2024-2025学年四川省泸州市老窖天府中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省泸州市老窖天府中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在(x+2x)4的展开式中，常数项为( )
A. 6B. 8C. 12D. 24
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=( )
A. 25B. 22C. 20D. 15
3.从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是( )
A. 25B. 815C. 35D. 23
4.函数f(x)=2ex⋅csx的图象在x=0处的切线方程为( )
A. x−y+1=0B. x−y+2=0C. 2x−y+2=0D. 2x−y+1=0
5.函数f(x)=(x2−2x)ex的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.已知数列{an}满足a1=12，an+1=an+1n2+n，则an=( )
A. 32−1nB. 2−3n+1C. 1−1n+1D. 32+1n
7.某班有A，B，C，D，E五名同学要排成一排进行拍照，其中B同学不站在两端，C，D两名同学相邻，则不同的排列方式种数为( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
8.如图，已知F1，F2为双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作直线l1，l2交双曲线E于A，B，C，D四点，使得四边形ABCD为平行四边形，且以AD为直径的圆过F1,|DF1|=|AF1|，则
双曲线E的离心率为( )
A. 2 B. 3
C. 52 D. 102
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知10个互不相同的样本数据x1，x2，…，x10的平均值为x，则关于新样本数据x1，x2，…，x10，x−，下列说法正确的是( )
A. 极差不变B. 平均数变大C. 方差变小D. 中位数变小
10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点D(4,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A. 对任意直线l，均有∠AOB=π2 B. 若|AD|=2|BD|，则|AF|+|BF|=11
C. △OAB面积的最小值为16 D. 以AB为直径的圆与C的准线不可能相切
11.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f(x)=0有3个不等实根，它们分别为m，n，2，则( )
A. 实数c为0B. 1m+1n为定值C. f(1)>3D. |m−n|>3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=anan+1,(n∈N∗)，则数列{an}的通项公式an= ______．
13.函数f(x)=x−sinx的零点为______．
14.设函数f(x)=2+ln1−xx，a1=1，an=f(1n)+f(2n)+f(3n)+⋅⋅⋅+f(n−1n)(n∈N∗,n≥2).设数列{an}的前n项和Sn，则Sn+20n的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a3=10，4a32=a2⋅a6．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{n⋅an}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表(单位：小时)：
(Ⅰ)试估计A班的学生人数；
(Ⅱ)从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；
(Ⅲ)从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1= 3，AB⊥AC，D为A1C1的中点．
(1)证明：AB1⊥平面A1BD；
(2)若二面角A−BC−D的余弦值为 24，求点A到平面BCD的距离．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−2x+alnx．
(1)若a=−4，求f(x)的极值；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调增区间；
(3)若a>0，函数f(x)有两个极值点x1，x2，x1mx2恒成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为 22，直线过点P(− 5,0)与双曲线的左、右支分别交于点A、B．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若4PA=PB，求直线AB的斜率；
(3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且S△AOB>2S△APC，求直线AB斜率的取值范围．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：(x+2x)4的展开式的通项为：Tr+1=C4rx4−r⋅(2x)r=C4r⋅2r⋅x4−2r，
令4−2r=0，解得r=2，则常数项为C42⋅22=24．
故选：D．
由二项式展开式通项公式可得答案．
本题主要考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：方法一：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，
a2+a6=a1+d+a1+5d=10，即a1+3d=5，
又a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=45，解得：d=1，a1=2，
所以S5=5a1+5×42×d=5×2+10=20．
故选：C．
方法二：a2+a6=2a4=10，a4a8=45，所以a4=5，a8=9，
从而d=a8−a48−4=1，于是a3=a4−d=5−1=4，
所以S5=5a3=20．
故选：C．
方法一：根据题意直接求出等差数列{an}的公差和首项，再根据前n项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列{an}的公差，再根据前n项和公式的性质即可解出．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．
抽取的2件中至少有1件是次品的对立事件是抽取的2件都是合格品，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2件中至少有1件是次品的概率．
【解答】
解：从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，基本事件总数n=C62=15，
抽取的2件中至少有1件是次品的对立事件是抽取的2件都是合格品，有C42，
∴抽取的2件中至少有1件是次品的概率是：p=1−C42C62=1−615=35．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：由已知得：切点为(0,2)，
又f′(x)=2ex(csx−sinx)，
所以k=f′(0)=2，
所以切线方程为：y=2x+2，即2x−y+2=0．
故选：C．
求出导数，可得切线斜率，利用点斜式写出切线方程．
本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，指数函数的解析式，属于基础题．
利用函数的零点排除选项，结合x的变化趋势，推出y的变化趋势，推出结果即可．
【解答】
解：
函数f(x)=(x2−2x)ex有2个零点：0，2，
故选项A，B错误；
当x→−∞时，y→0，故D错误．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，an+1=an+1n2+n，则an+1−an=1n2+n=1n−1n+1，
则an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+……+(a2−a1)+a1=12+(1−12)+(12−13)+(13−14)……+(1n−1−1n)=32−1n，
故选：A．
根据题意，由an+1=an+1n2+n变形可得an+1−an=1n2+n=1n−1n+1，进而可得an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+……+(a2−a1)+a1=12+(1−12)+(12−13)+(13−14)……+(1n−1−1n)，据此分析可得答案．
本题考查数列的递推公式的应用，涉及数列的求和，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：已知有A，B，C，D，E五名同学要排成一排进行拍照，其中B同学不站在两端，C，D两名同学相邻，
则C，D两名同学相邻，所以有A22种，
又因为B同学不站在两端，所以有A21种，其他同学(CD看作一个整体)进行排列有A33种，
所以不同的排列方式种数为A22A21A33=24．
故选：B．
将C，D捆绑，先排B同学，再将其余同学(CD看作一个整体)全排列．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设|DF1|=|AF1|=x，则|DF2|=x−2a，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：|CF2|=|AF1|=x，
连接CF1，则有|CF1|=|CF2|+2=x+2a，
|DC|=|DF2|+|CF2|=2x−2a，
由于F1在以AD为直径的圆周上，∴DF1⊥AF1，
∵ABCD为平行四边形，AB/​/CD，∴DF1⊥DC，
在直角三角形CDF1中，|CF1|2=|DF1|2+|CD|2，(x+2a)2=x2+(2x−2a)2，
解得：x=3a，|DF1|=3a，|DF2|=a；
在直角三角形F1F2D中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，(3a)2+a2=(2c)2，
得5a2=2c2，e=ca= 102，
故选：D．
利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为极差是数据中最大值与最小值的差值，新样本数据x1，x2，…，x10，x−的最大值和最小值与原样本数据x1，x2，…，x10的最大值和最小值相同，
所以极差不变，故A正确；
因为x1，x2，…，x10的平均值为x，
所以新样本数据x1，x2，…，x10，x−的平均值为x1+x2+…+x10+x−11=10x−+x−11=x−，故B错误；
设x1，x2，…，x10的方差为s2，则新样本数据的方差为111[10s2+(x−−x−)2]=1011s2，
所以方差变小，故C正确；
根据中位数的概念可知，中位数可能变小，也可能变大，故D错误．
故选：AC．
根据极差、平均数、方差、中位数定义理解及求法判断各项的正误．
本题主要考查了极差、平均数、方差和中位数的定义，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由题意可知直线/的斜率不为0，故设其方程为x=my+4，设A(x1,y1)，B(x2,y2)联立x=my+4y2=4x，
得y2−4my−16=0则Δ>0y1+y2=4m①y1y2=−16，则OA⋅OB=x1x2+y1y2=(y1y2)216+y1y2=16−16=0，
则OA⊥OB，故A正确；
因|AD|=2|BD|，则y1=−2y2与①式联立得，m2=12F，则|AF|+|BF|=x1+x2+2=m(y1+y2)+10=4m2+10=12，故B错误；|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= 16m2+64，
则SΔOAB=12×|OD|⋅|y1−y2|=8 m2+4≥8 4=16，
等号成立时m=0，故C正确；
取线段AB的中点E，过点E往准线作垂线，垂足为N，
因x1+x2=m(y1+y2)+8=4m2+8，则E(2m2+4,2m)，
则|EN|=2m2+5|AB|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2⋅ 16m2+64，则|AE|=2 (1+m2)(m2+4)，
则|AE|2−|EN|2=4(1+m2)(m2+4)=(2m2+5)2=−9415，所以Sn+20n的最小值为415．
故答案为：415．
由f(x)+f(1−x)=4，结合倒序相加法，求得数列{an}的通项公式，再确定Sn的通项公式，进一步求出Sn+20n的最小值．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握倒序相加法，对勾函数的性质是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1){an}是各项均为正数的等比数列，设数列{an}的公比为q，且q>0，由a1+a3=10，4a32=a2⋅a6．
即4a32=a2⋅a6=a42
得：q2=4，所以q=2．
由a1+a3=a1+4a1=5a1=10，得到a1=2
所以数列{an}的通项公式为an=2n．
(2)由条件知，Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n……①
又2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1……②
将两式相减：即①−②可得−Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1=2(2n−1)−n×2n+1=(1−n)2n+1−2，
所以Tn=(n−1)2n+1+2．
故得数列{n⋅an}的前n项和Tn=(n−1)2n+1+2．
【解析】(1)根据{an}是各项均为正数的等比数列，设数列{an}的公比为q，且q>0，由a1+a3=10，4a32=a2⋅a6.即可求解q、a1的值，从而可得数列{an}的通项公式；
(2)由数列{n⋅an}是差比数列，利用错位相减法即可求解前n项和Tn．
本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、错位相减法等基础知识，以及运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：由题可得：A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；
(Ⅰ)由题可得：A班的人数估计为：120×66+7+7=36人；
(Ⅱ)抽取的20人中，网时长超过15小时的有：3+2+4=9；
∴从这120名学生中任选1名学生，这名学生一周上网时长超过15小时的概率为：920；
(Ⅲ)从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，共有抽法：∁62×∁71=105种；
这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的抽法有：①均来自A班，有∁32×∁51=15种；
②一个来自A班，一个来自B班，有∁31×∁31×∁21=18种；
故共有：15+18=33种；
∴这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率为：33105=1135．
【解析】先根据已知求得A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；
(Ⅰ)直接根据其所占比例求解即可；
(Ⅱ)求出表中网时长超过15小时的人数所占比例即可求解结论；
(Ⅲ)先求出基本事件的总数，再求出符合条件的个数，相比即可求解．
本题主要考查分层抽样的应用以及用样本估计总体和排列组合知识的应用，是对知识的综合考查．
17.【答案】解：(1)证明：因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B，
因为AA1⊥平面A1B1C1，且A1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，
由AB⊥AC，得A1C1⊥A1B1，
又AA1∩A1B1=A1，AA1⊂平面AA1B1B，A1B1⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥平面AA1B1B，
又AB1⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1，
又A1B∩A1C1=A1，A1B⊂平面A1BD，A1C1⊂平面A1BD，
所以AB1⊥平面A1BD；
(2)由(1)知，AB，AC，AA1两两互相垂直，
则以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC=2a(a>0)，则A(0,0,0)，B( 3,0,0)，C(0,2a,0)，D(0,a, 3)，
所以BC=(− 3,2a,0)，CD=(0,−a, 3)，
设n=(x,y,z)是平面BCD的一个法向量，则n⋅BC=− 3x+2ay=0n⋅CD=−ay+ 3z=0，
令y= 3，则x=2a，z=a，所以n=(2a, 3,a)为平面BCD的一个法向量，
由题知，平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，
因为二面角A−BC−D的余弦值为 24，
则|cs|=|m⋅n||m||n|=|a| 5a2+3= 24，解得a=1，所以n=(2, 3,1)，
因为AB=( 3,0,0)，所以点A到平面BCD的距离为d=|AB⋅n||n|=2 3 4+3+1= 62．
【解析】(1)由线面垂直的判定定理可证A1C1⊥平面AA1B1B，从而证得A1C1⊥AB1，再由线面垂直的判定定理即可证明；
(2)建立空间直角坐标系，设AC=2a(a>0)，求出平面BCD和平面ABC的法向量，由向量的夹角公式建立方程可求出a，再由点到平面的距离公式计算即可．
本题考查线面垂直的证明和点到平面距离的求法，二面角的求法等，属于中档题．
18.【答案】极小值为−4ln2，无极大值；
当00，
又因为y=2x2−2+a的判断别式Δ=4(1−2a)，
①当a≥12时，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当00，
此时f′(x)=2(x−x1)(x−x2)x，
所以当∈(0,1− 1−2a2)∪(1+ 1−2a2,+∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1− 1−2a2)及(1+ 1−2a2,+∞)上单调递增；
(3)由(2)知，当012)，
故ℎ(x)在(12,1)上为增函数，
且ℎ(12)=−32−ln2，
故m≤−32−ln2，
所以实数m的取值范围为(−∞,−32−ln2]．
(1)将a=−4代入，利用导数求解即可；
(2)求导得f′(x)=2x−2+ax=2x2−2x+ax，分a≥12和02SΔAPC，得SΔABC>4SΔAPC，
所以AB>4AP，则PB>5AP，
则y2>5y1>0，
由(y1+y2)2y1y2=y1y2+y2y1+2，
得5n2n2−1>365，
所以n21136，
又因为直线AB交两支两点，
故直线AB的斜率kAB∈(0,1)，
所以直线AB斜率的取值范围是( 116,1)．
(1)利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为 22列方程，求解即可；
(2)由向量共线得交点A，B的坐标的数量关系，结合韦达定理列方程，进而解得直线AB的斜率；
(3)将图形中三角形的面积关系转化为PB>5AP，即可得y2>5y1>0，结合根与系数的关系可解得斜率的取值范围．
本题考查双曲线方程的综合应用，属于难题．A班
12 13 13 18 20 21
B班
11 11.5 12 13 13 17.5 20
C班
11 13.5 15 16 16.5 19 21