+50，令y≥70，得sin(π18x−π2)≥12，
即cs(π18x)≤−12，解得2π3≤π18x≤4π3，
即12≤x≤24，所以点P距离地面超过70m的时长为24−12=12(min)．
故选：B．
9.【答案】CD
【解析】解：虚数无法比大小，故A错误；
z=1−3i1+i=(1−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−2i，则复数z的虚部等于−2，故B错误；
复数z为纯虚数，则m2−4=0且2−m≠0，得m=−2，故C正确；
i5=i4⋅i=(i2)2⋅i=i，故D正确．
故选：CD．
A虚数无法比大小；B利用复数的除法运算得出复数z；C利用纯虚数的定义列方程；D利用i2=−1计算．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，若sinA>sinB，则由正弦定理得a>b，
根据△ABC中大边对大角，可得A>B，故A项正确；
对于B，若△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，
则acsA=a⋅bc=abc，bcsB=b⋅ac=abc，可得acsA=bcsB，
此时△ABC是直角三角形，不一定是等腰三角形，故B项不正确；
对于C，在△ABC中，若A=120°，B=30°，则sinA=csB= 32，
此时△ABC是钝角三角形，故C项不正确；
对于D，若△ABC为锐角三角形，则A、B均为锐角，且A+B>π2．
所以A>π2−B，结合正弦函数在锐角范围是增函数，
可得sinA>sin(π2−B)=csB，故D项正确．
故选：AD．
根据正弦定理，结合三角形中“大边对大角”判断出A项的正误；通过举反例，结合锐角三角函数的定义加以推理，可判断出B、C两项的正误；根据锐角三角形的性质，结合正弦函数的单调性与诱导公式加以计算，即可判断出D项的正误．
本题主要考查正弦定理、三角函数的图象与性质、锐角三角形的性质等知识，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A项：f(x)的定义域为R，f(−x)=|sin(−ωx)|+ωcs(−2ωx)=|sinωx|+ωcs2ωx=f(x)，
即证明f(x)=f(−x)，A选项正确；
B项：f(x)=|sinx|+cs2x，因为函数y=|sinx|，y=cs2x的最小正周期均为π，
所以f(x)的最小正周期为π，B选项正确；
C项：取ω