2024-2025学年四川省泸州市合江中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省泸州市合江中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设复数z=1+ii，则z的共轭复数为( )
A. 1−iB. 1+iC. 1D. i
2.若向量AB=(1,2)，BC=(−4,2)，则|AC|=( )
A. 2 5B. 5C. 20D. 25
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3,b=3 2,B=45°，则A=( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 30°或150°
4.为了得到函数y=3sin(2x+π6)的图象．只需把函数y=3sinx的图象上所有点的( )
A. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π6
B. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π12
C. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π6
D. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π12
5.已知α，β∈(0,π)，且tanα=17，csβ=45，则α+β=( )
A. π4B. 3π4C. π6D. 2π3
6.如图，在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC，O为线段AP上一点，且BO=13BA+λBC，则λ的值为( )
A. 13
B. 79
C. 23
D. 29
7.已知函数f(x)=sin(12x−π6)，则结论正确的是( )
A. f(x)的图像关于点(5π3,0)中心对称B. f(x)的图像关于直线x=−π3对称
C. f(x)在区间(−π,π)内有2个零点D. f(x)在区间[−π2,0]上单调递增
8.如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过70m的时长为( )
A. 10min
B. 12min
C. 14min
D. 16min
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i是虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若复数z1=3+4i，z2=−3+4i，则z1>z2
B. 若复数z=1−3i1+i，则复数z的虚部等于−2i
C. 若复数z=m2−4+(2−m)i(m∈R)为纯虚数，则m=−2
D. i5=i
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若acsA=bcsB，则△ABC是等腰三角形
C. 若sinA=csB，则△ABC是直角三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
11.已知函数f(x)=|sinωx|+ωcs2ωx，则( )
A. 对于任意的ω，f(x)均为偶函数
B. 当ω=1时，f(x)的最小正周期为π
C. 当ω≤1时，f(x)≥0
D. 当ω>1时，f(x)在(2πω,8πω)上有12个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2)，b=(−3,k)，若a//b，则实数k= ______．
13.复数z满足|z|=1，则|z−2−i|的最大值为______．
14.已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足：b2−a2−ac=0，则角A的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a与b是平面内的两个向量，|a|= 2，|b|=1，a与b的夹角为π4．
(1)求a−b；
(2)求|a+2b|；
(3)在平面直角坐标系下，若b=(1,0)，求a在b方向上的投影向量的坐标．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=b2+c2−bc．
(1)求A；
(2)若a= 2,b+c=2，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，已知f(x)=−2acs2ωx+2 3asinωxcsωx+a(ω>0)的图象与y轴的交点为(0,−1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x,2)和(x0+π2,−2)．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)已知f(α2)=1,α∈(0,π2)，角β的终边与单位圆交于点A(45,35)，求cs(α−β)的值．
18.(本小题17分)
成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片.成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道AB一侧规划一个三角形区域ABC做绿化，如图，已知∠CAB=π3，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．
(1)若AC=100米，求BC的长；
(2)绿化完成后，某游客在绿道AB的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A到D，再从D到B，然后从B到D，最终返回D点拍照.已知∠ADB=π3，求游客所走路程的最大值．
19.(本小题17分)
定义：非零向量m=(a,b)的“特征三角函数”为f(x)=asinx+bcsx，向量m称为函数f(x)的“特征向量”．
(1)若f(x)=2sin(x+π3)+4cs(x−π6)，求f(x)的“特征向量”a的坐标；
(2)设向量b=(3,−4)的“特征三角函数”为g(x)，若关于x的方程g(x)+k=0在[0,π]上有两个不同的实根，求k的取值范围；
(3)设向量n=(a,a)的“特征三角函数”为φ(x)，若函数ℎ(x)=φ(x)+sin2x的最小值不小于−2，求a的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.CD
10.AD
11.ABD
12.−6
13. 5
14.(π6,π4)
15.解：(1)a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉= 2×1×csπ4=1；
(2)因为|a+2b|2=a2+4b2+4a⋅b=2+4+4=10，
所以|a+2b|= 10；
(3)a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|2⋅b=11⋅b=b=(1,0)．
16.(1)因为a2=b2+c2−bc，
则csA=b2+c2−a22bc=12，
则A=π3．
(2)由a2=b2+c2−bc得，a2=(b+c)2−3bc，
因a= 2,b+c=2，则2=4−3bc，即bc=23，
故S△ABC=12bcsinA=12×23× 32= 36．
17.解：(1)f(x)=−2acs2ωx+2 3asinωxcsωx+a
=−a(2cs2ωx−1)+ 3asin2ωx
=−acs2ωx+ 3asin2ωx
=2asin(2ωx−π6)，
因为图象与y轴的交点为(0,−1)，
所以2asin(−π6)=−a=−1，即a=1，
它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x,2)和(x0+π2,−2)，
则T=2×π2=π，即ω=1，f(x)=2sin(2x−π6)；
(2)因为f(α2)=1,α∈(0,π2)，
所以sin(α−π6)=12，即α=π3，
角β的终边与单位圆交于点A(45,35)，即csβ=45，sinβ=35，
则cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=12×45+ 32×35=4+3 310．
18.(1)在△ABC中，AC=100m，AB=200m，∠CAB=π3，
由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AC×ABcsπ3
=1002+2002−200×200×12=30000，
所以BC=100 3米；
(2)因为∠ADB=π3，
在△ABD中，可得∠DAB∈(0,2π3)，
记∠DAB=θ，
由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠DAB=ADsin∠ABD，
即200 32=BDsinθ=ADsin(2π3−θ)，
可得BD=400 33sinθ，AD=400 33sin(2π3−θ)，
所以AD+2BD=400 33[sin(2π3−θ)+2sinθ]
=400 33(52sinθ+ 32csθ)
=400 213sin(θ+φ)，
其中sinφ= 32 7,csφ=52 7，
所以当sin(θ+φ)=1时，AD+2BD的最大值为400 213米．
即游客所走路程的最大值为400 213米．
19.解：(1)根据题意可得：
函数f(x)=2sin(x+π3)+4cs(x−π6)=2(sinxcsπ3+csxsinπ3)+4(csxcsπ6+sinxsinπ6)
=sinx+ 3csx+2 3csx+2sinx=3sinx+3 3csx，
那么函数f(x)的“特征向量”a=(3,3 3)．
(2)根据题意可得函数g(x)=3sinx−4csx=5sin(x−θ)，其中sinθ=45(0