河南省信阳市普通高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省信阳市普通高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，8B，已知复数，，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为
A.1B.C.D.
2.下列命题中正确的是
A.若直线上有无数个点不在平面内，则
B.若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行
C.若直线直线，直线平面，则直线平面
D.若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
3.设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则
A.2B.C.D.0
4.如图，在中，点是的中点，，则
A.B.
C.D.
5.已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题正确的是
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，则D.若，，，则
6.数据，，，，的平均数为，方差，现在增加两个数据2和6，则这组新数据的标准差为
A.0.8B.C.D.6
7.将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为
A.B.C.D.
8.已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.已知复数，，则下列说法正确的是
A.若在复平面对应的点位于第二象限，则
B.若为纯虚数，则
C.的最小值为2
D.存在，使与互为共轭复数
10.如图，在正三棱柱中，，为线段上的动点，则下列结论中正确的是
A.点到平面的距离为
B.平面与底面的交线平行于
C.三棱锥的体积为定值
D.二面角的大小为
11.在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有
A.
B.的取值范围是
C.当时的外接圆半径为
D.若当，变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填写在答题卡上的相应位置.
12.已知正六边形的边长为2，则_____.
13.已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则_____.
14.在四棱锥中，平面平面，，，，，，若二面角为，则四棱锥外接球的表面积为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知向量，，，.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角是钝角，求的取值范围.
16.（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求的取值范围.
17.（本小题满分15分）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步.某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求；
（2）求样本数据的中位数与第35百分位数；
（3）已知直方图中成绩在内的平均数为85，方差为10，内的平均数为95，方差为15，求成绩在内的平均数与方差.
18.（本小题满分17分）在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）已知，，求面积的最大值.
19.（本小题满分17分）如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且.
（1）求证：平面；
（2）已知.
①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积；
②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围.
2024-2025学年下学期高一期末质量监测
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 解析：由题意可得，因为与互为共轭复数，所以，即的虚部为1，故选A.
2.D 解析：对于A，当直线与平面相交于点时，除了点外，直线上的无数个点都不在平面内，所以A错误，对于B，当直线平面时，直线与平面内直线平行或异面，所以B错误，对于C，当直线直线，直线平面，则直线平面，或直线在平面内，所以C错误，对于D，当直线平面时，则直线与平面无公共点，所以直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确，故选D.
3.B 解析：因为与不能作为平面向量的一组基底，
所以，又，，所以，故，
所以，所以.故选B.
4.D 解析：.故选D.
5.D 解析：若，，则或，选项A错误；若，，则与平行，相交或异面，选项B错误；若，，则，或，或，选项C错误；选项D正确.故选D.
6.B 解析：数据，，，，的平均数为，方差，即，，则数据，，，，，2，6的平均数为，方差，标准差为.故选B.
7.A 解析：将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，设圆锥内切球的半径为，由，得.所以，球的体积.故选A.
8.C 解析：因为，为在方向上的投影向量，所以，，，设，则，，则，当且仅当，即时，取等号.故选C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.AC 解析：，若在复平面对应的点位于第二象限，则解得，选项A正确；若为纯虚数，则解得，选项B错误；，当时取等号，选项C正确；若与互为共轭复数，则无解，选项D错误.故选AC.
10.BC 解析：A选项，四边形是正方形，所以，
所以，，
但与不垂直，所以与平面不垂直，
所以到平面的距离不是，A选项错误.
B选项，根据三棱柱的性质可知，平面平面，所以平面，
设平面与平面的交线为，
根据线面平行的性质定理可知，B选项正确.
C选项，由于，平面，平面，
所以平面.所以到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值，C选项正确.
D选项，设是的中点，由于，，所以，，
所以二面角的平面角为，由于，
所以，D选项错误.故选BC.
11.ACD 解析：对于A：，且，即，
由正弦定理得：，即，
或（舍去），，故A正确；
对于B：由正弦定理，则，
为锐角三角形，则即，
，所以，故B不正确；
对于C：且，，所以，
由正弦定理，求得，
即的外接圆半径为；故C正确；
对于D：，
且，，即；
要使得有最大值，即有最大值，
此时，当有最大值时，即时，有最大值为，
此时，，
又，，，
的取值范围为，故D正确.故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 解析：如图，根据正六边形的结构特征，可知，
而与的夹角为，，
则.故答案为.
13. 3 解析：函数中，当，即时，恒有，则点，由幂函数的图象过点，得.故答案为3.
14. 解析：分别取，的中点，，连接，，，
，，因为平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
因为平面，.在中，，，，，所以，，.
因为点，分别为，的中点，所以，.，
平面，所以为二面角的平面角，
，.
因为为直角三角形的外接圆的圆心，所以，三棱锥的外接球的球心在直线上，由于，所以在线段的延长线上，设外接球的半径为，则，.所以三棱锥的外接球的表面积.在四边形中，由于，四点共圆，所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，故四棱锥的外接球的表面积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.解：（1）若，则有，解得或
①当时，，，，所以；
②当时，，，，
所以.
所以是1或；
（2）若与的夹角是钝角，则，且与不共线，
解得且，
即的取值范围为.
16.解：（1）由图象可知，，，得，
当时，，，得，，
因为，所以，
所以，
令，，
得，，
所以函数的单调递增区间是，；
（2），
当时，，
则，
若不等式对任意成立，则，得.
17.解：（1）由，得
（2）前三组频率之和为，所以样本数据的中位数为80.
样本数据的第35百分位数落在第三组，第35百分位数为.
（3）由题意，成绩在，内的人数分别为30，20.
设内数据的平均数为，方差为，内数据的平均数为，方差为，总平均数为，方差为，
依题意，，，，则，
.
所以，成绩在内的平均数为89，方差为36.
18.解：（1），由正弦定理，，
所以，.
（2）由，得，
所以，
由基本不等式，，
所以，，当且仅当，即，时等号成立.
由，，，
所以.
故面积的最大值为.
19.解：（1）连接交于点，连接，
，，由相似三角形的性质，可得，
又，所以，，
平面，平面，
平面.
（2）①取的中点，取的中点，连接，，，
则，，，
因为是边长为6的等边三角形，则，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，.又，
平面，，所以为二面角的平面角.
在中，.
在中，
.
②过作交于，连接，由于平面，
所以平面，
则为与平面所成角，即，.
由，，，得，
，，，
故的取值范围为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
D
D
B
A
C
AC
BC
ACD