山东省烟台市牟平区2024-2025学年七年级下学期期中（五四学制）数学试卷（解析版）

这是一份山东省烟台市牟平区2024-2025学年七年级下学期期中（五四学制）数学试卷（解析版），共40页。试卷主要包含了选择题，小器一容三斛；大器一等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 以下四个命题中，真命题是（ ）
A. “任意三角形内角和为”是随机事件
B. “烟台市后天会下雨”是确定事件
C. “估计本题的正确率是”表示40位考生中一定有36人做对
D. 从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是
【答案】D
【解析】A、“任意三角形内角和为”是必然事件，原命题是假命题，不符合题意；
B、“烟台市后天会下雨”是随机事件，原命题是假命题，不符合题意；
C、“估计本题的正确率是”不能表示40位考生中一定有36人做对，原命题是假命题，不符合题意；
D、从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是，原命题是真命题，符合题意；
故选；D．
2. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】法一：，
得，
解得，
将代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故选：D．
3. 一副三角板如图摆放，两块三角板的直角顶点重合，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4. 如图，是直线上一点，平分，，，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定，他添加的条件可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】、平分，，
，故不符合题意；
B、，
不能判断，故B符合题意，
C、，
平分
，故C不符合题意；
D、，
，故D不符合题意；
故选：B．
5. 在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A. 摸出“北斗”小球可能性最大B. 摸出“天眼”小球的可能性最大
C. 摸出“高铁”小球的可能性最大D. 摸出三种小球的可能性相同
【答案】C
【解析】盒中小球总量为：（个），
摸出“北斗”小球的概率为：，
摸出“天眼”小球的概率为：，
摸出“高铁”小球的概率为：，
因此摸出“高铁”小球的可能性最大．
故选C．
6. 已知方程组，则的值是（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】将方程组中的三个方程相加可得，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，
∴灰色区域的面积为,
∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是，
故选：C．
8. 将含角直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点H作，

∵，∴．∴．
∵，∴．
∵，∴．
∴．
故选：A．
9. 现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，
∴摆出的三位数有405，450，504，540，
∴共4种可能，其中不是5的倍数是504，有1个，
∴摆出的三位数不是5的倍数的概率是．
故选：C．
10. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：．
故选：B．
11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A. 随的增大而增大
B.
C. 当时，
D. 关于，的方程组的解为
【答案】C
【解析】A、随的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确；
C、由图象可知：当时，，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；故选项D正确；
故选C．
12. 如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝
∠CGE．其中正确的结论是( )
A. ②③B. ①②④
C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
②∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；
④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°=∠CGE，故正确．
故选B．
二．填空题
13. 下列命题：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．③三角形三条中线的交点叫做三角形的内心．④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．⑤同位角相等．其中正确的是 _______（填写序号）．
【答案】①④
【解析】①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故本选项命题是假命题；
③三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，故本选项命题是假命题；
④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题；
⑤两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题；
故答案为：①④．
14. 市区某路口东西方向红绿灯的设置时间：红灯，绿灯，黄灯，我国交通法规定：车辆行驶到路口时，绿灯亮才能通行，遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候，小李由东往西开车随机地行驶到该路口，按照交通信号灯指示停车等候的概率是 _______．
【答案】
【解析】小李由东往西开车随机地行驶到该路口，按照交通信号灯指示停车等候的概率是，
故答案为：．
15. 某超市进货商品均加价销售，每月月底最后三天打折促销．月日小明妈妈在该超市购买的、两种商品分别打八折和九折，共付款元，比标价省了元，则、两种商品的进价分别是 _______．
【答案】70元、160元
【解析】设种商品的进价为元，种商品的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
、两种商品的进价分别是元、元．
故答案为：元、元．
16. 点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________．
【答案】
【解析】，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴点Q的横坐标为5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q的坐标为，
∴点Q关于y轴对称点的坐标为，
故答案为：．
17. 如图，点、、、、、在同一平面内，连接、、、、、，若，，，则______．
【答案】
【解析】如图所示：连接，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
18. 如图，一次函数与的图象相交于点，若直线与y轴的交点为，则一次函数y＝kx+b的表达式是__________．
【答案】
【解析】把代入得，解得：，∴P点坐标为，
把点，代入得:，解得:，
∴一次函数的表达式是．
故答案为：．
三．解答题
19. 解方程组：
（1）；
（2）
（1）解：原方程组整理得，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（2）解：，
得：，
与③组成方程组，
得：，
将代入③得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为．
20. 如图，，平分与相交于F，．求证：．
证明：∵平分∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴．
21. 振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会．
（1）某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会．则该顾客获得元购物券的概率是 ；获得元购物券的概率是 ；不获奖的概率是 ；
（2）求顾客平均每次翻奖牌获奖金额（精确到）；
（3）请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是．
（1）解：该顾客获得元购物券的概率是；
获得元购物券的概率是；
不获奖的概率是，
故答案为：、、；
（2）解：∵顾客获得元购物券的概率是，顾客获得元购物券的概率是，
∴顾客平均每次翻奖牌获奖金额为


（元），
所以顾客平均每次翻奖牌获奖金额约为元．
（3）解：顾客翻奖牌一次，获得了购物券，但不是元（答案不唯一）．
22. 如图，直线与直线相交于点．
（1）求b的值；
（2）①解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；
②不受原题意条件限制，若，则当 时，方程组无解；
（3）直线是否也经过点P？请说明理由．
（1）解：∵直线与直线相交于点，
∴；
（2）解：①由（1）得点P的坐标为，
∵直线与直线相交于点，
∴关于x、y的方程组的解为；
②∵方程组方程组无解，
∴直线和直线没有交点，即两直线平行，
∴；
（3）解；经过点P，理由如下：
∵直线与直线相交于点，
∴；
在中，当时，，
∴直线经过点P．
23. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）解：∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
24. 如图，若点D为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点A为x轴正半轴上一点，当时，与的平分线交于点M，求的度数．
解：连接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，分别平分，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
25. （1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率．
（2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ．
（3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明．
解：（1）根据题意，图中正方形的面积为，
图中阴影部分的面积为：，
则它击中阴影部分的概率：；
（2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为，
∴点P恰好在阴影部分的概率是：；
（3）乙获胜的概率大，理由如下：
由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：，
∴，
故乙获胜的概率大．
26. 如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若，求的度数；
（2）若，则 ．
【猜想证明】
（3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示）
【拓展提高】
（4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
（2）∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
（3）不变化，理由如下：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
即
（4），理由如下：
如图，延长交于点A，
则
∴，
由（3）可得，
∴．
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300