2024-2025学年新疆昌吉州高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年新疆昌吉州高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x− 3y+1=0的倾斜角为( )
A. 0°B. 30°C. 45°D. 60°
2.在等差数列{an}中an>0，a5=11，a11=5，则a1等于( )
A. −15B. 15C. 25D. −25
3.若椭圆x2a2+y23=1(a> 3)的长半轴长等于其焦距，则a=( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
4.已知空间四边形O−ABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示向量MN为( )
A. 12a+12b+12cB. 12a−12b+12c
C. −12a+12b+12cD. −12a+12b−12c
5.在等比数列{an}中，若a1+a2=4，a3+a4=16，则a7+a8=( )
A. 16B. 64C. 256D. 340
6.圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y−6=0的公共弦长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2 3
7.棱长为1的正四面体P−ABC中，PA与平面ABC所成角的正弦值是( )
A. 12B. 63C. 33D. 22
8.已知F1，F2分别是双曲线E：x24−y212=1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|=( )
A. 4B. 2C. 3D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0，a2+a30=16.则以下结论正确的( )
A. 2a15+a18=24
B. 若S8=S9，则d=87
C. 若d=−2，则Sn的最大值为S21
D. 若a15，a16，a18成等比数列，则d=4
10.已知圆C：x2−4x+y2=0直线l：(m+1)x+2y−3−m=0，(m∈R)，则( )
A. 直线l恒过定点(1,1)
B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C. 当m=−3时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D. 圆C与圆x2+y2−2x+8y+1=0只有一条公切线
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C(包括端点)上运动，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是(π3,π2)
B. 平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是[ 22,1]
C. 三棱锥A1−PC1D的体积为定值
D. 当P为B1C的中点时，P到BD1的距离为 66
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列{an}中，an+an+1=2n，则数列{an}前10项和S10的值为______．
13.已知直线l1的一个方向向量为(4,a)，直线l2的一个方向向量为(1−a,2)，若l1⊥l2，则a的值为______．
14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，F为抛物线C的焦点，过点D(−p2,0)作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=6，|BF|=3，则抛物线C的准线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l：3x+y−6=0和圆心为C的圆x2+y2−2y−4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长．
16.(本小题15分)
已知A，B两点的坐标分别是(−2,0)，(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差为−4，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知直线l：y=3x+2与曲线E有两个不同的交点D，E，求OD⋅OE．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，侧面ACC1A1为正方形，AC=BC=2，D，E分别为AB，AC1的中点．
(1)求证：DE//平面BB1C1C；
(2)求点B到平面B1DE的距离．
18.(本小题17分)
已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn，满足a2+a4=10，S7=49．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{1Sn+1−1}的前n项和Tn；
(3)是否存在正整数m，n(n>m>2)使得1a2,1am,1an成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
定义：若椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两个点A(m1,n1)，B(m2,n2)满足m1m2a2+n1n2b2=1，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，即点(m1,n1)关于M的一个共轭点为(m2,n2)，已知椭圆C的离心率为 22，且椭圆C过点A(2,1)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)求点A关于M的所有共轭点的坐标；
(3)设点P，Q在M上，且PQ//OA，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】
解：设直线的倾斜角为α，
直线x− 3y+1=0的斜率为 33，
则tanα= 33，
∵α∈[0°,180°)，∴α=30°．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：设公差为d，
由题可得：a5=a1+4d=11a11=a1+10d=5，
解得a1=15，d=−1．
故选：B．
利用等差数列的通项公式求出a1，d即可．
本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为椭圆x2a2+y23=1(a> 3)的长半轴长等于其焦距，
所以a=2 a2−3，
又a> 3，
则a=2．
故选：A．
依题意可得a=2 a2−3，解得即可．
本题考查了椭圆的性质，属基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查向量的运算法则，属于基础题．
如图所示，连接ON，AN，利用向量的中点公式可得ON=12(OB+OC)，AN=12(AC+AB)，即可得出．
【解答】
解：如图所示，连接ON，AN，
则ON=12(OB+OC)=12(b+c)，
AN=12(AC+AB)
=12(OC−2OA+OB)
=12(−2a+b+c)
=−a+12b+12c，
所以MN=12(ON+AN)
=−12a+12b+12c．
故选C．
5.【答案】C
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
则a3+a4=q2(a1+a2)，
由题意得16=4q2，解得q2=4，
所以a7+a8=q4(a3+a4)=16×16=256．
故选：C．
由等比数列的性质计算即可．
本题考查等比数列的通项公式及其性质，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，设两个圆的交点为A、B，
圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径r=2，
x2+y2=4x2+y2+2y−6=0，可得y=1，
则AB所在直线的方程为y=1，
(0,0)到直线AB的距离d=1，
则|AB|=2× r2−d2=2 3，
故选：D．
根据题意，设两个圆的交点为A、B，联立两个圆的方程可得相交弦AB所在直线的方程，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查圆与圆位置关系的应用，涉及弦长的计算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：如图，过P作PO⊥平面ABC于点O，连接AO，
则∠PAO即为PA与平面ABC所成角，
因为正四面体P−ABC棱长为1，
则O为△ABC的外心，则AO=23ABcs30°= 33，
PO= PA2−AO2= 12−( 33)2= 63，
则sin∠PAO=POPA= 63，
所以PA与平面ABC所成角的正弦值为 63．
故选：B．
作出线面角，由正四面体的性质，即可求出其正弦值．
本题考查线面角的计算，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：F1，F2分别是双曲线E：x24−y212=1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，
则双曲线x24−y212=1的实半轴长为a=2，
延长F2N交直线MF1于点H，
由题意有|MH|=|MF2|，|NH|=|NF2|，
又O是F1F2中点，
所以|ON|=12|F1H|=12(|MH|−|MF1|)=12(|MF2|−|MF1|)=a=2．
故选：B．
根据双曲线的定义及中垂线的性质求解
本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由等差数列的性质可得a2+a30=16=2a16⇒a16=8，又Sn为数列{an}的前n项和，
对于A，2a15+a18=a15+(a15+a18)=a15+a16+a17=3a16=24，故A正确；
对于B，若S8=S9，则S9−S8=a9=0，
所以a9+7d=a16⇒d=87，故B正确；
对于C，若d=−20)C的离心率为 22，且椭圆C过点A(2,1)，
则ca= 224a2+1b2=1a2=b2+c2，
解得a2=6，b2=c2=3，
所以椭圆M的方程为x26+y23=1．
(2)设点A关于M的共轭点的坐标为(x0,y0)，
由题意有x026+y023=12x06+y03=1，
得x02−4x0+4=0，解得x0=2，
即点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为(2,1)，即为A本身．
(3)因为PQ//OA，所以kPQ=kOA=12，
所以设直线PQ方程为：y=12x+m，
则x26+y23=1y=12x+m，
得3x2+4mx+4m2−12=0．
由Δ=16m2−12(4m2−12)>0，解得m2