贵州省安顺市普通高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份贵州省安顺市普通高中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1200，1500．现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级中抽取的学生人数为（ ）
A．60B．80C．100D．120
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．的值为（ ）
A．B．C．1D．
4．设m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．已知向量，，若⊥，则与的夹角为（ ）
A．45°B．135°C．30°D．60°
6．若，，则关于事件A与B的关系正确的是（ ）
A．事件A与B相互独立但不互斥B．事件A与B互斥但不相互独立
C．事件A与B相互独立且互斥D．事件A与B既不相互独立也不互斥
7．如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（ ）
A．B．
C．D．
8．某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，∴，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（ ）
A．这8名女生的数学成绩的极差为14
B．这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67
C．为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是
D．这20名学生的数学成绩的方差是33
10．下列对函数的判断中，正确的是（ ）
A．的最大值为
B．当，时，的图象可以通过的图象向左平移个单位长度而得到
C．当，时，若，则
D．当，时，若当时，取到最大值，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，G是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当G为棱中点时，直线平面
B．三棱锥外接球的表面积为
C．若H是棱上的动点，则的最小值为
D．若M为棱的中点，平面MEF截正方体所得截面图形的周长为
三、填空题
12．已知纯虚数z满足，则z可以是 ．
13．某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5，则该圆台的体积为 ．
14．某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ．
四、解答题
15．一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”．
(1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间；
(2)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率．
16．中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长的最大值．
17．如图，在直三棱柱中，，，D为棱上的动点．
(1)证明：．
(2)当D为棱的中点时，求二面角的正切值．
18．“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整；
(3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题：
①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为）
②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？
调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比．
19．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
(1)若，，求的模；
(2)若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；
(3)在仿射坐标系下，设，，，若对恒成立，求的范围及的最小值．
1．C
利用分层随机抽样的概念计算求解即得.
【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1200，1500，所以高一、高二、高三年级的学生人数之比为，
所以从高三年级抽取的学生人数为．
故选：C.
2．C
根据复数的除法运算求出,即可得到.
【详解】,
,
故虚部为，
故选：C
3．B
先把代入原式，逆用两角和的正切公式即可求得答案．
【详解】
故选：B.
4．D
ABC可举出反例；D选项，利用平行关系和线面垂直得到D正确.
【详解】A选项，若，，则或相交或异面，A错误；
B选项，若，，则或，B错误；
C选项，若，，则与相交或或，C错误；
D选项，若，，由平行和垂直关系可得，D正确
故选：D
5．A
根据两向量垂直得到方程，求出，进而得到，，利用向量夹角余弦公式进行求解.
【详解】因为⊥，所以，解得，
，，
设与的夹角为，则，
所以.
故选：A
6．A
利用相互独立事件的判断方法即，而互斥事件是不可能同时发生，从而可得到判断.
【详解】因为，所以，则，
又因为，所以，则事件A与B相互独立，
由于，则事件A与B可以同时发生，即它们不是互斥事件，故A只有正确，
故选：A
7．C
在中利用正弦定理求得的值，在中根据即可求解
【详解】由题可知，在中，，，故，
由正弦定理，得，
因为.
所以，
因为在中，.
故选：C.
8．D
根据向量的加法法则及向量的数量积的运算，结合诱导公式即可求解.
【详解】∵，∴，进而得，
即，即
，即．
故选：D.
9．ABD
根据极差定义判断A，根据百分位数定义即得判断B，应用方差性质及分层抽样的方差公式计算判断C，D.
【详解】12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，
则这8名女生的数学成绩的极差为，A选项正确；
8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80，因为，则这8名女生的数学成绩的第25百分位数是，B选项正确；
12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，
现在把这12名男生的成绩换算成150分制，则这12名男生数学成绩换算后的方差是，C选项错误；
因为这20名学生的数学成绩平均数，这20名学生的数学成绩的方差是，D选项正确；
故选：ABD.
10．AD
A选项，利用辅助角公式得到，得到最大值；B选项，由辅助角公式得，应该向右平移，B错误；C选项，在B基础上得到，利用余弦二倍角公式得到C错误；D选项，由辅助角公式得到，其中，，从而利用诱导公式得到.
【详解】A选项，，其中，
故的最大值为，当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，当，时，，
的图象可以通过的图象向右平移个单位长度而得到，B错误；
C选项，由B知，，若，则，
即，所以，C
错误；
D选项，当，时，，
其中，，
若当时，取得最大值，即，，
所以，由于，即，
所以，D正确.
故选：AD
11．ACD
A选项，作出辅助线，得到平面，平面，得到面面平行，进而得到线面平行；B选项，三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径和表面积；C选项，将两平面展开到同一平面内，利用勾股定理求出最小值；D选项，作出平面MEF截正方体所得截面图形，求出周长.
【详解】A选项，取的中点，又G为棱中点，E，F分别是棱，的中点，
故，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为，平面，
所以平面平面，
因为直线平面，所以平面，A正确；
B选项，显然两两垂直，
故三棱锥外接球为以三边为长宽高的长方体的外接球，
设外接球半径为，则，
故外接球表面积为，B错误；
C选项，将正方形和矩形沿着棱展开，如图，
连接与相交于点，的最小值即为的长度，
其中，，
由勾股定理得，C正确；
D选项，取的中点，的中点，的中点，
连接，可证得，六点共面，
平面MEF截正方体所得截面图形即为正六边形，边长为，
故周长为，D正确.
故选：ACD
12．（答也可以）
利用先设纯虚数，代入求模，即可求得参数，从而得解.
【详解】设纯虚数，，，
由于，所以或， 即或，
故答案为：（也可以答）
13．
先利用直角梯形来求台体的高，再利用台体体积公式即可求得圆台体积.
【详解】如图，圆台的轴截面，分别为上、下底面圆的圆心，

由圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5，
可得：，
解直角梯形可得：，
由圆台体积公式得：，
故答案为：.
14．
整理可得，分析可知最大温差为，由题意得，再利用基本不等式运算求解.
【详解】因为，
且的最小正周期为，即正好为一个满周期，
可知的最大值为，最小值为，
所以最大温差为，
由题意得，即
又因为为正实数，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
15．(1)答案见解析；
(2)
（1）直接写出样本空间即可；
（2）先计算出事件A，B，C发生的概率，进而得到事件A，B，C均没有发生的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【详解】（1）；
（2）事件为，包含6个基本事件，
由（1）知，样本空间中共12个基本事件，故，
事件为，包含3个基本事件，故；
事件为，包含4个基本事件，故，
事件A，B，C均没有发生的概率为，
故事件A，B，C中至少有一个发生的概率为.
16．(1)
(2)
（1）先利用共线向量的坐标性质化简得，再结合角A的范围即可求得结果；
（2）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值.
【详解】（1），，．
，
，
，
（2）由（1）得，
由余弦定理得，
所以，
当且仅当时取等号，解得，
所以
所以的周长的最大值为.
17．(1)证明过程见解析
(2)
（1）证明出⊥平面，得到⊥，结合正方形得到⊥，从而得到线面垂直，得到线线垂直；
（2）取的中点，连接，由勾股定理和余弦定理，面积公式得到，，设二面角的大小为，则，进而求出正切值.
【详解】（1）直三棱柱，，故，
即，
又⊥平面，平面，所以⊥，
又，平面，故⊥平面，
因为平面，所以⊥，
又，故四边形为正方形，故⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以；

（2）取的中点，连接，则⊥平面，，
因为平面，所以⊥，⊥，
，故，
，由勾股定理得，，
故，，
在中，由余弦定理得,
故，，
其中，
设二面角的大小为，则，
所以，.
18．(1)，71；
(2)不需要调整，理由见解析；
(3)82%
（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并根据平均数的定义进行求解；
（2）计算出区间内的频率，和0.8比较后得到结论；
（3）约有500人回答了第一个问题，这500人中约有250人回答了“是”，从而求出约有410人在第二个问题中回答了“是”，第二个问题被问到的人数也约为500，从而得到答案.
【详解】（1）由题意得，
解得，
，
估计该市市民打分的平均数为71；
（2）该市“创建文明城市”工作不需要调整，理由如下：
区间内的频率为
，
所以该市“创建文明城市”工作不需要调整；
（3）两个问题被问的概率相等，故约有500人回答了第一个问题，
由于手机尾号是奇数和偶数的概率相等，故这500人中约有250人回答了“是”，
所以约有人在第二个问题中回答了“是”，
第二个问题被问到的人数也约为500，
故估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比为=82%.
19．(1)；
(2)不正确，理由见解析；
(3)，的最小值为.
（1）利用向量的线性运算两边平方可求；
（2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解；
（3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，并求得的范围，即可得到的最小值.
【详解】（1）因为，，
所以两边平方得，
故；
（2）不正确，理由如下，
因为，则，
又，
则，
若，则，则，
所以“”的充要条件是“”，
故“”的充要条件是“”是不正确的.
（3）因为，则，
，
，
，
由，得，
所以，
即对恒成立，
又因为，所以，
解得，
因为，所以满足题意，
所以，
所以，
又因为，所以，
则，
所以
故的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
D
A
A
C
D
ABD
AD
题号
11









答案
ACD