贵州省贵阳市普通高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份贵州省贵阳市普通高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了考试过程中不得使用计算器等内容，欢迎下载使用。
2025.7
注意事项：
1. 本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟.
2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分.
3.考试过程中不得使用计算器.
一、选择题（本大题共8小题，每小题 4分，共32分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.）
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
解析：复数的虚部为.
故选：C
2. 已知，则与垂直的单位向量坐标为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
解析：设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，
所以，解得或，故或.
故选：C
3. 新能源汽车凭借环保、节能等优势，受到越来越多消费者的青睐.某品牌为评估旗下新能源汽车在市场中的竞争力，统计了6个不同地区该品牌新能源汽车专卖店在一周内的销售数量（单位: 辆）， 数据如下: 18，22，25，28，30，35.则这组数据的上四分位数（第75百分位数）是（ ）
A. 22B. 28
C. 30D. 35
【答案】C
解析：，所以这组数据的上四分位数为第5个数30.
故选：C.
4. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B互斥B. 事件B与事件C互斥
C. 事件A与事件C对立D. 事件B 与事件C对立
【答案】A
解析：对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；
对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生，
所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误；
对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生，
所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误；
对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生，
所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误；
故选：A.
5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）
A. 若mn，n⊥α，αβ，则m⊥β
B. 若则m⊥α
C. 若m⊥α，mn，nβ，则α⊥β
D. 若，则α⊥β
【答案】D
解析：解：对于A，若，则且，所以A正确；
对于B，若，则且，所以B正确；
对于C，若，则由面面垂直的判定定理可得，所以C正确；
对于D，若，则可能相交或垂直，所以D错误.
故选：D.
6. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：由题意知，，所以．
因为，在中，．
故选：D
7. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：由题意及图得，
作出圆台的截面图如下图所示，过点作于点，
设圆台上底面圆半径为，
则，解得，
∴，
设圆台下底面圆的半径为，
则，解得：，
∴，，
由几何知识得，圆台的母线长为，
在Rt中，由勾股定理得：
，
∴圆台的体积为：，
故选：B.
8. 已知P是边长为2的正六边形内部一点（包含边界），则的最大值为（ ）
A. 2B. 4
C. 6D. 8
【答案】D
解析：由题，作图如下：
设为正六边形的中心，则，故
由正六边形的边长为2，可得，
因为P是正六边形内部一点（包含边界），
显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线，
又因为，所以.
故选：D.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9. 一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B关系用图表示，如图所示，其中 ， ，则下列结论中正确的是（ ）

A. n（AB）=4
B.
C.
D. A与B相互独立
【答案】ACD
解析：对于A，由图知，，故A正确 ；
对于B，因为，，所以，
所以，故B不正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，又，
，，所以A与B相互独立，故D正确.
故选：ACD.
10. 如图，在棱长为1的正方体中，N为线段上的动点（含端点），则下列选项中正确的是（ ）
A. 直线与直线所成角的最大值为
B. 直线与平面平行
C. 当N为线段上中点时，平面平面
D. 的最小值为
【答案】BCD
解析：对于A，，直线与直线所成角即为直线与直线所成角，
显然当与点重合时，直线与直线所成角最大，最大角为，
直线与直线所成角的最大值为，故A错误；
对于B，，平面，平面，
平面，同理可得平面，
又，平面，平面，
平面平面，又平面，
平面，故B正确；
对于C，当N为线段上中点时，，，，
平面，又平面，
平面平面，故C正确；
对于D，把平面沿展开到平面所在平面，如图，
连接交于点此时最小，最小值为，
在中，，，
，
故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.）
11. 已知事件A与事件B互斥，若，则______
【答案】##
解析：因为事件A与事件B互斥，，
所以.
故答案为：0.7
12. 一个边长为3的正方形，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为_______.
【答案】##
解析：如图平面正方形的边长为，

则直观图如下所示：

则直观图为平行四边形：，，
又因为，
所以直观图的面积为.
故答案为：
13. 已知等边的边长为1，，那么_____
【答案】##
解析：由题意，在等边中，边长为1，三个内角都为，，
∴，，，
∴
，
故答案为：
14. 已知一组数据2， 3， m， 8， ，9的平均数为8， 则 ______，这组数据的方差为_______.
【答案】 ①. 12 ②. 19
解析：2， 3， m， 8， m+2，9的平均数为8，所以，解得：，
这组数据2， 3， 12， 8， 14，9,
方差为：，
故答案为：；.
15. 在正三棱锥中，，且P、A、B、C四个顶点均在球O的球面上，则球O被平面PAB所截圆的面积为______.
【答案】
解析：球O被平面所截圆的面积为即为外接圆的面积，
因为，所以由余弦定理可得，
所以，
所以外接圆的半径为，
所以外接圆的面积为.
故答案：.
四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 已知平面向量，.
（1）求向量的坐标；
（2）当实数k为何值时，与共线.
【答案】（1）
（2）
（1）
.
（2）
，，
与共线，，解得：.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求B的大小；
（2）若的面积为求的周长.
【答案】（1）
（2）
（1）
在中，由及正弦定理得，
因为，所以，所以，即，
而，所以，所以，所以.
（2）
由（1）知，，由的面积为，得，解得，
由余弦定理及得，
解得，所以的周长为.
18. 为了让同学们更好的了解垃圾分类，贵阳市某中学高一年级1000名学生进行了垃圾分类知识测试（满分100分）， 将全部测试成绩分组得[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五个组， 已知前三组的频率分别为0.04、0.16、0.2， 后两组的频率之比为3：2.请回答下列问题：
（1）求后两组的频率，并补全如图所示频率分布直方图；
（2）结合频率分布直方图，估计该中学本次垃圾分类知识测试成绩的平均分 （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（3）若垃圾分类知识测试中将成绩[80，90）称为良好， [90，100]称为优秀.按照比例分配的分层随机抽样，现从测试成绩为良好和优秀的两组同学中抽取5人，然后从5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人成绩都为优秀的概率.
【答案】（1）
（2）分
（3）
（1）
解：设后两组频率分别为，则有，
解得：，所以后两组的频率分别为.
（2）
平均分为：（分）
所以该中学本次垃圾分类知识测试成绩的平均分为分.
（3）
因为成绩在[80，90）， [90，100]的两组的频率之比为3：2，所以分层抽样抽取的人数分别为3人，2人，设抽到的良好的学生为，抽到的优秀的学生为，
则从5人中抽取2人的情况为：共10种，
其中两人成绩都优秀的情况为：共1种，
设事件A：抽到的两人成绩都为优秀，
则.
故抽到的两人成绩都为优秀的概率为.
19. 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥中 ，底面，且四边形为直角梯形，，，E为中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（1）
取的中点，连接，
因为E为中点，所以，
又因为，四边形为直角梯形，，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）
过作于，连接，
因底面，又底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
又，又平面，平面平面，
所以平面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
因为，，所以，
因为，所以，解得，
又，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰.）
20. 形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（csθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（csθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题：
（1）将 表示成三角形式 （辐角取主值）；
（2）在复数范围内，求出1的8次方根；
（3）在复数范围内是否存在满足以下条件的集合
（i） ;
（ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）以
（2）
（3）存在这样的集合，
（1）
由，,
则，,
由，则，
所以；
（2）
1 的三角形式：
设是 1 的 8 次方根，则：，
解得：，，
取，得到 8 个不同的根：
所以，
即1 的 8 次方根为：，，
，，
，，
，；
（3）
取，
，
，
则
，
因为，，所以，
所以是的整数倍，故.
所以在复数范围内存在满足以下条件的集合
（i） ;
（ii） 任意m 都有 .