广东省广州市荔湾区2024—2025学年八年级下学期期末考试 数学试卷（解析版）

这是一份广东省广州市荔湾区2024—2025学年八年级下学期期末考试 数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，不是同类二次根式，不可以合并，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，本选项正确，符合题意．
故选：D．
3. 一组数据的方差为，则该组数据的总和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由方差公式可知，数据组的平均数为4．数据个数为5，因此总和为平均数乘以个数，即．
故选：D．
4. 的三条边分别记为，，，三个内角分别记为，，，则由下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
【答案】B
【解析】、：：：：，
设，，，
，，
，
不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、，
，
，
是直角三角形，
故B符合题意；
C、，，
，
，
，
不一定是直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
不是直角三角形，
故不符合题意；
故选：B．
5. 某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 平均数，中位数B. 众数，中位数C. 众数，方差D. 平均数，方差
【答案】B
【解析】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为，
则总人数为：，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：岁，
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；
故选：B．
6. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由勾股定理得，，
分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，
，
的周长为．
故选：A．
7. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四边形是菱形，，，
，，，
，
，
点为的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 时，两架无人机都上升了
B. 时，两架无人机的高度差为
C. 乙无人机上升的速度为
D. 时，甲无人机距离地面的高度是
【答案】B
【解析】由图象可得，
A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误；
C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误；
B．时，两架无人机高度差为：，故正确；
D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误；
故选：B．
9. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点在直线上，当的值最小时，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，作点为点关于的对称点，则，连接交直线于点，此时点就是的值最小时的位置，
设直线的解析式为，代入点得：
，解得，
，
当时，，解得，
，
故选：D
10. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①平分；②；
③；④，其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ③④C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】①在正方形中，，，
点A，，在同一直线上，
，
在正方形中，，，
∴，
∴，
平分，
故结论①正确；
②连接交于点，的延长线交的延长线于点，如图所示：
在正方形中，，，，，
在中，由勾股定理得：,
∴，
在正方形中，
，
∴，
四边形是矩形，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
，
故结论②不正确；
③，，
，
故结论③正确；
④设与交于点，与交于点，如图所示：
∵，
∴,
，
在和中，
，
≌，
∴，
在中，，
在中，.
又∵，
∴，
，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①③④．
故选：C.
二、填空题
11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据题意得：，
∴，
∴实数x的取值范围是．
故答案为：．
12. 某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了位同学，得到如表数据：这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时．
【答案】
【解析】这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是：
（小时），
故答案为：．
13. 若平行四边形中相邻的两个内角的度数比为，则其中较小内角的度数是______．
【答案】
【解析】设相邻两个内角分别为，，
由平行四边形的相邻内角互补，可得，
，
其中较小的内角为．
故答案为：．
14. 如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是______．
【答案】
【解析】一次函数为常数且与正比例函数（为常数且的图象交于点，
关于的方程的解是，
即关于的方程的解是．
故答案为：．
15. 一次函数，当时，函数的取值范围是，那么代数式的值是______．
【答案】2
【解析】一次函数中，
随的增大而减小，
当时，函数的取值范围是，
∴当时，；当时，，
，在一次函数图象上，
①，
②，
，
．
故答案为：．
16. 如图，在边长为的正方形中，的顶点，分别在，边上，且，连接分别交，于点，其中，则______．
【答案】
【解析】过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，如图所示：
，，
在正方形中，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
设，
则，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
．
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：．
解：
．
18. 如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形．
证明：，，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
，
四边形是矩形．
19. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取个苹果并编号为号到号，测得它们的直径（单位：）并制作统计图如图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，______；
（2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐；（填“甲”或“乙”）
（3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果个，那么大果约有多少个？
解：（1）通过观察甲的数据可知出现的次数最多，故众数；
对乙的个数据进行排序为：，，，，，，，，，，出现最多的次数为76，
所以，中位数为，众数．
故答案为：，，．
（2），
,
，，
∵，
∴甲的方差比乙的方差小．
故答案为：甲．
（3）（个）．
答：大果约个．
20. 某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同．
（1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？
解：（1）设型机器人模型的单价是元，
则型机器人模型的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
，
答：型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元；
（2）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，根据题意得：
，
解得：，
，
根据题意得：，
，
随着的增大而增大，
时，最小，，
答：购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元．
21. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，其中．
（1）如图，若，求的长；
（2）如图，若，求的长．
解：（1）∵将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
∴，
，
中，，，
；
（2）由题知中，，，
，
，
设，则，,
中,
，
，
的长是．
22. 已知点，及第一象限的动点，且，设，的面积分别为，．
（1）分别求出，关于的函数解析式，以及相应的取值范围；
（2）请判断是否成立？如果成立，求此时点坐标；如果不成立，请说明理由；
（3）画出的函数图象，并根据图象回答时，的取值范围．
解：（1），
；
（2）成立，理由如下：
当时，，
；
（3）由图可知，时，．
23. 如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为秒．
（1）当四边形是平行四边形时，求的值；
（2）请用含有的代数式表示出线段的长；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
解：（1）四边形为矩形，
，，，
在中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）①当点在边上时，，
，，
；
②当点在边上时，，
点运动的距离为，
；
③当点在边上时，，如图，
则，
．
综上，；
（3）①当时，如图，当点位于边上，
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，
，
（秒）.
②当时，如图，当点位于边上，
此时点与点重合，
，
（秒）；
③当时，则点位于边上，如图，
由（2）知，则．
在中，，
在中，，
在中，
，
，
（秒）.
综上，当为秒或秒或秒时，为直角三角形．
24. 如图，直线分别交轴，轴于点和点，直线分别交轴，轴于点和点，和交于点，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，边所在直线交轴于点，求出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线平移经过点，得直线，将沿直线平移得到，其中边所在直线与轴交于点，点是直线上的一个动点，当以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求出此时点的坐标．
解：（1）令，则，即，
，
，
，
令，则，即，
在直线上，
，
直线：分别过点和点，
；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
轴交于点，
由旋转的性质得：，，
∴，点，
∵，
∴，
∴，
，
，，
∴，
，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
；
（3）直线平移得直线，
设的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴的解析式为，
设，
由平移的性质得：直线与直线平行，
直线的解析式为，
，
设，
当与分别为对角线时，
，
，
，
；
当与分别为对角线时，
，
，
，
；
综上所述：点坐标为或．
25. 如图，平行四边形中，，点是线段的中点，过点作交于点，的延长线交于点，且．
（1）如图，若，求的值；
（2）如图，连接，求证：；
（3）如图，延长交于点，求的值．
（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌．
，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于，交的延长线于过点作交的延长线于，连接，设交于．
，
四边形是矩形，
．
，
，
在和中，
，
≌，
．
，，
平分，
．
，，
，
，
，
在和，
，
≌．
，，
，
，
，
，，
，
．
（3）解：如图，过点作于，于
设，
则，
则由勾股定理可得．
由（2）可知，，
，，
．
．
根据可得：
，
在中，由勾股定理得：
，
．
，
．
在中，由勾股定理得：
．
．年龄（单位：岁）
13
14
15
16
频数（单位：名）
8
12
时长（小时）
人数
统计量供应商
平均数
中位数
众数
甲
乙