2024-2025学年新疆克州高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年新疆克州高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x−y+4=0的倾斜角量( )
A. 60°B. 120°C. 150°D. 30°
2.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12cD. 23a+23b−12c
3.曲线方程x2+y2+Ex−y+4=0表示一个圆的充要条件为( )
A. E>15B. E≥15C. E2>15D. E2≥15
4.已知数列{an}的通项公式为an=2n2+n，那么110是它的( )
A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项
5.在等比数列{an}中，a1+a2=6，a3=3，则公比q的值为( )
A. −12B. −1C. −12或1D. −12或−1
6.下列说法中正确的是( )
A. 已知F1(−4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B. 已知F1(−4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到点F1(−4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点F1(−4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
7.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(− 5,0)和( 5,0)，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A. x22−y23=1B. x23−y22=1C. x24−y2=1D. x2−y24=1
8.如图，二面角α−l−β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=4，AC=6，BD=8，CD=2 17，则平面α与平面β的夹角大小是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. b+c，b，b−cB. a，a+b，a−b
C. a+b，a−b，cD. a+b，a+b+c，c
10.已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 2倍，则下列结论能成立的有( )
A. 点M的轨迹是以(−6,0)为圆心，半径是4 2的一个圆
B. 点M的轨迹是以(6,0)为圆心，半径是4 2的一个圆
C. 点M的轨迹与圆O相交
D. 点M的轨迹与圆O相切
11.已知等比数列{an}的公比q=−23，等差数列{bn}的首项b1=12，若a9>b9且a10>b10，则以下结论正确的有( )
A. a9⋅a10a10C. b10>0D. b9>b10
二、填空题：本大题共3小题，共18分。
12.已知各项不为0的等差数列{an}满足2a3−a72+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b6b8= ______．
13.已知平面α的一个法向量为n=(2,3,5)，点A(−1,−3,0)是平面α上的一点，则点P(−3,−4,1)到平面α的距离为______．
14.记双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α=3π4时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
16.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP//平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
17.已知轨迹E上任一点G(x,y)与定点F( 2,0)的距离和G到定直线l：x=3 2的距离的比为 33．
(1)求轨迹E的方程，并说明轨迹表示什么图形？
(2)设点A(0,−1)，B(0,2)，过点A且斜率为k1的动直线l与轨迹E交于M，N两点，直线BM，BN的斜率分别为k2，k3，求证：k2⋅k3为定值．
18.已知等差数列{an}满足a1+a3=8，a4−a2=4．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(Ⅱ)记数列{1Sn}的前n项和为Tn，若Tn>99100，求n的最小值．
19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.A
5.C
6.AC
7.C
8.C
9.ABD
10.ABC
11.AD
12.16
13. 3819
14.2(e∈(1, 5]内的任意一个值都满足题意)
15.解：(1)圆x2+y2=8的圆心O(0,0)，半径r=2 2，
因为α=3π4，所以直线AB的斜率kAB=tan3π4=−1，
所以AB：y−2=(−1)×[x−(−1)]，即AB：x+y−1=0，
所以圆心O到AB的距离d=|0+0−1| 12+12= 22，
所以|AB|=2 r2−d2=2 8−12= 30；
(2)因为弦AB被P平分，所以OP⊥AB，P(−1,2)，
又因为kOP=−2，所以kAB=−1kOP=12，
所以弦AB所在的直线方程为：y−2=12[x−(x−1)]，
即x−2y+5=0．
16.(1)证明：连接A1D，B1C，
∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=1，
∴A1D⊥AD1，
∵长方体中，A1B1⊥平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，
∴AD1⊥A1B1，
∵A1D∩A1B1=A1，A1D⊂平面A1B1CD，A1B1⊂平面A1B1CD，
∴AD1⊥平面A1B1CD，
又∵B1E⊂平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1；
(2)解：存在AA1的中点P，使得DP/​/平面B1AE．
证明如下：
取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，DP，QE，
则PQ//A1B1，且PQ=12A1B1，
∵DE//A1B1，且DE=12A1B1，
∴PQ//DE，且PQ=DE，
∴四边形PQED为平行四边形，
∴PD//QE．
又PD⊄平面AB1E，QE⊂平面AB1E，
∴PD//平面AB1E，
此时AP=12AA1=12．
17.x26+y24=1，轨迹E是长轴长，短轴长分别为2 6,4的椭圆； 证明见解析．
18.解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d.依题意有
a1+a3=8a4−a2=4，即2a1+2d=82d=4解得a1=2d=2，
所以an=2n，Sn=n2+n．
(Ⅱ)因为1Sn=1n2+n=1n−1n+1，
所以Tn=1−12+12−13+13−14+…+1n−1n+1=1−1n+1．
因为Tn>99100，即1−1n+1>99100，
所以n>99，
所以n的最小值为：100．
19.解：(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p2−(−p2)=p=2，
∴y2=4x．
(2)由(1)知，抛物线C：y2=4x，F(1,0)，
设点Q的坐标为(m,n)，
则QF=(1−m,−n)，
PQ=9QF=(9−9m,−9n)
∴P点坐标为(10m−9,10n)，
将点P代入C得100n2=40m−36，
整理得m=100n2+3640=25n2+910，
∴直线OQ斜率k=nm=10n25n2+9，
当n=0时，k=nm=10n25n2+9=0，
当n>0时，k=nm=10n25n2+9=1025n+9n⩽13，即0