山东省威海荣成市16校（五四制）2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

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1. 下列方程：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥，其中是二元一次方程的是（ ）
A. ①B. ①④C. ①③D. ①②④⑥
答案：B
解析：①，该方程含有两个未知数，且含未知数的项的次数为１的整式方程，所以它是二元一次方程；
②，该方程含未知数的项的次数为２，所以它不是二元一次方程；
③，该方程不是整式方程，所以它不是二元一次方程；
④，化简得，该方程含有两个未知数，且含未知数的项的次数为１的整式方程，所以它是二元一次方程；
⑤，该方程含未知数的项的次数为２，所以它不是二元一次方程；
⑥，该方程不是整式方程，所以它不是二元一次方程，
综上，是二元一次方程的是①④，
故选：B．
2. 下列命题错误的是（ ）
A. 等腰三角形两腰上的中线相等B. 等腰三角形的中线与高重合
C. 等腰三角形两腰上的高相等D. 等腰三角形两底角平分线相等
答案：B
解析：解：如图1，在中，，、分别是、边上的中线，
则可知，且，
在和中
，
，
所以等腰三角形两腰上中线相等，
故A正确，不符合题意；
等腰三角形有底边上的中线、高和顶角的角平分线互相重合，故B错误，符合题意；
如图2，在中，，、分别是边上的高，
可得，
、分别是边上的高，
，
在和中
，
，
所以等腰三角形两腰上的高相等，
故C正确，不符合题意；
如图3，在中，，、分别平分和，
则可知，
在和中
，
，
所以等腰三角形两底角平分线相等，
故D正确，不符合题意；
故选：B
3. 如图，在中，，平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4. 如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（ ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点D. 三条中线的交点
答案：A
解析：∵小学到三个村庄的距离相等，
∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点，
故选：A．
5. 如图，已知，下列条件中不能使的是（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵，
∴，
A．添加，可得，根据能判定，故A选项不符合题意；
B．添加，利用能判定，故B选项不符合题意；
C．添加，利用能判定，故C选项不符合题意；
D．添加，只有两个条件，不能判定，故D选项符合题意．
故选：D．
6. 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是180°”的有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
解析：解：①．由，则，．由，得，故符合题意．
②．由，则，．由，得，故符合题意．
③．由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意．
④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合题意，
共有：①②④符合条件，
故选：C．
7. 小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A 以上，以下B. 以上，以下
C. 以上，以下D. 以上，以下
答案：C
解析：解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为，
则有：，
解得：，
∴一颗玻璃球的体积在以上，以下，
故选：C．
8. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：根据题意得：，
故选：D
9. ①如图1，，则；
②如图2，，则；
③如图3，，则；
④如图4，直线，点O在直线上，则．
以上结论正确的是（ ）
A. ①②③④B. ③④C. ①②④D. ①②
答案：C
解析：如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，①正确；
设交于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，即，②正确；
如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，③错误；
延长到点M，交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，④正确；
结论正确的是①②④，
故选：C．
10. 我们知道等边三角形的每个内角都是．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，若，．则的度数为（ ）

A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
答案：C
解析：解：如图：

∵等边三角形的每个内角都是60°，
∴，
∵，．
∴，
则
∵
∴
故选：C
二．填空题（共6题，计18分）
11. 如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则__．
答案：116
解析：∵，将沿折叠后，点A落在点处，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：116．
12. 如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在上截取．已知线段的长为2，则线段的长为 _________________．
答案：##
解析：解：线段的长为2，
，
又，
，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
13. 如图，一次函数的图像经过点与，则关于的不等式的解集是______．
答案：
解析：解：一次函数的图象经过点与，
则由图可知关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
14. 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为__________．
答案：
解析：解：图2所示的算筹图所表示的方程组为
，解得：；
故答案：．
15. 已知关于的不等式组的整数解有3个，则的取值范围是______．
答案：
解析：解：，
，
解得，，
，
解得，，
∴，
∵关于不等式组的整数解有3个，
∴，
故答案为：．
16. 在等腰三角形中，，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为___．
答案：或
解析：当点E在线段上时，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
当点E在线段的延长线上时，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：或．
三．解答题（共8题，计72分）
17. 解下列的二元一次方程组、不等式组
（1）；
（2）；
（3）；
（4），并写出的所有整数解．
答案：（1）
（2）
（3）
（4），整数解为0，1，2
小问1解析：
，
，得，
解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为；
小问2解析：
，
，得，
整理，得，
，得，
解得，
把代入②，得，
∴方程组的解为；
小问3解析：
，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集为；
小问4解析：
，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集为，整数解为0，1，2．
18. （1）我们规定．关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组．根据上述规定，回答下列问题，
①判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
②若关于的二元一次方程是“幸福”方程，求的值；
③若是关于的“幸福”方程组的解，求的值．
（2）对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．
①若，则 ， ；
②已知，若正格线性数求满足不等式组的所有的值．
答案：（1）①是；②的值是5；③11；
（2）①5，3；②的值有3，4，5，6
解析：（1）①∵方程，其中，，
∴，
方程是“幸福”方程，
故答案为：是；
②关于，的二元一次方程是“幸福”方程，
，
解得，
的值是5；
③方程组是“幸福”方程组，
∴，解得，
原方程组为，
是关于，的“幸福”方程组的解，
，
两式相加，解得，．即的值为11．
（2）解：①，
，，
故答案为：5，3；
② ，
∴，
∴，解得：，
和均为为正整数，
的值有3，4，5，6．
19. 如图，在中，D是的垂直平分线上一点，过点D作，垂足为点E，F，．求证：点D在的平分线上．

答案：见解析
解析：证明：连接，

∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
平分，
∴点D在的平分线上．
20. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，与相交于点O，连接，若的周长为，的周长为．
（1）求线段的长；
（2）连接，求线段长；
（3）若，求的度数．
答案：（1）6厘米 （2）4厘米
（3）20度
小问1解析：
∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，
∴,
∴，
∵的周长为，即，
∴；
小问2解析：
连接，
∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直半分线交于点E，
∴,
∵的周长为，即，，
∴；
小问3解析：
∵，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴．
21. 某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共株已知甲种树苗每株元，乙种树苗每株元．
（1）若购买树苗共用元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？
（2）据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为和，若要保证该小区的空气净化指数之和不低于，则甲树苗最多可以买多少株？
答案：（1）甲种树苗买株，则乙种树苗买株
（2）225株
小问1解析：
解：设甲种树苗买株，则乙种树苗买株，
，
，
，
答：甲种树苗买株，则乙种树苗买株．
小问2解析：
设买株甲种树苗，株乙种树苗时该小区的空气净华指数之和不低于，
，
，
，
解得：，
即最多买株甲种树苗．
22. 某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋．
（1）证明：；
（2）当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少?
答案：（1）见解析 （2）发射中心D向下滑动的距离是．
小问1解析：
证明：连接，
∵，平分，
∴是线段的垂直平分线，
∵点D在上，
∴；
小问2解析：
解：∵，是等边三角形，
∴，
∵是直角三角形，且，，
∴，
∴，
∴．
答：发射中心D向下滑动的距离是．
23. 如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．

（1）求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解；
（2）求的面积；
（3）若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值．
答案：（1），
（2）
（3）或
小问1解析：
解：把点代入，得，
．
把点P坐标代入，得，
，
直线的表达式为，
则方程组的解为；
小问2解析：
解：：，：，
，，
，
；
小问3解析：
解：直线与直线的交点C为，
与直线的交点D为．
，
，
即，
∴或，
或．
24. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
答案：（1）见解析；
（2）；
（3）见解析
小问1解析：
证明：∵，
∴，，
∴，
在△BAC和△DAE中，
∵，
∴；
小问2解析：
解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小问3解析：
证明：延长BF到G，使得，
∵，
∴，
在△AFB和△AFG中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在△CGA和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．