数学八年级上册（2024）17.3 勾股定理背景图课件ppt

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勾股定理勾股定理的验证勾股定理的应用勾股定理的逆定理
1. 如图 17.3-1，我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作“勾”，较长的直角边叫作“股”，斜边叫作“弦”. 因此，直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.
特别提醒1. 勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系， 只有在直角三角形中才可以使用勾股定理 .2. 运用勾股定理时， 若未确定哪条边是斜边，则要分类讨论，写出所有可能，以免漏解或错解.
[母题 教材P173 练习T2]在 Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a， b， c，∠ C=90° .(1)已知 a=3， b=4，求 c；(2)已知 c=19， a=13，求 b；(结果保留根号)(3)已知 a∶ b=1∶2， c=5，求 b.(结果保留根号)
考向：利用勾股定理求直角三角形的边长
解题秘方：紧扣勾股定理的各种变形解答.
(1)已知 a=3， b=4，求 c；(2)已知 c=19， a=13，求 b；(结果保留根号)
(3)已知 a∶ b=1∶2， c=5，求 b.(结果保留根号)
1-2. [ 期末·保定莲池区 ] 已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1 800，则斜边长为(     )A. 10 B. 20C. 30 D. 40
1. 常用证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法等，但最常用的是拼图法，即通过拼图构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证.
3. 一般三角形中的三边关系(拓展)在方格中，利用数格子计算面积的方法可得到以下结论：(1) 在钝角三角形中，若三边长分别为 a， b， c(c 为最大边长)，则 a2＋b2c2.
特别提醒用拼图法证明勾股定理的思路：(1)将图形进行割补拼接形成特殊图形，注意割补拼接时图形之间没有重叠、没有空隙；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出表示图形面积的式子→找出等量关系→恒等变形→推导结论.通过拼图法，利用求面积来验证结论，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的的.
一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了验证直角三角形三边关系的一种新方法 . 如图 17-3-2 所示，火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下后到四边形 AB′ C′ D′的位置，连接 AC，AC ′， CC ′，设 AB=a， BC=b， AC=c. 请利用四边形 BCC′D′的面积证明 a2＋b2＝c2.
考向：利用拼图法验证直角三角形三边的关系
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和”进行证明 .
整个图形的面积等于不重叠、无空隙的各组成部分的面积的和.
1. 勾股定理的应用范围   勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题.
2. 勾股定理的应用的常见类型(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；(3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题；(4)求解几何体表面上的最短路程问题；(5) 构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题 .
解题策略运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：(1)从实际问题中抽象出几何图形.(2)确定要求的线段所在的直角三角形.(3)找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系并列出等式.(4)求得结果.
考向：利用勾股定理解相关问题
题型1 勾股定理在实际问题中的应用
消防云梯(如图17.3-3 ①)的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，如图17.3-3 ②，已知云梯最多只能伸长到 50 m (即AA ′=BB ′=50 m)，消防车高3.4 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从33.4 m(即A′M=33.4 m)高的A′处救人后， 还要从51.4 m(即B′M=51.4 m)高的B′处救人，这时消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离AB 为多少米？
求消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离AB
题型2 勾股定理在求线段长中的应用
解题秘方：本题主要考查勾股定理，利用勾股定理建立等量关系，进行巧妙转换是解题的关键.
4-1. [ 中考·随州]如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=8， BC=6， D 为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则 AD=________ .
1. 勾股定理的逆定理    如果三角形的三边 a， b， c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形 .
也可以写成a2=b2+c2(a为斜边)或 b2=a2+c2( b为斜边) .
2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”：找出三角形三边中的最长边 .(2)“算”：计算较短两边的平方和与最长边的平方 .(3)“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则不是 .
3. 拓展在三角形中，若较短两边的平方和大于最长边的平方，则这个三角形是锐角三角形；若较短两边的平方和小于最长边的平方，则这个三角形是钝角三角形.
特别提醒勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中” “直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.
考向：利用勾股定理的逆定理解决问题
题型1 勾股定理的逆定理在判定直角三角形中的应用
解题秘方：紧扣“勾股定理的逆定理”进行判断 .
解：在△ ABC 中， ∵ AC 2+BC 2=12 2+16 2=20 2=AB 2，∴△ ABC 是直角三角形，且∠ C 为直角 .
方法点拨：判断一个三角形是不是直角三角形的方法：(1)当已知条件与角度有关时，一般通过计算看该三角形中是否有两个角互余或有一个角为直角来判断；(2)当已知条件与边有关时，一般通过计算看较短两边的平方和是否等于最长边的平方来判断.
5-1.在△ ABC中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别是 a， b， c，那么下面不能判定△ ABC 是直角三角形的是(   )A. ∠ B= ∠ C － ∠ AB. a2=( b+c)(b － c)C. ∠ A ∶∠ B ∶∠ C =5 ∶ 4 ∶ 3D. a∶ b∶ c= 5∶ 4∶ 3
如图 17.3-5，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E 均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD 交于点F，若∠ CFB=α ，则∠ ABE 等于( )A．180° － α B．180° － 2α C．90° +α D．90° +2α
题型2 勾股定理的逆定理在网格中的应用
解题秘方：本题主要考查勾股定理的逆定理，准确作出辅助线是解题的关键.
解：如图 17-3-5，过点 B 作 BG ∥ CD， BG=CD，连接 EG.∵ CD ∥ BG， ∴∠ ABG= ∠ CFB=α ．∵ BG 2=12+4 2=17， BE 2=12+4 2=17，EG 2=3 2+5 2=34， ∴ BG 2+BE 2=EG 2，∴△ BEG 是直角三角形，且∠ GBE=90° ，∴∠ ABE= ∠ GBE+ ∠ ABG=90° +α .
6-1.如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中，四边形 ABCD 的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)线段 AC 的长为______， CD 的长为 ______，AD 的长为______ ；
(2)通过计算说明△ ACD 是什么特殊三角形；(3)求四边形 ABCD 的面积．
解：由(1)知AC2＝20，CD2＝5，AD2＝25，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．