2024-2025学年福建省福州十五中高一（下）期中数学试卷(含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州十五中高一（下）期中数学试卷(含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=z1z2，其中z−1=1−3i,z2=2−i，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 1D. 22
2.设|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°，则a在b上的投影向量为( )
A. −56bB. 56bC. −38bD. 38b
3.已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是半圆.若球的表面积为4π，则圆锥的高为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是( )
A. 4 2π3
B. 4m
C. 6π
D. 8π
5.在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为 3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于( )
A. 3 3B. 2 393C. 8 33D. 392
6.一个体积为4 3π的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为( )
A. 54 3B. 54C. 27 3D. 27
二、多选题：本题共6小题，共36分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则( )
A. 该圆锥的母线长为 2B. 该圆锥的体积为13π
C. 该圆锥的侧面积为πD. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 2π
8.2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.如图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AH=2HB，AG=2GD，则下列等式一定成立的是( )
A. AC=AB+AD
B. AB+BC=AD+DC
C. HG+GD=AD−AH
D. EF=34HG
9.在△ABC中，若csA=45，csC=1213，a=1，则下列正确的是( )
A. sinA=−35B. sinB=5665C. S△ABC=6D. b=5639
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π3，a= 3，则下列结论正确的是( )
A. 若b= 2，则△ABC有一解
B. 若b=2，则△ABC有两解
C. △ABC面积的最大值为3 34
D. 若△ABC是锐角三角形，则b+c的取值范围为(3,2 3]
11.在△ABC中，AB=4，AC=6，A=π3，点D为边BC上一动点，则( )
A. BC=2 7
B. 当AD为角A的角平分线时，AD=12 35
C. 当点D为边BC上点，BD=2DC时，AD=4 133
D. 若点P为△ABC内任一点，PA⋅(PB+PC)的最小值为−194
12.如图所示，线段AB是⊙C的弦，其中AB=8，AC=5，点D为⊙C上任意一点，则以下结论正确的是( )
A. |AD|≤10
B. AB⋅AD的最大值是78
C. 当AB⋅CD=0时，sin∠DAB=2 35
D. AC⋅AB=32
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa+b与−3a+2b垂直，则λ= ______．
14.已知a，b∈R，复数z1=a+i，z2=−b−i，且z1+z2=0，若z=a+bi，则|z− 3i|的最小值______．
15.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为60°、45°、30°，且AB=BC=10 6米，则雕像高为______米.
16.在△ABC中，E为AC上一点，且AC=4AE，P为BE上一点，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，则1m+1n最小值为 ．
四、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， 3bsinA=a(2+csB)．
(1)求B；
(2)若a=3c，点D是AC的中点，且BD= 7，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且bcsC+ccsB=2acsA．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积是3 34,a=2，求△ABC的周长；
(3)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，D是棱AB的中点．
(1)求三棱锥D−A1B1C1的体积；
(2)设E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，求AF+EF的最小值．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.C
5.B
6.A
7.ABD
8.BCD
9.BD
10.ACD
11.ABC
12.AD
13.14
14. 62
15.解：设雕像高为ℎ，设雕像底部为点O，
因为点A、B、C处雕像顶的仰角为60°、45°、30°，
所以根据直角三角形正切函数可得：OA=ℎtan30°= 33ℎ,OB=ℎtan45°=ℎ,OC=ℎtan60°= 3ℎ，
因为AB=BC=10 6，所以由余弦定理得：
cs∠ABO=AB2+OB2−OA22AB⋅OB,cs∠CBO=CB2+OB2−OC22CB⋅OB，
因为cs∠ABO=cs(π−∠CBO)=−cs∠CBO，
所以AB2+OB2−OA22AB⋅OB=−CB2+OB2−OC22CB⋅OB，
即(10 6)2+ℎ2−( 33ℎ)2=−(10 6)2−ℎ2+( 3ℎ)2，
解得：ℎ=30，
16.解：∵AC=4AE，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，
∴AP=mAB+4nAE，
∵P为BE上一点，
由向量共线定理可得：m+4n=1，又m>0，n>0，
∴1m+1n=(m+4n)(1m+1n)
=5+4nm+mn≥5+2 4nm⋅mn=9，当且仅当m=2n=13时取等号，
∴1m+1n的最小值是9．
故答案为：9．
17.(1)因为 3bsinA=a(2+csB)，
所以 3sinAsinB=sinA(2+csB)，
由于A∈(0,π)，可得sinA>0，
所以 3sinB=2+csB，
可得 32sinB−12csB=1，可得sin(B−π6)=1，
由于B∈(0,π)，可得−π6