甘肃省定西市八校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

这是一份甘肃省定西市八校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线经过点，，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】因为直线经过，，所以直线为轴，
所以直线的倾斜角为0．
故选：C.
2. 从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（ ）
A. 3种B. 4种C. 7种D. 12种
【答案】D
【解析】由分步乘法计数原理，可知从甲地到丙地不同的走法有种．
故选：D.
3. 已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（ ）
A. 8项B. 9项C. 10项D. 11项
【答案】B
【解析】根据规律可得该数列的通项公式为，
由得，．
∵，∴该数列中小于1的项有9项．
故选：B.
4. 若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题,因为,所以,
所以渐近线方程为,
故选:B.
5. 将2个相同的红球和2个相同的黑球放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（ ）
A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种
【答案】C
【解析】满足条件的放法可分为两类，
第一类，每个盒子放；两个球，满足条件的放法有3种；
第二类，一个盒子放一个球，另一个盒子放个球，满足条件的放法有种，
由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的放法共有种．
故选：C.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】C
【解析】因为为线段的垂直平分线，
根据对称性，，，所以的周长等于的周长，
利用椭圆的定义得到的周长为．
故选：C.
7. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，
由点可得，解得，所以.
当时，，所以水面宽度为.
故选：C.
8. 如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A. 60种B. 80种C. 100种D. 125种
【答案】A
【解析】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色．
先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择．
故不同的涂色方案有种．
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A.
B.
C.
D. 展开式中所有项二项式系数的和为16
【答案】ABD
【解析】对A：令，可得，故，A正确；
对B：，所以，B正确；
对C：令，可得，则，C错误；
对D：展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确．
故选：ABD.
10. 已知等比数列的前项积为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的公比为
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，所以，A正确．
设公比为，因为，，所以，B正确．
，D正确．
，C错误．
故选：ABD.
11. 已知圆，直线，下列结论正确的是（ ）
A. 若直线与圆相切，则
B. 若，则圆上到直线的距离为的点恰有2个
C. 若圆上存在点，直线上存在点，使得，则的取值范围为
D. 已知，，为圆上异于的一点，若，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】圆的圆心的坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，
因为直线与圆相切，所以，解得，A错误．
当时，圆心到直线的距离，，
故圆上到直线的距离为的点恰有个，B正确．
当直线与圆相交或相切时，满足圆上存在点，直线上存在点，使得．
当直线与圆相离时，与圆相切时，最大，
要满足题意，只需，即，，
解得，C正确．
根据圆的对称性，不妨令在轴右侧，
设的中点为且，．
要使最大，只需保证在轴上方，即，如下图，
．
当时，与轴垂直时，取最大值，为，
D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线的准线方程为______．
【答案】
【解析】抛物线的准线方程为．
13. 的展开式中，各项系数的最大值是______．
【答案】7
【解析】展开式的通项为且．
设展开式中第项的系数最大，则即，
又，所以或6，故展开式中系数最大的项是第6项或第7项，
且该项系数为．
14. 已知是各项都为正整数的递减数列，若，则的最大值为______；当取最大值时，的最小值为______．
【答案】
【解析】当时，，与条件矛盾，
所以，
数列满足要求，所以的最大值为，
当时，由已知，
当，则数列只能为，
但，与条件矛盾，
当时，存在数列满足条件，
所以当取最大值时，的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
解：（1）先排丙、丁、戊，有种站法．
再插空排甲、乙．有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有种．
（2）满足条件的站法可分为两类，
第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法．
第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法．
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种．
16. 已知等差数列的公差为，是等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）设的公比为．
因为，所以，故．
又，所以．
（2）记和的前项和分别为，，则．
又，，
所以．
17. 已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为．
（1）求直线方程；
（2）求直线的方程．
解：（1）因为边上的高所在直线的方程为，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
（2）联立，解得，即．
设点关于直线对称的点为，
所以，解得，即．
直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理得．
18. 已知数列满足，当时，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）当时，，
即．
设，则，，
．
所以．
当时，也符合，
所以．
（2）解法一：，①
，②
①－②得
，
所以．
解法二：．
当为偶数时，．
当为奇数时，．
综上，
19. 已知是椭圆的一个顶点，点是上一点．
（1）求椭圆的方程．
（2）若过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）证明：定值．
（ⅱ）求的最小值．
（1）解：由题可知解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）（ⅰ）证明：若直线的斜率为，则直线与椭圆的交点为，矛盾，
故直线的斜率不为，设其方程为，Mx1,y1，．
由，消得:，
方程的判别式，
由已知为方程的解，
所以，，
因为，，
所以
，为定值．
（ⅱ）解：
，
因为，当且仅当时，取得最小值，
所以的最小值为．