甘肃省酒泉市普通高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份甘肃省酒泉市普通高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（ ）
A．1B．3C．D．
2．过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．在等差数列中，若，则（ ）
A．17B．18C．19D．20
4．圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．32B．64C．128D．256
7．关于曲线，下列叙述不正确的是（ ）
A．当时，曲线表示的图形是双曲线B．当时，曲线表示的图形是椭圆
C．当时，曲线表示的图形是双曲线D．无论取何值，曲线表示的图形都不是抛物线
8．班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列关于直线的说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为B．直线的倾斜角为
C．过点且与轴垂直的直线方程为D．直线与平行
10．已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．均是的最大值C．D．公差
11．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．点到轴的距离为
C．的面积为D．
三、填空题
12．等差数列的前项和为，写出一个满足条件的的通项公式 .
13．已知P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为 .
14．已知点，点在圆上运动，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知数列满足，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)求的前项和.
16．直线与直线垂直，且经过点.
(1)求的方程；
(2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值；
(3)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程.
17．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数；
(3)若直线与椭圆相交于A，B两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求关于的表达式.
18．已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
19．已知抛物线的焦点为，过点且斜率不为0的直线交抛物线于A，B两点（点在轴上方），点D，E都在抛物线的准线上，且轴，轴.
(1)若直线的斜率为1，求|AB|的值；
(2)设是DE的中点，判断AR与EF是否平行，并说明理由；
(3)证明：直线BD恒过定点，并求出该定点坐标.
1．B
结合通项公式，利用列方程求解即可.
【详解】因为，，
所以，解得．
故选：B.
2．D
利用直线的方向向量求出直线的斜率，利用点斜式得到直线方程.
【详解】所求直线的方向向量为，，
所求直线过点，
所求直线的方程为，整理得.
故选：D.
3．C
利用已知条件，由求出，从而由可求出.
【详解】设等差数列的公差为d，
则，
∴．
故选：C.
4．A
先设出圆的方程，根据相切的性质可求半径，进而可得答案.
【详解】设圆的方程为，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即，
所以.
故选：A
5．D
根据抛物线方程求出准线即可.
【详解】抛物线的准线方程是.
抛物线，则，所以准线方程是.
故选：D.
6．B
根据等比数列的性质计算可得.
【详解】因为，公比，
所以.
故选：B
7．B
由椭圆、双曲线标准方程的定义建立不等式组，判断ABC选项，由抛物线标准方程判断D选项.
【详解】当曲线为椭圆时，，解得或，
当时，曲线是圆，B选项错误；
当曲线为双曲线时，，则或，A、C选项正确；
∵，∴无论取何值，曲线表示的图形都不是抛物线，D选项正确.
故选：B.
8．C
由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解.
【详解】由椭圆定义可得，
由光学性质可知，为的角平分线，
所以.
故选：C
9．BCD
对于A：将直线方程化为斜截式即可判断斜率；对于B：根据倾斜角的定义即可判断；对于C：过与x轴垂直的直线方程为；对于D：斜率相等，纵截距不相等，两直线平行．
【详解】对于选项A：，斜率为，并非，故A错误；
对于选项B：直线是垂直于轴的直线，根据倾斜角定义，其倾斜角为，故B正确；
对于选项C：过点且与轴垂直的直线方程为，故C正确；
对于选项D：直线与的斜率均为3，且纵截距（1和）不相等，故它们平行，故D正确．
故选：BCD．
10．ABD
A：根据，结合等差数列与下标和有关的性质即可判断；BD：判断等差数列公差的正负，从而判断该数列的增减性，结合，，即可求其前n项和的最值；C：结合等差数列前n项和公式及等差数列与下标和有关的性质即可判断．
【详解】选项A：由，得，∴，故A正确；
选项D：由，且，得，故D正确；
选项B：由、，知等差数列是递减数列：
∵，故前8项（到）均为正数，第9项为0，第10项及以后为负数；
是前8项正数的和，，因此是的最大值，故B正确；
选项C：，故C错误；
故选：ABD．
11．ACD
离心率得到，结合得到，由余弦定理得到，由双曲线的定义得到，将其平方得到，通过计算得到和的值；利用三角形的面积得到，和，代入数值计算得到，即求得点到轴的距离.
【详解】双曲线的离心率为，，
，，，，，
，，
，
，，
点在双曲线上，，，
，
，，，
，
故选项AD正确；
设，，
，，，
，，，，
点到轴的距离为，故选项B错误，选项C正确；
故选：ACD.
12．（满足公差为即可）
利用等差数列的前n项和公式与通项公式写出一个公差为的通项公式即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由得：，即.
由以上等式可知，写出一个公差为的通项公式即可.
若，则.
故答案为：（满足公差为即可）.
13．
根据两平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】可化为.两直线平行,
的最小值即为两平行线间距离，为.
故答案为：.
14．
设点，则根据两点间的距离公式可得到关于表达式，然后三角函数的有界性即可求解.
【详解】依题意，设，
则，
因为，所以，所以，即的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)证明见详解
(2)
(3)
（1）根据等式构造数列相邻两项，并求得其比值，即可证明；
（2）由（1）求得数列的通项公式，即可求得的通项公式；
（3）由（2）中的通项公式，通过等比数列的前项和公式求得结果.
【详解】（1）∵，∴，即，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）可知，
∴
（3）
.
16．(1)
(2)
(3)
（1）利用垂直可得斜率，利用点斜式可求直线的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案；
（3）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程.
【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又因为经过点，所以方程为，即.
（2）圆化为标准型为，
圆心到直线的距离为，
因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得.
（3）设线段MN中点的坐标为，，则，即
因为点在圆上运动，所以，
所以，
即，所以线段MN中点的轨迹方程为.
17．(1)
(2)当时直线与椭圆有两个交点；
当时直线与椭圆有一个交点；
当或时直线与椭圆没有交点.
(3)
（1）根据题意得，，即可求解.
（2）直线方程与椭圆方程联立，时两个交点；时一个交点；时无交点.
（3）求出线段AB的中点，点斜式求出直线方程，令，即可求解.
【详解】（1）根据题意得，，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）将直线与椭圆联立得， 消去得，
当时，即时直线与椭圆有两个交点；
当时，即时直线与椭圆有一个交点；
当时，即或时直线与椭圆没有交点.
（3）设，由（2）知，，，线段的中点为即
线段的垂直平分线方程为：，令得，
所以.
18．(1)，
(2)
（1）根据等差、等比数列的知识求得首项和公差、公比，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】（1）由题意得，，
，，解得（舍去）
则，解得，所以.
则，
设等差数列的公差为，则，
所以.
（2）.
所以，
两式相减得，
.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，定点.
（1）设直线与抛物线联立，由韦达定理以及弦长公式计算即可；
（2）表示出点的坐标，结合韦达定理，证明AR与EF的斜率相等即可；
（3）由，证明即可得直线BD恒过定点.
【详解】（1）由题意，设直线：，，
联立得，
恒成立，
由韦达定理得，
若直线的斜率为1，则，
则，
.
（2）由（1），，且，
由，得，代入上式：
，
由于A,R与E,F不共线，则AR与EF平行.
（3），，
则三点共线，直线BD恒过定点.