2025-2026学年新疆昌吉州高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年新疆昌吉州高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过A( 3,2)，B(2 3,1)两点的直线的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.已知实数−1，x，y，z，−4成等比数列，则y=( )
A. −8B. ±8C. −2D. ±2
3.已知双曲线C：y29−x216=1的上、下焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若|PF2|=7，则|PF1|=( )
A. 1B. 13C. 1或13D. 15
4.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x−3)2+y2=4，若圆C完全覆盖圆C1，C2，则圆C的半径的最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.如图，在四面体A−BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令AB=a，AC=b，AD=c，则AG=( )
A. 13a+16b+16c
B. 16a+13b+12c
C. 13a−16b+16c
D. 16a−13b+12c
6.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若PF=3FQ，则点P到准线l的距离为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC,BB1=2 2,AB=BC=2,M,N分别是B1C1，A1B1的中点，则BM与直线CN所成角的正弦值为( )
A. 2 1313
B. 3 1313
C. 55
D. 2 515
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与双曲线的右支交于M，N两点(M在第一象限)，∠F1MF2=90°，且|F2N|=3|F2M|，则双曲线的离心率为( )
A. 5B. 52C. 10D. 102
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知{an}是递增的等比数列，其前n项和为Sn，若a2=32,S3=194，( )
A. a1=1B. a5−a3=3516
C. S4=658D. {Sm+2}是等比数列
10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点P(x0,y0)在C上，则( )
A. F的坐标为(1,0)B. 抛物线C的准线方程为x=−2
C. 若y0=2，则|PF|=52D. |PF|≥2 2
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱CC1，棱BC的中点，动点M满足DM=λDA+μDD1，其中λ，μ∈R，则下列结论正确的是( )
A. 若λ+μ=1，则CM⊥DB1
B. 若λ=μ，则三棱锥B1−AMC的体积为定值
C. 若μ=12,0≤λ≤1，则直线PM与直线BC所成角的最小值为60°
D. 若动点M在三棱锥C−DPQ外接球的表面上，则点M的轨迹长度为2 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若等差数列{an}中，a2=2，a4=8，则S5= ．
13.若动直线l1：mx−y−m+3=0，圆C：(x−2)2+(y−4)2=3，则直线l1与圆C相交的最短弦长为 ．
14.如图，椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆(圆心记为C)面积为π，A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则△ABF2的面积S= ，|y1−y2|的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C过点A(− 15,1)和B(2 3,4)，且圆心C在y轴上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l过点P(2,0)，且被圆C截得的弦长为4 3，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=4，点P为DD1的中点．
(1)求证：AC⊥平面BDD1；
(2)求点D到平面PAC的距离．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M(1,y0)到焦点的距离为3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线y=2x−4与抛物线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC/​/AD，AB⊥AD，AB=BC=1．
(1)取线段PA中点M，连接BM，证明：BM/​/平面PCD；
(2)求直线AB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为 105？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知右焦点为F(2,0)的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点( 2, 3)．
(1)求C的方程；
(2)若点M在C上，点N为圆E：x2+(y−4)2=3上一点，求|MN|的最大值；
(3)过点F的直线l与C交于点A，B，与抛物线y2=8x交于点P，Q，是否存在常数m，使得1|AB|+m|PQ|为定值？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题可得kAB=2−1 3−2 3=− 33，
设直线倾斜角为α，则tanα=− 33，可得α=150°．
故选：D．
根据斜率的概念，求出两点之间的斜率，根据正切函数，求出倾斜角大小即可．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设等比数列的公比为q，
实数−1，x，y，z，−4成等比数列，
则y=−1×q20,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，
过F2作直线l与双曲线的右支交于M，N两点(M在第一象限)，
∠F1MF2=90°，且|F2N|=3|F2M|，
设|F2M|=t，由|F2N|=3|F2M|可得|F2N|=3t，
由双曲线定义可得|MF1|=|MF2|+2a=t+2a，|NF1|=|NF2|+2a=3t+2a，
因为∠F1MF2=90°，
所以|NF1|2=|MF1|2+|MN|2，
即(3t+2a)2=(t+2a)2+(4t)2，整理得8t2−8at=0，
因为a>0，所以t=a，
又|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，
即(3a)2+a2=(2c)2，即10a2=4c2，
所以c2a2=104=52，
则双曲线C的离心率e=ca= 102．
故选：D．
由双曲线定义结合∠F1MF2=90°及|F2N|=3|F2M|求得|MF1|=3a，|MF2|=a，再由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2整理可求．
本题考查了双曲线离心率的求解，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：设{an}的公比为q(q≠1)，则由a2>0，{an}递增，得q>1，
因为S3=a2(1+q+1q)，所以32(1+q+1q)=194，解得q=32，
对于A，a1=a2q=1，故A正确；
对于B，an=a1qn−1=(32)n−1，a5−a3=8116−94=4516.故B错误；
对于C，Sn=a1(1−qn)1−q=1−(32)n1−32=2×(32)n−2，S4=2×8116−2=658，故C正确；
对于D，Sm+2=2×(32)m，S1+2=2×(32)1=3，所以{Sm+2}是首项为3，公比为32的等比数列，故D正确．
故选：ACD．
设{an}的公比为q(q≠1)，则由a2>0，{an}递增，得q>1，结合题中条件解得公比和首项，再根据通项公式和前n项和公式，等比数列定义判断各个选项；
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：根据抛物线C：y2=8x，那么F(2,0)，准线方程为x=−2，因此选项A错误，选项B正确；
对于选项C，因为点P(x0,y0)在C上，那么y02=8x0，
而y0=2，那么4=8x0，即x0=12，因此|PF|=x0+2=52，因此选项C正确；
对于选项D，|PF|=x0+2≥2，当且仅当x0=0，即P(x0,y0)在原点时，等号成立，因此选项D错误．
故选：BC．
根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程即可判断AB，然后再由抛物线的焦半径公式求解判断CD．
本题考查抛物线的综合应用，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：因为棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，
P，Q分别是棱CC1，棱BC的中点，动点M满足DM=λDA+μDD1，λ，μ∈R，
所以逐一分析各个选项如下：
对于A：由DM=λDA+μDD1可知，点M在平面ADD1A1内，
若λ+μ=1，则M在AD1上．
在正方体中，DB1⊥平面ACD1，因为CM⊂平面ACD1，
所以CM⊥DB1，A正确；
对于B：若λ=μ，则M在直线DA1上，
三棱锥B1−AMC的体积即三棱锥A−B1CM的体积，
VA−B1CM=13S△B1CM⋅h中h为A到平面B1CM的距离，
由于M在DA1上，且DA1//B1C，△B1CM的面积为定值，h为定值，
故体积为定值，B正确；
对于C：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
若μ=12，0≤λ≤1，则M的坐标为(2λ,0,1)，P(0,2,1)，
PM=(2λ,−2,0),BC=(−2,0,0)，设直线PM与直线BC所成角为θ，
则csθ=|PM⋅BC||PM||BC|=4λ2 λ2+1×2=λ λ2+1，
当λ=1时，csθ=1 2= 22，所以θ=45°，故最小角不是60°，C错误；
对于D：三棱锥C−DPQ的顶点C(0,2,0)，D(0,0,0)，P(0,2,1)，Q(1,2,0)，
其外接球的球心(12,1,12)，半径R= 62，M在平面ADD1A1内且在球面上，
轨迹为平面与球的交圆，
因为球心到平面ADD1A1的距离为1，交圆的半径r= R2−12= 64−1= 22，
轨迹长度为2πr=2π× 22= 2π，D错误．
故选：AB．
对A，由DB1⊥平面ACD1判断；对B，三棱锥B1−AMC的体积即三棱锥A−B1CM的体积，进而根据面积和高为定值可判断；对C，由向量法计算λ=1时的夹角判断；对D，M轨迹为平面ADD1A1与外接球面的交圆．
本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，属中档题．
12.【答案】25
【解析】解：等差数列{an}中，a2=2，a4=8，
设等差数列{an}的公差为d，
则a1+d=2a1+3d=8，解得a1=−1d=3，
∴an=a1+(n−1)d=3n−4，
∴S5=5(a1+a5)2=5(−1+11)2=25．
故答案为：25．
利用基本量代换求出首项和公差，套公式求出S5．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，直线过定点问题，点与圆的位置关系的判定，属于基础题．
首先求出直线恒过定点A(1,3)，判断点A(1,3)在圆内，当直线l1⊥AC时直线l1与圆C相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得．
【解答】
解：将直线l1：mx−y−m+3=0整理可得：m(x−1)+(3−y)=0，
令x−1=03−y=0，解得x=1y=3，
即动直线l1：mx−y−m+3=0恒过点A(1,3)，
又圆C：(x−2)2+(y−4)2=3的圆心为C(2,4)，半径r= 3，
因为|AC|= (2−1)2+(4−3)2= 20，y1+y2=−4tt2+2，y1y2=−4t2+2，
所以|AB|= 1+t2 (y1+y2)2−4y1y2= 1+t2 16t2(t2+2)2+16t2+2=4 2(t2+1)t2+2，
联立直线l与抛物线y2=8x的方程，得x=ty+2,y2=8x,
消去x并整理，得y2−8ty−16=0，
所以Δ=64t2+64>0，y3+y4=8，y3y4=−16，
所以|PQ|= 1+t2 (y3+y4)2−4y3y4= 1+t2 64t2+64=8(t2+1)，
所以1|AB|+m|PQ|=t2+24 2(t2+1)+m8(t2+1)= 2(t2+2)+m8(t2+1)= 2(t2+2+m 2)8(t2+1)，
若1|AB|+m|PQ|为定值，则2+m 2=1，即m=− 2，
所以存在m=− 2，使得1|AB|+m|PQ|为定值．
(1)由a2−b2=42a2+3b2=1求解即可；
(2)利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可；
(3)由题意得直线l的斜率不为0，故设l的方程为x=ty+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．