2023-2024学年甘肃省定西市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省定西市高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.与43°角终边相同的角是( )
A. −43°B. −317°C. 317°D. 617°
2.已知集合A={0,1,2,3}，B={x|y= x−1}，则A∩B=( )
A. {1,2,3}B. {0,1,2,3}C. {0}D. {0,1,2}
3.已知x，y是实数，则“x>y”是“x3>y3”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知α是第三象限角，且sin(π−α)=−23，则csα=( )
A. 23B. 53C. −23D. − 53
5.函数f(x)=(12)−x2+4x−6的单调递减区间是( )
A. (−∞,−2)B. (−∞,2)C. (2,+∞)D. (−2,+∞)
6.2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N=N0(12)t5730(N0表示碳14原有的质量).经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的58倍，据此推测该石制品生产的时间距今约(参考数据：ln2≈0.69，ln5≈1.61)( )
A. 8370年B. 8330年C. 3850年D. 3820年
7.将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于y轴对称，则φ的最小值为( )
A. π4B. π12C. π6D. π3
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=4x−lg2x−1，则不等式(x−1)f(x)>0的解集为( )
A. (−2,0)∪(1,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. (−∞,−2)∪(1,2)D. (−2,0)∪(2,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中既是奇函数，又是最小正周期为π的函数有( )
A. y=sin2xB. y=cs2xC. y=tan2xD. y=tanx
10.已知a>0且a≠1，则函数y=ax−1与y=lga(x−1)的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. x=π2是函数y=f(x)的图象的对称轴
C. 函数y=f(x)在[−π,0]上单调递增
D. ∀x∈[2π3,3π4]，f(x)≥ 3恒成立
12.已知5−2a=2a，b=lg34−lg84，c=e0.1+e−0.1，则( )
A. a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数f(x)=xα(α∈R)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，则α的值可以是______ (只要写一个即可)．
14.若实数x，y满足x+3y=4，则2x+8y的最小值为______．
15.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长分别为67cm，22cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm，则该扇环的圆心角的弧度数为______ ．
16.已知函数f(x)=sinπx,x∈[−2,2]lg2024(x−1),x∈(2,+∞)，若满足f(x1)=f(x2)=⋯=f(x5)(x1,x2…,x5互不相等)，则x1+x2+⋯+x5的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，以Ox为始边作角α与β(0<β≤π2<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，点P的纵坐标为45．
(1)求csα的值；
(2)若OP⊥OQ，求sinβ+csβ的值．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|x2−(2m−1)x−2m≤0}．
(1)当m=1时，求A∪B；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π3)+1．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[−π3,π3]上的最值，并求出取最值时x的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x+a3x+1的图象经过点(1,12)．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的定义域和值域．
21.(本小题12分)
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的覆盖面积为16m2，3月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型：y=kax(a>1)与y=mx2+nx+323．
(1)分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式；
(2)若测得6月底凤眼莲的覆盖面积约为95m2，判断上述两个函数模型中哪个更合适．
22.(本小题12分)
已知点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)图象上的任意两点，f(0)= 3，且当|f(x1)−f(x2)|=4时，|x1−x2|的最小值为π2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意x∈[−π2,−π4],[f(x)]2−mf(x)+1≤0恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：不存在整数k满足，43°=−43°+360°×k，故A错误；
存在整数k满足，43°=317°+360°×(−1)，故B正确；
不存在整数k满足，43°=317°+360°×k，故C错误；
不存在整数k满足，43°=617°+360°×k，故D错误．
故选：B．
根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解．
本题主要考查终边相同的角的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：A={0,1,2,3}，B={x|y= x−1}={x|x≥1}，
则A∩B={1,2,3}．
故选：A．
先求出集合B，然后结合集合交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查充分条件与必要条件，考查逻辑推理能力，属于基础题．
根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】
解：“x>y”⇔“x3>y3”，
故“x>y”是“x3>y3”的充要条件．
故本题选C．
4.【答案】D
【解析】解：由sin(π−α)=−23，得sinα=−23，
∵α是第三象限角，
∴csα=− 1−sin2α=− 1−(−23)2=− 53．
故选：D．
由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵y=−x2+4x−6在(−∞,2)上是增函数，
在[2,+∞)上是减函数；
又∵y=(12)x在R上是减函数；
故函数f(x)=(12)−x2+4x−6的单调递减区间是(−∞,2)．
故选：B．
利用复合函数的单调性判断函数的单调区间．
本题考查了复合函数的单调性的判断，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：依题意得：NN0=58=(12)t5730，
等式两边取以e为底的对数并整理得：
ln5−3ln2=−t5730ln2，
解得：t=5730(3ln2−ln5)ln2，
代入ln2=0.69，ln5≈1.61，
即得：t≈5730(3×0.69−1.61)0.69≈3820．
故选：D．
根据碳14质量N随时间t的衰变公式代入条件NN0=58，对指数式两边取对数，代入近似值即得．
本题考查对数的运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，
得到函数g(x)的图象，g(x)=sin(2x+2φ+π6)，
∵函数g(x)的图象关于y轴对称，即g(x)为偶函数，
∴2φ+π6=kπ+π2，k∈Z，
∴φ=kπ2+π6，k∈Z，
∵φ>0，
∴k=0时，φ的最小值为π6．
故选：C．
函数f(x)=sin(2x+π6)图象向左平移φ个单位长度，得到g(x)=sin(2x+2φ+π6)，由函数g(x)的图象关于y轴对称，得2φ+π6=kπ+π2，k∈Z，结合φ>0，k∈Z可得结论．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查三角函数的性质，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=4x−lg2x−1，
函数y=4x在(0,+∞)上为减函数，y=lg2x在(0,+∞)上为增函数，
故函数f(x)在(0,+∞)上为减函数，
同时，f(2)=2−1−1=0，
故在区间(0,2)上，f(x)>0，在区间(2,+∞)上，f(x)<0，
又由f(x)为奇函数，
则在区间(−2,0)上，f(x)<0，在区间(−∞,−2)上，f(x)>0，
对于不等式(x−1)f(x)>0，等价于x−1>0f(x)>0或x−1<0f(x)<0，
解可得：−2故选：A．
根据题意，由函数的解析式和奇偶性分析f(x)>0和f(x)<0的解集，原不等式等价于x−1>0f(x)>0或x−1<0f(x)<0，分析可得答案．
本题考查函数与不等式的综合应用，涉及函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于选项A：y=sin2x为奇函数，最小正周期T=2π2=π，故A正确；
对于选项B：y=cs2x为偶函数，最小正周期T=2π2=π，故B错误；
对于选项C：y=tan2x为奇函数，最小正周期T=π2，故C错误；
对于选项D：y=tanx为奇函数，最小正周期T=π1=π，故D正确．
故选：AD．
根据三角函数的奇偶性和周期性逐项分析判断．
本题考查三角函数的周期性和奇偶性，属基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：当a>1时，函数y=ax−1在R上单调递增，且当x=0时，y=0，
y=lga(x−1)在(1,+∞)上单调递增，故B正确；
当0y=lga(x−1)在(1,+∞)上单调递减，故D正确．
故选：BD．
分a>1和0本题考查函数的图像和性质，属基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由题意得f(0)=2sinφ=1，|φ|<π2，所以φ=π6，
因为f(3π2)=2sin(3ωπ2+π6)=−1，3ωπ2+π6=7π6，
故ω=23，所以f(x)=2sin(23x+π6)
对于A：T=2πω=2π23=3π，故A错误；
对于B：当x=π2时，有23×π2+π6=π2，此时函数取最大值2，故B正确；
对于C：由−π2+2kπ≤23x+π6≤π2+2kπ，解得−π+3kπ≤x≤π2+3kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[−π+3kπ,π2+3kπ]，k∈Z，
令k=0，得−π≤x≤π2，所以函数y=f(x)在[−π,0]上单调递增，因此C正确；
对于D：因为2π3≤x≤3π4，所以11π18≤23x+π6≤2π3，
所以函数f(x)在区间[2π3,3π4]上单调递减，所以f(x)≥f(3π4)= 3，故D正确．
故选：BCD．
根据图像可得f(0)=2sinφ=1，f(3π2)=2sin(3ωπ2+π6)=−1，求出函数解析式，然后对选项逐一判断即可．
本题考查三角函数的图像和性质，属中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：因为5−2a=2a，所以2a+2a−5=0，
令f(x)=2x+2x−5，则f(x)在R上单调递增，
f(1)=−1<0，f(2)=3>0，
所以1b=lg34−lg84=2lg32−23=2(lg32−13)=2lg3233，
而233< 3，所以b<1；
c=e0.1+e−0.1>2 e0.1⋅e−0.1=2，
所以c>a>b．
故选：AC．
构造函数f(x)=2x+2x−5，利用零点存在定理，确定a的范围；利用对数恒等式，对数运算法则，求出b的范围；利用基本不等式求出c的范围，从而得到答案．
本题考查利用中间值法比较大小，属中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：f(x)=x−1是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，
∴α的值可以是−1．
故答案为：−1．
根据反比例函数f(x)=x−1的奇偶性及单调性即可得出α的值可以是−1．
本题考查了幂函数的单调性，反比例函数的奇偶性和单调性，是基础题．
14.【答案】8
【解析】解：∵x+3y=4，∴2x+8y≥2 2x⋅8y=2 2x+3y=8，
当且仅当x=3y=2即x=2，y=23时取等号，
∴2x+8y的最小值为8．
故答案为：8．
由已知结合基本不等式即可直接求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．
15.【答案】52
【解析】解：如图，
依题意可得弧AB的长为67cm，弧CD的长为22cm，
设扇形的中心角的弧度数为α，
则AB=α⋅OA，CD=α⋅OC，
则OAOC=6722，
即OA=6722OC，所以AC=OA−OC=4522OC，
因为AC=18cm，所以OC=445cm，
所以该扇形的中心角的弧度数α=CDOC=22445=52．
故答案为：52．
根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得OC=445cm，进而可得该扇形的中心角的弧度数．
本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．
16.【答案】[0,2023)
【解析】解：如图，作出函数y=f(x)的图象：
要满足f(x1)=f(x2)=⋯=f(x5)(x1,x2…,x5互不相等)，
只需再作一条直线y=k，
使其与函数y=f(x)的图象有五个交点E，B，C，D，F即可，
根据正弦函数的对称性，显然x1+x2+x3+x4=4×(−12)=−2，
而由lg2024(x−1)=1，解得x=2025，
则由题意知2≤x5<2025，
故x1+x2+⋯+x5的范围是[0,2023)．
故答案为：[0,2023)．
依题意作出函数图象，要使出现五个满足f(x1)=f(x2)=⋯=f(x5)的不同的x的值，只需作出一条与x轴平行且与图象有五个交点的直线，利用函数对称性和解析式计算即可求得x1+x2+⋯+x5的范围．
本题考查了正弦函数的性质、对数函数的性质及转化思想、数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)π2<α<π，α终边与单位圆相交于点P，
纵坐标为45，则横坐标为−35，
则sinα=45，csα=−35；
(2)OP⊥OQ，则β=α−π2，
sinβ=sin(α−π2)=−sin(π2−α)=−csα=35，
csβ=cs(α−π2)=cs(π2−α)=sinα=45，
sinβ+csβ=35+45=75．
【解析】(1)利用三角函数定义即可求值；(2)利用诱导公式即可得．
本题考查三角函数定义，考查诱导公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)集合A={x|x2−2x−3<0}={x|−1m=1时，B={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，
所以A∪B={x|−1≤x<3}；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，
由B={x|x2−(2m−1)x−2m≤0}={x|(x−2m)(x+1)≤0}，
所以2m和−1是对应方程的两个解，且2m>−1；
所以2m>−12m≥3，
解得m≥32，
所以实数m的取值范围是{m|m≥32}.
【解析】(1)化简集合A、B，根据并集的定义求出A∪B；
(2)根据x∈A是x∈B的充分不必要条件得出A是B的真子集，由此列不等式求出B中m的取值范围．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)得：
kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)；
(2)x∈[−π3,π3]⇒2x+π3∈[−π3,π]，
所以当2x+π3=π2，即当x=π12时，函数f(x)有最大值，最大值为2+1=3，
当2x+π3=−π3时，即当x=−π3时，函数f(x)有最小值，最小值为2×(− 32)+1=− 3+1．
【解析】(1)利用正弦函数的单调性质，由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)即可求得f(x)的单调递增区间；
(2)根据正弦函数的性质求解即可．
本题考查正弦函数的单调性与最值，考查分析与运算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解决问题的关键，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得f(1)=3+a3+1=12，
即a=−1；
(2)由(1)得，f(x)=3x−13x+1=1−23x+1，定义域为R，
因为1+3x>1，
所以0<11+3x<1，
所以−1<1−21+3x<1，即函数的值域为(−1,1)．
【解析】(1)由f(1)=12代入即可求解a；
(2)结合指数函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数定义域及值域的求解，属于基础题．
21.【答案】解：(1)设函数y=kax(a>1)，由x=1，y=16；x=3.y=36，
可得ka=16ka3=36，解得a=32k=323，
即y=323×(32)x，x∈N*；
设函数y=mx2+nx+323，由x=1，y=16；x=3.y=36，
可得m+n+323=169m+3n+323=36，解得m=149n=349，
即y=149x2+349x+323，x∈N*；
(2)由y=323×(32)x，当x=6时，y=323×(32)6=121.5；
由y=149x2+349x+323，当x=6时，y=149×36+349×6+323=56+683+323=8913，
由|121.5−95|>|8913−95|，可得函数y=149x2+349x+323，x∈N*更合适．
【解析】(1)分别考虑两个函数模型，运用待定系数法，解方程可得所求；
(2)可令x=6，求得函数y的值，再与95比较，可得结论．
本题考查函数的解析式的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)当|f(x1)−f(x2)|=4时，|x1−x2|的最小值为π2，
∴f(x)的最小正周期为π，∴2πω=π，解得ω=2，
∵f(0)= 3，∴2sinφ= 3，即sinφ= 32，
又0<φ<π2，∴φ=π3，
∴f(x)=2sin(2x+π3).
(2)∵−π2≤x≤−π4，∴−2π3≤2x+π3≤−π6，
∴−2≤2sin(2x+π3)≤−1，
令t=2sin(2x+π3)，则−2≤t≤−1，
∵对任意x∈[−π2,−π4],[f(x)]2−mf(x)+1≤0恒成立，
∴t2−mt+1≤0在[−2,−1]恒成立，
令g(t)=t2−mt+1，则g(−2)=4+2m+1≤0g(−1)=1+m+1≤0，
解得m≤−52．
∴实数m的取值范围为(−∞,−52].
【解析】(1)根据f(0)= 3，代入函数解析式可求出φ，根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)图象上的任意两点，f(0)= 3，且当|f(x1)−f(x2)|=4时，|x1−x2|的最小值为π2，可知函数的最小正周期是π，从而求出ω，即可求出函数的解析式；
(2)求出函数f(x)在[−π2,−π4]上的值域，令t=2sin(2x+π3)，则−2≤t≤−1，对任意x∈[−π2,−π4],[f(x)]2−mf(x)+1≤0恒成立，转化为t2−mt+1≤0在[−2,−1]恒成立，构造函数g(t)=t2−mt+1，可得g(−2)=4+2m+1≤0g(−1)=1+m+1≤0，解此不等式组即可求出结果．
本题考查三角函数图像和性质，函数恒成立问题，数形结合数学思想方法，属中档题．