江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题（解析版）

这是一份江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了72C， 已知函数，那么的值是， 已知随机变量满足等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对于x，y两个变量,有四组样本数据,分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（ ）
A. B. 0.72C. D. 0.85
【答案】A
【解析】线性相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，
则线性相关性最强的是．
故选：A.
2. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】令，则，即．
故选：B.
4. 3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（ ）
A. 24B. 48C. 96D. 120
【答案】B
【解析】根据捆绑法，“先捆再松”.可以将女生看作一个整体与男生全排，有种，
女生自身“内排”有种，则女生相邻的排法个数是：.
故选：B.
5. 已知函数，那么的值是（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】因为，则，
所以.
故选：D.
6. 已知随机变量满足：，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】若，，则，解得，
故，则，故A错误，
而，故，
可得，故B错误，
而，故C错误，
由题意得，故D正确.
故选：D
7. 给出下列四个命题，其中真命题是（ ）
A. 若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使
B. 若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面
C. 直线a的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】B
【解析】对于A，如果为非零向量，且与不共线，而与共线，
则不成立，故A错误；
对于B，运用四点共面定理推论可知B正确；
对于C，，则，则，故C错误；
对于D，向量是平面的法向量，则，，
即，，又，，
得且，解得，，则，故D错误.
故选：B.
8. 若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B.
C. 的范围是D.
【答案】B
【解析】对于AC，，有两个极值点且，
所以，有两个零点，且在各自两边异号，
所以与有两个交点，，
记，则，
易知：时，时，
所以在上递增，在上递减，
所以有最大值，且时，时，
又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，且，
由上可得的图象如下，
所以当且仅当时与有两个交点，且，故A，C正确；
对于B，又
，
所以，即，故B错误.
对于D，令，则，所以，则，，
所以要证，只需证，
只需证，
令，则，
所以在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.
9. ，分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是（ ）
A.
B. 若，，则
C. 若，则A与B独立
D.
【答案】ACD
【解析】A选项，由对立事件性质可知，A正确；
B选项，若，，则，B错误；
C选项，若，则，
故，A与B独立，C正确；
D选项，，D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，下列选项正确的是（ ）
A. 若在区间上单调递减，则a的取值范围为
B. 若在区间上有极小值，则a取值范围为
C. 当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为
D. 若曲线的对称中心为，则
【答案】BCD
【解析】令
若在区间上单调递减,
则在区间上小于或者等于零恒成立，
即恒成立，
即，又在区间单调递增，
则
所以a的取值范围为，故选项A错误.
若在区间上有极小值,
则在区间上有零点，且在零点左端小于零，在零点右端大于零，
则
解得a的取值范围为.故选项B正确.
当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为，则切线斜率为
切线为又切线经过点，
则有三解，即有三解，
令
则当时函数取极值，
则实数m的取值范围为，故选项C正确.
若曲线的对称中心为,则即
解得.
故选：BCD.
11. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ）
A. 若F在棱AD上时，存在点F使
B. 若F是棱AD的中点，则平面
C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点
D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为
【答案】BCD
【解析】A.如图建立空间直角坐标系，，，，
，，
，
整理为，解得：或，都舍去，
所以不存在点F使，故A错误；
B.如图，取的中点，连结，因为点是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
同理，且，
所以，平面，平面，
所以平面，
且，平面，
所以平面平面，平面，
所以平面
C. 若F是AC上靠近C的四等分点，则，，，，
所以，，，
，,
所以，，且，平面，
所以平面，且过点只有1条直线和平面垂直，
则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故C正确；
D.若点在棱上运动，设，，
，,
则点到的距离，
当时，的最小值为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为______.
【答案】
【解析】根据点到面的距离公式，且，，
可得点到平面的距离．
故答案为：．
13. 从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则一共有______种选法.
【答案】65
【解析】从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，
当A为空集时，B可以包含1，2，3，4个元素，
所以共有种选法；
当A只含有1个元素时，B可以包含2，3，4个元素，
所以共有种选法；
当A只含有2个元素时，B可以包含3，4个元素，
所以共有种选法；
当A只含有3个元素时，B包含4个元素，所以共有种选法.
故共有种选法.
故答案为：65.
14. 现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则______，______.
【答案】；
【解析】第一空：，
第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球，
乙盒中还剩下两个红球或者两个白球.
则
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下，左表数据：
（1）求a，b的值，并判断是否有的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？
（2）经调查，学生的学习效率指数y与每天锻炼时间x（单位：拾分钟）呈线性相关关系，统计数据见下表，求y关于x的线性回归方程.
附：（1）
（2），
解：（1）依题意，得，解得，，
假设：认为学生的性别与是否喜欢运动无关联，
，
所以根据的独立性检验，认为不成立，
即有的把握认为学生的性别与喜欢运动有关联；
（2）由题意得，，，，
，，
所以回归方程为.
16. 已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列.
（1）求的值；
（2）求的近似值（精确到0.01）；
（3）求的二项展开式中系数最大的项.
解：（1）∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列，
∴，整理得,解得，
又∵，∴
（2）
（3）
依题意得，，
即,
解之，，
又∵，∴
故展开式中系数最大得项为
17. 如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）连接交于，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，，，，
∴，，
∴，
∴.
（2），，
设平面的法向量为，则
，
取.
取平面的法向量为，
所以，，，
设二面角的平面角为，
.
∴由图可知二面角的余弦值为
18. 某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立.
（1）求甲最后得3分的概率；
（2）记甲最后得分为X，求X的概率分布和数学期望；
（3）记事件B为“甲、乙总分之和为7”，求.
解：（1）记事件A为“甲得3分”，分析3分是，不可能是，
所以在这四次投篮中，连续两次投中，另两次没中，记甲得3分，
所以
（2）X的取值为0，1，2，3，4，6，10，
，
，
，，
（3）记为乙最后得分，则事件为“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，
“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”
，
，
故
19. 定义：如果函数与的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称，则称函数和具有“伙伴”关系.
（1）判断函数与是否具有“伙伴”关系；
（2）已知函数，，，.
①若两函数具有“伙伴”关系，求a的取值范围；
②若两函数不具有“伙伴”关系，求证：，其中n为正整数.
解：（1）函数与具有“伙伴”关系，理由如下：
根据定义，若与具有“伙伴”关系，
则在与的定义域的交集上存在x，
使得.
所以，即，解得，
所以与具有“伙伴”关系.
（2）函数，，，，
令，，，
①两函数具有“伙伴”关系，则函数在上有零点.
当时，，所以在上递减，
所以，此时函数无零点，不符合题意.
当时，令，则，，则，
故在上递增，在上递减，
且时，，
当时，函数的导函数，所以该函数在上递减，
所以，所以，从而，即
此时，
取
所以
从而，又函数图象在上连续不间断，由零点存在定理可得，函数在上存在唯一零点，即存在，使得
综上可得，若两函数具有“伙伴”关系，a的取值范围为
②由①可得若两函数不具有“伙伴”关系，a的取值范围为，
且当时，恒有成立，即在恒成立
所以当时，可得
同理，，……，
两边分别累加得：
即
即.0
1
2
3
4
6
10