江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高二上学期期末调研数学试题（解析版）

这是一份江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高二上学期期末调研数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了 直线的倾斜角是， 已知数列是等差数列，，则， “”是“方程表示双曲线”的， 曲线在点处的切线方程为， 记为等比数列的前项和，若，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，
故倾斜角满足为，
故.
故选：D.
2. 已知数列是等差数列，，则（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】等差数列中，由，得公差，
所以.
故选：B.
3. “”是“方程表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵方程为双曲线，∴，
∴或，
∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，
故选：Ａ.
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，求导得，则，
因此曲线在点处的切线为，即.
故选：D.
5. 若抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】椭圆的半焦距，
因此抛物线的准线过点，则，所以.
故选：C.
6. 记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A. B.
C. 1或D. 或
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，若，则，故，则由可得：，
因，可将其化简为：，
即，
解得（舍去）或.则.
故选：B.
7. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，可得，
令，则直线与函数的图象有三个交点，
，令，可得或，列表如下：
如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有三个交点，因此，实数的取值范围是.
故选：A.
8. 已知，若在直线上存在点，使得，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设点，因，
由可得：，
化简得，即，
依题意，直线与圆有公共点，
故圆心到直线的距离，
即，化简得，解得：.
故选：D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9. 设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当变化时，恒过定点
B. 若，则在轴，轴上的截距之和为4
C. 若，则的斜率为1
D. 当时，点关于直线的对称点坐标为
【答案】AC
【解析】对于A项，直线的方程为化为，
由，解得，所以直线恒过定点，A正确；
对于B项，时，，令，，令，，
此时在轴，轴上的截距之和为，B错误；
对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确；
对于D项，时，，
设关于直线对称点坐标为，
则，解得，
即点关于直线的对称点坐标为，D错误.
故选：AC.
10. 已知等差数列满足，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是递增数列
C. 当时，取得最小值
D. 使得的的最小值为13
【答案】BC
【解析】由，得，等差数列的公差，
对于B，数列是递增数列，B正确；
对于AC，数列的前7项都为负，从第8项起为正，
因此，当时，取得最小值，A错误，C正确；
对于D，，因此使得的的最小值不为13，D错误.
故选：BC.
11. 已知为坐标原点，抛物线为抛物线上的两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过抛物线的焦点
B. 以为直径的圆与轴相切
C. 当时，
D. 若点，且，则
【答案】ABD
【解析】对于A，设直线方程为，
与联立得：，
故，因为，所以，解得，
即直线恒过点，故选项A正确；
对于B，设点M是的中点，，的中点，
点到轴的距离为，
故以线段为直径的圆与轴相切，故B正确；
对于C，因为，且三点共线，则，所以，
代入中，得到，即，
所以，故C错误；
对于D，因为点，且，所以，
由对称性不妨设点A在第一象限，所以，，所以，
又，所以，所以，
所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 数列的通项公式为，则它的前6项和为__________.
【答案】147
【解析】因，
则该数列的前6项和为：
.
13. 在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为______.
【答案】18
【解析】设小正方形的边长为，
依题意，箱子容积，
由，解得，
所以的定义域为.
则，
所以在区间单调递增；
在区间单调递减，
所以当时，取到最大值，且最大值为.
14. 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为__________.
【答案】
【解析】如下图所示：
易知点、，直线的方程为，
联立解得，即点，
由椭圆的对称性可知，点与点关于轴对称，则，
所以，，且直线的斜率为，
由已知，则，则，
所以，，即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得，解得.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）当时， ，解得：，
当时，，得，
因为，所以，因为，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.
（2）因为，所以，
所以数列的前项和
.
16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知以为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程.
解：（1）因为，所以的中垂线的斜率为，
又的中点为，所以的中垂线方程为，
即，
由，解得，又半径，
所以圆的方程为.（或）
（2）若弦所在直线斜率不存在，则弦长为8，不合题意，故所求弦的斜率存在.
设弦所在直线方程为，即，设圆心到弦的距离为，
由所以，
即，解得或.
所以弦所在的直线方程为或.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：.
（1）解：函数中，，求导得，
当时，在上单调递增；
当时，时，时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）知，当时，，
设，求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，则，
所以.
18. 已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线过点，与双曲线交于两点.
①若直线，求的面积；
②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为点在双曲线上，得
又因为渐近线方程为，所以，
解得，所以双曲线的方程为.
（2）①直线斜率为，故直线的方程为，
代入双曲线得，
，
所以，
又点到的距离为，
故的面积为.
②设，，
当直线斜率不为0时，设，
代入双曲线得，
，，
所以
，
若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以，
所以，此时.
当直线斜率时为，对于
所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值.
19. 在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项.
（1）若数列的前4项分别为，求数列的前4项；
（2）若满足，且.
①求的值；
②求的前项和.
解：（1）因为数列的前4项分别为，
则，
所以的前4项分别为
（2）因为，即，
且，可知数列是以首项和公比均为的等比数列，
则，所以.
①当为奇数时，；
当为偶数时，，可知数列为递增数列，
可知，
所以；
②当时，；
当时，.
（i）当为奇数时，
，
令，
作差得
，
所以；
经检验也满足上式，
所以；
（ii）当为偶数时，；
综上所述：.增
极大值
减
极小值
增